8.2.2 函数的实际应用-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

课后达标检测 1 1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2024年全年投 入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 ， 则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据： ，， ）( ) A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：选D.设第 年的研发奖金为200万元，则由题意可得 ， 所以 ， 所以 . 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2028年超过200万元. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 2.冈珀茨模型是由冈珀茨 提出，可作为动物种群数量 变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 年后的种群数 量近似满足冈珀茨模型：（当 时，表示2024年初 的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2024 年初种群数量的一半（参考数据： ）( ) A.2031 B.2030 C.2029 D.2028 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 解析：选B.因为,当时， ，设 年后，该物种的种群数量将不足2024年初种群数量的一半，当 时，，所以 ,由题可 知，是大于0的常数，即 ，两边取对数可得， ，因为，所以 ，两边取对 数可得，，解得， ， 故 的最小值为6. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 3.某购物网站在今年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以 再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”.某人在11日当天欲 购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下 的订单张数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选A.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后） 满300元时可减免60元”，即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件 原价48元，因此每张订单至少11件，而要购入商品共45件，所以最少需要 下的订单张数为4.故选A. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 4.一种放射性元素最初的质量为，按每年 衰减，则这种放射性 元素的半衰期为 注：放射性物质的质量衰减为最初质量的一半所需的时 间叫作半衰期,结果精确到，参考数据： ， ( ) A.5.2年 B.6.6年 C.7.1年 D.8.3年 解析：选B.设半衰期为年，则有，即 ， 两边同时取对数得 ，所以 （年）. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 5.（多选）（2023· 新课标Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级 来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数 是 听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级／ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分 别为，， ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 解析：选.因为随着 的增大而增大，且 ，，所以,所以 ，故A正确； 由，得，因为 ，所以 ，故C正确；假设 ，则 ，所以，所以 ，不可 能成立，故B不正确；因为 ，所以 ，故D正确.故选 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 6.要建造一段 的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成 一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的 的 硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地带每米公路的工程量分别是 5人/天和3人/天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地带工作的人数 是____. 28 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 解析：设安排到硬土地带工作的人数为 ，则安排到软土地带工作的人数 为 ， 则在软土地带工作时间为, ，在硬土地带 工作时间为 ，要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工， 即，即，解得，由于, ， 而 ， 由于在上单调递增，在 上单调递减， 故只有当 时，两地带最接近于同时完工，故需安排到硬土地带工作 的人数是28. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 7.如图，某房地产开发公司要在矩形 上规划出 一块矩形地 建造住宅区，为了保护文物，住宅 区不能超越文物保护区的界限 .由实地测量 知，，， ， ，则当设计矩形住宅区的长 _______，才能使其面积最大， 最大面积是_ _________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：设，分别交，于， 点， 设，则， ， 因为，所以 ， 得，所以 , ， 当时，取得最大值，最大值为 . 此时 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.（15分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量（单位:万件）不 超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片 的成本分为固定成本与可变成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每 生产万件电子芯片需要投入的可变成本为 （单位：万元），当年产 量不超过14万件时， ；当年产量超过14万件时， .假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量 （单位：万件）的函数 解析式；（7分） 解：当年产量不超过14万件时， ； 当年产量超过14万件，不超过35万件时， ， 因此 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生 产多少万件该芯片？（8分） 解：当年产量不超过14万件时， ， 当万件时，年利润 的最大值为24万元； 当年产量超过14万件，不超过35万件时， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 , 当且仅当，即万件时,等号成立，此时年利润 的最大值 为30万元. 综上所述,当万件时，年利润 的最大值为30万元， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 9.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯 研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人类大 脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘 规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知研究产生 了重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过的时间（单位：）的大致关系： ，若 陈同学需要在明天15：00考语文考试时拥有复习背诵记忆的 ，则他复 习背诵时间需大约在明天的( ) A.14：30 B.14：00 C.13：30 D.13：00 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 解析：选A.令，， ，因为 ， 所以他在考试前半小时复习即可，所以他复习背诵时间需大约在明天的14： 30.故选A. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 10.某辆汽车以（考虑到高速公路行车安全，要求 ） 的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗为 ,其中 为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为 .欲使 每小时的油耗不超过，则速度 的取值范围为__________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 解析：设每小时的油耗为 ,由题意可得 , 当时， , 所以 , 解得 , 所以.若每小时的油耗不超过 ，则 ，即，解得 , 又,可得,故欲使每小时的油耗不超过 ，则速 度的取值范围需为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 11.（15分）某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工 作地的平均用时.某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示： 当中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 （单位：分钟）为 而公交群体的人 均通勤时间不受 影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题： 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 （1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均 通勤时间？（7分） 解：由题意知，当时， ，根据题意令 ，即，解得 （舍去）或 ， 所以 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论 的单调性， 并说明其实际意义.（8分） 解：当 时， ； 当 时， . 所以 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 当时， 单调递减； 当时， 单调递增. 说明该地上班族有小于 的人自驾时，人均通勤时间是单调递减的； 有大于 的人自驾时，人均通勤时间是单调递增的； 当自驾人数为 时，人均通勤时间最少. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 $