3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、焦点位置及离心率等核心知识。新课导入结合神舟十九号椭圆轨道实例，从近地点高度计算问题出发，通过思考问题引导学生探究椭圆边界、对称性等性质，搭建从实际问题到抽象概念的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过“思考-梳理-例题-训练”环节培养数学思维，如离心率计算采用定义法与方程法推导，母题探究延伸钝角条件下离心率范围。融入航天实例体现数学眼光，规范符号表达强化数学语言，学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可直接利用分层训练和课堂巩固提升教学效率。

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.1 椭 圆 3.1.2 椭圆的几何性质 2 很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟十九号在进入太空后,先 以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么在椭圆轨道中，近地点 高度、远地点高度是如何计算的呢?首先,我们要认识椭圆的一些几何性质. 返回导航 新课导入 3 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中，， 的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 3.掌握并会判断直线与椭圆的位置关系. 4.会解决弦长与中点弦问题. 5.能解决与直线和椭圆位置关系有关的综合问题. 返回导航 学习目标 4 第3章 圆锥曲线与方程 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 椭圆的几何性质 思考1 根据方程 画出椭圆，你能 确定椭圆的边界吗? 提示 由方程得 ,得 ，同理可得，故椭圆位于 和 围成的矩形内. 返回导航 8 思考2 根据上面所画的图形，椭圆具有怎样的对称性?如何用方程加以说明? 提示 既关于坐标轴轴对称,又关于原点中心对称.若 满足方程,则易知 ,, 也满足方程. 思考3 根据上面所画的图形，椭圆中有哪些特殊点?坐标是什么? 提示 令,则;令，则.故, 为特殊点. 返回导航 9 ［知识梳理］ 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 ______________________________________ ___________________________ 标准方程 范围 ① ____________________ ____ ② ________________________ 且 且 返回导航 10 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 顶点 ③_____________________ ________________ ④ ________________________ ___________________ 轴长 短轴长为⑤ ____ ,长轴长为⑥____ 焦点 ⑦ _________________ ⑧_________________ 焦距 ⑨ ____ 对称性 对称轴：⑩ __________ ,对称中心：⑪ ______ 离心率 ⑫ _ _ ,,, ,, , , , 轴和轴 原点 续表 返回导航 11 ［例1］ （对接教材例1）求椭圆 的长轴长、短轴长、焦距、 顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它的草图. 【解】 将化为标准方程为，所以， ， 则 ，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4， 焦距为，顶点坐标为,,, ，焦点坐标为 和，离心率为 ，椭圆的草图如图. 返回导航 12 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出<m></m>,<m></m>,<m></m>； （4）写出椭圆的几何性质. 注意 长轴长、短轴长、焦距不是<m></m>,<m></m>,<m></m>,应是<m></m>,<m></m>,<m></m>. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）（多选）（2025·佛山月考）已知， 是椭圆 的两个焦点，点在上且不在 轴上，则( ) A.椭圆的长轴长为5 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的焦距为4 D.的取值范围为 解析：选.由椭圆方程知,, ，所以椭圆的长轴长为 ，焦距，离心率 ，A，C错误，B正确； 椭圆中，点在上且不在轴上，所以 ，D 正确. √ √ 返回导航 14 （2）若椭圆上一点到两焦点的距离之和为 ，则 实数 的值为___，焦点坐标为_________. 9 解析：若，则，得（舍去）；若 ，则 ，解得或（舍去），所以 ，所以焦点坐标 为 . 