3.1.1 椭圆的标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程，通过基础达标题（如焦距计算、方程参数范围）导入，衔接椭圆定义与几何性质，逐步深入焦点三角形面积、轨迹方程等综合应用，构建从基础到能力的学习支架。 其亮点在于融入数学眼光（如阿基米德椭圆面积史料）、数学思维（焦点三角形余弦定理推理）和数学语言（轨迹问题符号表达），分层设计题目（基础、能力、素养）。学生能巩固知识提升思维，教师可高效检测教学效果。

课后达标检测 1 1.（2025·莆田期中）椭圆 的焦距是( ) A. B. C.2 D.4 解析：选B.由可得 ， 故椭圆的焦距是 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取值范围为 ( ) A. B.且 C. D. 解析：选D.由题意知，，解得 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.设点为椭圆上一点，，分别为 的左、右焦 点，且 ，则 的面积为( ) A. B. C. D. 解析：选C.设, ， 根据椭圆的定义以及余弦定理得 整理得，即 ， 所以的面积为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆 的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面 直角坐标系中，椭圆的面积为 ，两 焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意得 解得所以椭圆的标准方程是 .故选A. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.已知的周长为20，且顶点，，则顶点 的轨迹方程 是( ) A. B. C. D. 解析：选B.由，得点的轨迹是以， 为焦点的椭圆（除去与轴的交点），其中， ，可得 ， . 故其方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切，则圆心 的轨迹可以 是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选.如图，设已知圆的圆心为，半径为 ，圆内的 定点为，动圆的半径为.若点与点 不重合，由于两圆相 内切，则.由于，所以 ，即 .所以动点到两个定点，的距离和为常数 . 因为为圆内的定点，所以 . 所以动点 的轨迹为椭圆. 若，重合为一点，则此时动点的轨迹为以为圆心， 为直径的圆. 综上，圆心 的轨迹为椭圆或圆. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7.若椭圆的一个焦点坐标为，则实数 的值为___. 4 解析：因为椭圆的焦点在轴上，所以， ，所以 ，解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 8.已知椭圆，点是椭圆上一点，， 是椭圆的焦点，且 ，则 的面积为____. 解析：由，可知，，所以 ，从而 . 在 中，由余弦定理得 ，即 . ① 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 由椭圆定义得 .② 由①②联立可得 . 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 9.已知，分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点. 若，则点 的横坐标为____. 解析：由，得 ， 设,, ， 则 , ,则 , 即，则 解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 10.（13分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点在轴上，且， ；（5分） 解：因为，，所以，且焦点在 轴上，故 椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 （2）椭圆的两个焦点的坐标分别是， ，并且椭圆经过点 ， .（8分） 解：由题意得，椭圆的焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为 . 由椭圆的定义，知 ，所以 . 又因为，所以 . 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 11.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，是 上的 动点，则( ) A. B. 的最大值为9 C.的面积的最大值为12 D.存在点，使得 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：选.由题意可知，，，所以 ， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，设的顶点，则 ， ,C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，当点 为 此交点之一时， ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则 周长的最大值是_____. 解析：由题意可得，记椭圆右焦点为 ， 如图所示，则 的周长为 . 当且仅当直线 经过右焦点（不经过左焦点）时取 得等号. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 13.（13分）已知，分别是椭圆 的左、右焦 点，为 上一点. （1）若，点的坐标为，求椭圆 的标准方程；（5分） 解：已知，所以.点 在椭圆上，将其代入椭圆方程 ，可得，解得 ，所以 . 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 （2）当时，的面积为4，求 的值.（8分） 解：方法一:因为 ， 所以的面积，则 . 根据椭圆定义知 . 由勾股定理可得 . 又 ， 即 . 又，两式联立解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 方法二：令 ，由题意得 ,解得 （负值已舍去）. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.（15分）已知点，，动点 满足 ，将动点的轨迹记为 . （1）求轨迹 的方程；（6分） 解：因为，所以轨迹是以, 为焦点的椭圆. 设的方程为，则，得，又 ，所 以，所以轨迹的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）若为上一点，且点到轴的距离，求 内切圆的 半径的取值范围.（9分） 解：的周长， 的 面积，所以 内切圆的半径 ,，故内切圆的半径的取值范围为， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 15.已知圆， 为圆内一点，将 圆折起使得圆周过点 （如图），然后将纸片展开，得到 一条折痕 ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折 痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 解析：选A.由题知，,，记点关于折痕 的对称点为，折痕与相交于点，则点 在圆周上， 折痕为线段 的垂直平分线，如图所示，则有 ，可知 ，所以点的轨迹是以 , 为左、右焦点的椭圆，其中，，所以,, ， 所以点 的轨迹方 程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲线的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 $