2.1 第2课时 圆的一般方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 1 第2课时 圆的一般方程 2 给出如下方程,常数,,,,, 适当取值，能表示直线吗？能表示二次函数对应的抛物线吗？能表示圆吗？ 圆的标准方程与上述方程有何关系？这就是这节我们需要解决的问题. 返回导航 新课导入 3 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半 径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 圆的一般方程的概念 思考1 圆的标准方程 可否化为二元二次方程的一 般形式？ 提示 可以，圆的标准方程 展开得到 ，令， ， ，则 是二元二次方程的一般 形式. 思考2 方程 一定表示圆吗？举例说明. 提示 不一定，如，表示坐标原点；如 ， 不能表示任何曲线. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.方程 叫作圆的一般方程. 2.方程 表示的图形 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点①_ __________ 表示以点②_ _________为圆心，③_ _________为半 径的圆 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ （2）方程 是圆的方程.( ) × （3）若方程表示圆，则有 .( ) √ （4）利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系.( ) × 2.已知圆的一般方程为 ，则半径为( ) A.1 B.3 C.4 D.9 解析：选B.因为圆的一般方程为 ,所以圆的标准 方程为 ，所以圆的半径为3. √ 返回导航 9 3.已知圆的一般方程为 ，则该 圆的半径的最小值为____. 解析：圆的方程 可化为 ，半径为，当 时， 圆的半径取得最小值 . 返回导航 10 4.若点在圆的外部，则实数 的取值 范围是_________. ， 解析：因为点在圆 的外部， 所以 即解得 . 返回导航 11 判断二元二次方程表示圆的两种方法 （1）配方法：对形如<m></m>的二元二次方程可以通 过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆. （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断<m></m>与0的 关系，确定它是否表示圆. 注意 在利用<m></m>来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意 <m></m>与<m></m>的系数. 返回导航 12 二 求圆的一般方程 ［例1］ 求满足下列条件的圆的一般方程. （1）圆心在直线上，与轴相交于， 两点； 【解】设圆的一般方程为 ， 则圆心坐标为, . 由题意得解得 故所求圆的一般方程为 . 返回导航 13 （2）经过的三个顶点，， ． 【解】设所求圆的一般方程为,因为点，， 在所求的圆上， 所以解得 故所求圆的一般方程为 . 返回导航 14 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为 <m></m>； （2）根据已知条件，建立关于<m></m>，<m></m>，<m></m>的方程组； （3）解此方程组，求出<m></m>，<m></m>，<m></m>的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 返回导航 15 ［跟踪训练1］ 已知,, . （1）求 的外接圆的一般方程； 解：设 外接圆的方程为 ， 由题意得 解得即 的外接圆的一般方程为 . 返回导航 16 （2）点在的外接圆上，试求 的值. 【解】因为点在（1）所求的圆上，故点 的坐标满足圆的方 程，可得，即 ，解得 或 . 返回导航 17 三 与圆有关的动点的轨迹问题 ［例2］ （对接教材例4）已知点是圆 上的定点，点 是圆内一点， 为圆上的动点. （1）求线段的中点 的轨迹方程； 【解】设线段的中点，由中点坐标公式，得点 的 坐标为 . 因为点在圆 上， 所以，故线段的中点 的轨迹方程为 . 返回导航 18 （2）求过点的弦的中点 的轨迹方程. 【解】设 . 因为点 是弦的中点， 所以为坐标原点 . 方法一:当，斜率都存在时，有，即 ，整 理得 . 当或时，点，，， 也都满足方程.故所求 轨迹方程为 . 方法二：易得, ，整理得 . 返回导航 19 方法三：由圆的几何性质可知，点一定在以线段 为直径的圆上，此时 圆心坐标为，，半径为,所以点 的轨迹方程为 ，整理得 . 返回导航 20 母题探究 若也是圆上的动点，且 ，求线段 的中点 的轨迹方程. 解：设线段的中点 ， 在中， . 设为坐标原点，连接（图略），则 ，所以 ，所以 ，故线段的中点 的轨迹方程为 . 返回导航 21 求轨迹方程的三种常用方法 返回导航 22 注意 （1）若要求某点的轨迹，须在求出轨迹方程后说明轨迹是什么样的 图形. （2）在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除（增加）的点. 返回导航 23 ［跟踪训练2］ 在等腰三角形中，若一腰的两个端点分别为 ， ，为两腰的交点，求另一腰的一个端点 的轨迹方程. 解：方法一:设点的坐标为，因为为等腰三角形，且 为两腰 的交点，所以 . 又因为 ， 所以 ， 所以 . 又因为，， 三点不能共线， 返回导航 24 当为线段的中点时，点坐标为，所以点 的轨迹方程为 去掉,两点 . 方法二：设点的坐标为，因为为等腰三角形，且 为两腰的 交点，所以 . 所以点在以为圆心， 为半径的圆上，所以该圆的方程为 . 又因为，，三点不能共线，当为线段的中点时， 点坐标为 ，所以点的轨迹方程为去掉 , 两点 . 返回导航 拓视野 圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，设 ，则 为参数 .这就是圆心在原 点，半径为的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度. 当圆心为，半径为的圆的标准方程是 时， 其参数方程为： 为参数 . 返回导航 26 ［典例］ 已知点是曲线上的动点，点 的坐标为 ，点的坐标为，则 的取值范围为________. 解析：设，则 ， ，所以 ，因为 ，所以，即 的取值范围为 . 返回导航 27 ［练习1］ 已知实数，满足，则 的最大 值是_________. 解析：由得 ，所以可设 为参数 ,则 ,因 为，所以的最大值是 . 返回导航 28 ［练习2］ 已知是圆上一动点，,为 的中 点，为坐标原点，则点 的轨迹方程为______________________. 返回导航 29 解析：如图所示，因为圆 的参数方 程为 为参数，所以设点 ， 则, ， 令, ,所 以,,所以点在圆心为，半径为的圆上，即点 的轨 迹方程为 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.圆 的圆心坐标和半径分别为( ) A.， B.， C.， D.， 解析：选C.由圆的一般方程可知圆心坐标为 ，半径 . √ 返回导航 32 2.（2025·宿迁期中）如果方程 所表示的曲线关于 对 称，则必有( ) A. B. C. D. 解析：选A.方程 表示圆心 为的圆，由题意可知圆心在直线 上， 则,即 . √ 返回导航 33 3.在平面直角坐标系中，过直线与两坐标轴的交点及点 的圆的一般方程为_____________________. 解析：令，得，解得，所以直线 与 轴的交点为 , 令，得，解得，所以直线与 轴的 交点为 , 设圆的一般方程为,因为， ， 三点都在圆上， 返回导航 34 所以解得 故所求圆的一般方程为 . 返回导航 35 4.在平面直角坐标系中，线段的两个端点，分别在轴和 轴上 滑动，且，求线段的中点 的轨迹方程. 解：设，，线段的中点 ， 因为为线段的中点，所以 , ， 因为 ， 所以，即 ，得 . 所以点的轨迹方程是 . 返回导航 36 1.已学习：（1）圆的一般方程. （2）和圆有关的轨迹方程. 2.须贯通：（1）二元二次方程表示圆的判定方法. （2）待定系数法求圆的方程. （3）求轨迹方程的常用方法. （4）圆的一般方程的实际应用. 3.应注意：二元二次方程表示圆的条件. 返回导航 37 $