返回导航 15 二 利用几何性质求椭圆的标准方程 ［例2］ 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）一个焦点为 ，长轴长是短轴长的2倍； 【解】根据题意可设椭圆的标准方程为 ， 所以由题设得解得 故椭圆的标准方程为 . 返回导航 16 （2）经过点，离心率为，焦点在 轴上； 【解】根据题意可设椭圆的标准方程为 ， 所以由题得解得 故椭圆的标准方程为 . 返回导航 17 （3） 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】设椭圆标准方程为 ， 如图所示，为等腰直角三角形， 为斜边 上的中线，且， ， 又因为焦距为6，所以 ， 则由椭圆的几何性质得 ， 所以椭圆的标准方程为 . 返回导航 18 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其 步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种 标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方 程（组）时常用的关系式有<m></m>,<m></m>等. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点， ； 解：由题意可得椭圆焦点在轴上，且, ， 故椭圆的标准方程为 . （2）焦点在轴上，短轴长为12，离心率为 . 【解】设椭圆的标准方程为，由题意得 , ，得，而 ， 解得, ， 故椭圆的标准方程为 . 返回导航 20 三 椭圆的离心率及范围 ［例3］ 设椭圆的左、右焦点分别为， ， 是上的点，， ，则 的离心率为_ __. 解析：方法一:由题意可设，结合条件可知 ， ，故离心率 . 方法二：由可知点的横坐标为，将 代入椭圆方程，解 得，所以.又由 可得 ， 故，变形可得，等式两边同除以 ，得 ，解得或 （舍去）. 返回导航 21 母题探究 若将本例中“， ”改为“ 为钝 角”，求 的离心率的取值范围. 解：由题意知以为直径的圆与椭圆有四个交点，故 ，所以 .又，所以，即.所以 ， 又，所以，所以的离心率的取值范围为， . 返回导航 22 求椭圆离心率的值或范围的方法 （1）直接法：若已知<m></m>，<m></m>可直接利用<m></m>求解；若已知<m></m>，<m></m>或<m></m>，<m></m>可借 助于<m></m>求出<m></m>或<m></m>，再代入公式<m></m>求解. （2）方程、不等式（组）法：若<m></m>，<m></m>的值不可求，则可根据条件建立<m></m>， <m></m>，<m></m>的关系式，借助于<m></m>，转化为关于<m></m>，<m></m>的齐次方程或不等 式，再将方程或不等式两边同除以<m></m>的最高次幂，得到关于<m></m>的方程或不等 式，即可求得<m></m>的值或范围. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ （1）如图，直线 过 椭圆的左焦点和一个顶点 ， 该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：选D.设椭圆的焦距为，则, ， 因为直线的斜率 ， 由题意可得 ， 则，解得，所以椭圆的离心率为 . √ 返回导航 24 （2）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点 ， 使 ，则椭圆的离心率 的取值范围为_______. , 解析：设，，则 ， ， 即 ， ，即，当且仅当 时，等号成立， 故 ， 即，又，所以 . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.焦点在 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭 圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意知，,,则 ,得 , 所以椭圆的标准方程为 . √ 返回导航 27 2.（多选）（2025·太原期中）已知椭圆 ，则下列说法正确的 是( ) A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆 的一个焦点 C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为 解析：选.由椭圆，可知椭圆的焦点在轴上，且 , ,，椭圆的四个顶点分别为,, , ，焦点分别为,，椭圆的短轴长为 ，离心率 为 ，故A错误，B,C,D均正确. √ √ √ 返回导航 28 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离 心率为( ) A. B. C. D. 解析：选A.不妨设椭圆的左、右焦点分别为，， 为 椭圆的上顶点. 依题意可知， 是正三角形. 因为在中， ， ， ， 所以 ， 即椭圆的离心率 . √ 返回导航 29 4.（教材P练习T改编）比较椭圆与 的形 状，则____更扁.（填序号） ① 解析：把化为标准形式 ，离心率 ，又的离心率，则 ，故① 更扁. 返回导航 30 1.已学习：椭圆的简单几何性质． 2.须贯通：（1）根据几何性质求椭圆方程的方法. （2）求离心率的常用方法：直接法，方程（不等式）法. 3.应注意：焦点的位置对椭圆性质的影响；椭圆离心率的范围为 . 返回导航 31 $