1.2.1 直线的点斜式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击运动员瞄准的现实情境导入，引导学生从子弹轨迹抽象出直线确定条件，衔接斜率公式推导过程，搭建从具体问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以核心素养为引领，用数学眼光观察射击情境提炼直线要素，通过母题探究（如例3直线过定点）和变式训练（如截距变距离）培养数学思维，规范方程定义与表达强化数学语言。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助分层例题和课堂小结优化教学效率。

第1章 直线与方程 1 1.2 直线的方程 1.2.1 直线的点斜式方程 2 射击运动员在进行射击训练时，要掌握两个动作要 领:一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方 向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线,并且运动员达到 了上述的两个动作要求,试从数学角度分析子弹是否会命 中目标. 返回导航 新课导入 3 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 直线的点斜式方程 思考1 在平面内，过点 的直线有多少条？ 提示 无数条. 思考2 在平面内，斜率为 的直线有多少条？ 提示 无数条. 思考3 在平面内，过点且斜率为 的直线有多少条？ 提示 有且只有一条. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.定义：一般地，如果直线经过点,斜率为 ，则方程①_______ ______________叫作直线的点斜式方程. 2.当直线与轴垂直时，斜率不存在，直线 的方程为②_______. 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例1）根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）倾斜角为 ，且经过点 ； 【解】因为倾斜角为 ,所以直线的斜率为 . 由点斜式得直线方程为，即 . （2）经过点，且平行于 轴； 【解】因为平行于 轴，所以直线的斜率为0， 又因为直线过点，所以直线方程为 . 返回导航 9 （3）经过点 ，斜率为3； 【解】由点斜式得直线方程为，即 . （4）经过点, . 【解】由题意得直线的斜率 , 由点斜式得直线方程为，即 . 返回导航 10 利用点斜式求直线方程的方法 （1）用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和直线上一个点的 坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程. （2）已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）已知直线经过坐标原点 ，且它的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.设直线的倾斜角为 ，则，又 ， 所以.所以直线的倾斜角为，则直线的斜率 ， 又直线经过坐标原点，所以直线的方程为 .故选C． √ 返回导航 12 （2）（2025·阜阳期中）将直线绕点顺时针旋转 得到的直 线的点斜式方程是 _ __________________. 解析：因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为 .将其顺时针旋转 ，所得直线的倾斜角为 ，所以所求直线的 斜率为.所以所求直线的点斜式方程为 . 返回导航 13 二 直线的斜截式方程 思考 直线的斜截式方程 是一次函数吗？ 提示 斜截式方程不一定是一次函数的解析式，因为斜截式方程中当 时，为一次函数；当时， 不是一次函数.而一次函数 的解析式 一定可以看成一条直线的斜截式方程. 返回导航 14 ［知识梳理］ 已知直线的斜率为，与轴的交点是,我们把直线与 轴的交点 的纵坐标称为直线在轴上的①______，方程②___________由直线 的斜率和它在 轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程. 截距 提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. （2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为 正数、负数和0（当截距均为0时直线过原点）. （3）一次函数 的图象是一条直线，直线的斜截式方程 就是函数解析式,其中是直线的斜率,是直线在 轴上的截距. 返回导航 15 ［例2］ 求满足下列条件的直线的方程. （1）斜率为2，在轴上的截距为 ； 【解】由题意得，，由斜截式得直线方程为 . （2）倾斜角为直线的倾斜角的一半，在轴上的截距为 ； 【解】因为直线的斜率为 ， 所以其倾斜角为 ，故所求直线的倾斜角为 ，所以 .又，所以直线方程为 . （3）倾斜角为 ，在 轴上的截距为3. 【解】因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率.又 ， 所以所求直线方程为 . 返回导航 16 母题探究 将本例（3）的条件“在轴上的截距为3”变为“与 轴的交点到原 点的距离为3”，求直线的方程. 解：因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率 .因为直线与 轴的交点到原点的距离为3，所以直线在轴上的截距或 .所 以所求直线方程为或 . 返回导航 17 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在<m></m>轴上的截距，代 入方程即可. （2）当斜率和在<m></m>轴上的截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和在 <m></m>轴上的截距，再写出直线的斜截式方程. 注意 在斜率存在的条件下，才能用斜截式表示直线的方程. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在 轴上的截距为( ) A. B. C.1 D. 解析：选B.直线的斜率为，方程为 ，当 时，，所以在轴上的截距为 . √ 返回导航 19 （2）如果直线的斜率和在轴上的截距分别为直线 的斜率的 一半和在轴上截距的两倍，那么直线 的斜截式方程为_ __________. 解析：直线的斜率为，在轴上的截距为2，则直线的斜率为 ， 在轴上的截距为，故直线的斜截式方程为 . 返回导航 20 三 点斜式与斜截式方程的应用 ［例3］ 已知直线，当 变化时，所有的直线恒过定 点( ) A. B. C. D. 解析：直线变形为 ， 由直线的点斜式可得直线恒过定点 . √ 返回导航 21 母题探究1 若本例（1）中的直线不经过第四象限，求 的取值范围. 解：直线可化为 ， 因为直线不经过第四象限， 所以解得.所以的取值范围为 . 返回导航 22 母题探究2 若本例（1）中的直线与，轴正半轴分别交于， 两点，求 面积的最小值. 解：直线可化为 ， 当时，，解得 ， 当时， ， 解得或 ， 综上， ， 返回导航 23 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 面积的最小值为6. 返回导航 24 （1）直线过定点问题的求解策略 解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成 的形式，则直线必过定点 . （2）直线的点斜式与斜截式方程的常见应用 由直线方程可以确定直线的位置，计算与坐标轴交点的坐标，求解多边形 的面积以及解决夹角和距离等问题. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ （1）已知直线恒过定点，则 点的坐标 为______. 解析：直线，令，得 ， 则直线恒过定点 . 返回导航 26 （2）与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线 的方程为 _____________. 解析：设直线的方程为 ， 令，可得；令，可得 . 由题意可得，，解得，所以直线 的方程为 . 返回导航 27 PART 02 课堂巩固 自测 28 1.（教材（5）改编）若直线的斜率为，在轴上的截距为 ， 则 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.斜率为，在轴上的截距为的直线 的方程为 . √ 返回导航 29 2.若直线的斜率，又过一点，则直线 经过点( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意知，直线，整理得 . 验证选项，仅有B选项符合方程.故选B. √ 返回导航 30 3.已知直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线 的斜率的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：选D.设直线的斜率为，则其方程为 ，可化为 ，由在轴上的截距的取值范围为 ，可得 ，解得 .故选D. √ 返回导航 31 4.已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转 得 到的，则直线 的方程是___________． 解析：记直线的倾斜角为 ，则，由题意直线 的倾斜角为 ，则，所以直线 的方 程为,即 ． 返回导航 32 1.已学习：（1）直线的点斜式方程. （2）直线的斜截式方程. 2.须贯通：（1）求点斜式方程的方法步骤. （2）斜截式方程的求解策略. （3）含参数方程问题的求解. 3.应注意：利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况. 返回导航 33 $