1.5.1 平面上两点间的距离-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面上的距离，核心涵盖两点间距离公式、中点坐标公式及坐标法应用。以公交站点选址问题导入，衔接直线方程知识，搭建从实际情境到代数运算的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过问题驱动和实例探究，培养数学眼光、思维与语言。如用坐标法证明菱形对角线垂直，强化逻辑推理与运算能力，课堂小结系统梳理易错点。学生能提升知识应用与创新意识，教师可高效实施素养导向教学。

第1章 直线与方程 1 1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 2 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个 公交站点 ,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小 区的距离之和最小? 返回导航 新课导入 3 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 两点间的距离公式及应用 思考1 应用两点间距离公式时是否需要考虑两点间的顺序？ 提示 此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成 ，利用此公式可以将有关的几何问题转 化成代数问题进行研究. 思考2 当平行于坐标轴或在坐标轴上时怎样计算 ? 提示 当平行于轴或在轴上时，有 ； 当平行于轴或在轴上时，有 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.平面上,两点间的距离公式 ①________________________. 2.原点与任一点的距离 ②__________. 返回导航 8 ［例1］ （1）已知点，，，则 的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析：因为 ， ， ，所以 ，故 为直角三角形. √ 返回导航 9 （2）已知点是直线上一点，点与点 间的距离为5，则点 的坐标为______________. 或 解析：因为点是直线 上一点， 可设 ， 则 ， 解得或 ， 所以点的坐标为或 . 返回导航 10 关于两点间距离公式的应用 （1）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长， 再结合三角形的性质判断. （2）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是 求出的值需要检验. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）以，，， 为顶点的四 边形 的形状是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 √ 返回导航 12 解析：选D.因为，，，，所以 , , ， 且 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 又，则四边形 为矩形，又 ，则四边形 为正方形. 返回导航 （2）若直线与 在第二象限相交于点 ，且点到原点的距离为，则 的值为____. 解析：两直线不平行，故 ， 联立与 ， 解得因为点在第二象限，故， ,解得 ，由题意得，解得或 （舍去），故 . 返回导航 14 二 中点坐标公式 思考 怎样求三角形的重心坐标？ 提示 设的三个顶点坐标为，， ，则 的重心的坐标为 . 返回导航 15 ［知识梳理］ 对于平面上的两点，，线段 的中点是 ，则 ______， ______. 返回导航 16 ［例2］ （对接教材例2） （1）已知的三个顶点为，，，求 边上 的中线 的长； 返回导航 17 【解】设点的坐标为 ， 因为点是线段的中点，， ， 则， ． 所以点的坐标为 ． 又 ，由两点间距离公式， 得 ． 因此，边上的中线的长为 ． 返回导航 18 （2）已知两点，，求点关于点的对称点 的坐标． 【解】设 ，由中点坐标公式可得 解得 即 . 返回导航 19 中点坐标公式的应用 （1）求任意两点<m></m>，<m></m>的中点，应考虑中点坐标公式. （2）若点<m></m>关于点<m></m>的对称点为点<m></m>，则点<m></m>为线段<m></m>的中点，通常考虑 中点坐标公式. 返回导航 20 ［跟踪训练2］ 已知的三个顶点为，， ， 则的中线 的长是( ) A. B.3 C. D. 解析：选A.由题意可知，线段的中点为 ，故 . √ 返回导航 21 三 运用坐标法解决平面几何问题 ［例3］ 用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直. 【证明】 如图所示，四边形 是菱形， 以为轴，过作的垂线为 轴，建立平面直角坐 标系，设各点坐标分别为，, , ,连接，，则, , 因为四边形是菱形，所以，即 ，因为 ， 所以 ，菱形的对角线互相垂直. 返回导航 22 用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. 注意 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ 如图所示，正方形中，在 上任 取一点（点不与，重合），过点作的垂线 交的外角平分线于点．用坐标法证明： ． 返回导航 24 证明：以为原点，射线，分别为轴、 轴的正半 轴建立平面直角坐标系.如图所示， 设正方形边长为 ， 则，，设点的坐标为 . ， ，① .② 联立①②可得（或利用三角形全等求得点 坐 标）. 因为，，所以 . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.（2025·北京期中）过点，的直线的斜率为，则 ( ) A.2 B. C.4 D. 解析：选B.依题意，，解得，所以， , 所以 . √ 返回导航 27 2.（多选）在等腰直角三角形中， ，若点， 的坐标分别为 ，，则点 的坐标可能是( ) A. B. C. D. 解析：选.设，由题意得 所以 解得或故点的坐标为或 . √ √ 返回导航 28 3.（教材PT改编）已知点的坐标为，线段 中点的坐标为 ，，则点的坐标为________， ____. 25 解析：设点的坐标为 ， 因为点的坐标为，线段中点的坐标为, ， 所以解得 即点的坐标为，所以 . 返回导航 29 4.若动点的坐标为，，则动点 到原点的距离的最小值是_ __. 解析：由两点间的距离公式得 到原点的距离为 ，当且仅当 时等号成立，所以所求最小值为 . 返回导航 30 1.已学习：两点间的距离公式. 2.须贯通：（1）由两点间距离求参数. （2）利用“坐标法”解决平面几何问题. 3.应注意：已知距离求参数问题易漏解. 返回导航 31 $