8.2.1 几个函数模型的比较-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数模型比较，核心内容为指数、对数、幂函数的增长差异及模型选取。课堂导入从“如何选择函数模型刻画变化规律”切入，衔接函数概念，搭建从实际问题到抽象模型的学习支架。 其亮点在于通过散点图分析、实例验证（如例1数据拟合、例2销售问题）培养数学眼光，以增长速度比较和逻辑推理（如“总存在x0使logax < xα < ax”）发展数学思维，用规范表达（分段函数、不等式求解）强化数学语言。实例具体，助力学生应用模型解决问题，为教师提供清晰教学流程与巩固练习。

第8章 函数应用 1 8.2 函数与数学模型 8.2.1 几个函数模型的比较 2 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规 律需要用不同的函数模型来刻画.对于一个实际问题，该如何选择恰当的函 数模型来刻画它呢？ 返回导航 新课导入 3 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 三种函数模型的性质 ［知识梳理］ 类别 在 上 的增减性 ①__________ ②__________ ③__________ 图象的变化 趋势 时,增长速度越来 越快； 时,增 长速度越来越慢 随 的增大逐渐 近似与④_____ 平行 随 的增大逐渐近 似与⑤_____平行 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 返回导航 7 类别 增长速度 （1）随着的增大, 增长速度⑥__________, 即使 的值远远大于的值, 的增长速度最终 都会大大超过 的增长速度； （2）随着的增大, 增长速度⑦________ __,在一定范围内,可能会大于,但由于 的增长慢 于的增长,因此总会存在一个,当 时,恒有⑧______ ______ 越来越快 越来越慢 点拨 在区间上,总存在,使得当,, 时, 成立. 续表 返回导航 8 ［例1］ （1）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一 组数据： 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 0 1.00 2.0 3.0 在四个函数模型,为待定系数中，最能反映, 函数关系的是( ) A. B. C. D. √ 返回导航 9 解析：由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映 , 函数关系. 返回导航 10 （2）（多选）如图,能使得不等式 成立的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：结合图象可知,当 时, .故选 . √ √ 返回导航 11 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函 数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图 象趋于平缓的函数是对数函数. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）当 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，当 越来越大时，指数函数的图象增长速度最快.故选A. √ 返回导航 13 （2）已知三个变量,,随变量 变化的数据如下表： 1 2 4 6 8 … 2 4 16 64 256 … 1 4 16 36 64 … 0 1 2 2.585 3 … 则反映,,随 变化情况拟合较好的一组函数模型是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, √ 返回导航 14 解析：选B.从题中表格可以看出，三个变量,, 都是越来越大，但是 增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量 的增长速度最慢，呈对数型函数变化. 返回导航 二 函数模型的选取 ［例2］ 某中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售 情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格 （单位：元）与时间 （单位：天）的函数关系近似满足 .该商品的日销售量（单位：个）与时间 （单位：天） 部分数据如下表所示： 天 20 25 45 60 个 1 680 1 670 1 690 1 720 给出以下两种函数模型： ； . 返回导航 16 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来 描述该商品的日销售量与时间 的关系，并求出该函数的解析式； 【解】由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量先减后增. 若选择①，由表可知，把点， 代入 ，得 即 所以 , 返回导航 17 把点, 代入， ， ，故不符合题意，舍去； 故只能选②，把点，代入 ， 得解得 求得 . 把点， 代入， ， ，所以选择②. 返回导航 （2）求该商品的日销售收入 的最小值. 解：由（1）知 所以 当时，在区间 上是单调递减的， 返回导航 19 当时，在 上单调递减，在 上单调递增. 所以当时， 取得最小值， 且 . 故该商品的日销售收入 的最小值为1 764元. 返回导航 不同函数模型的选取标准 （1）线性函数增长模型适合描述增长速度不变的变化规律. （2）指数函数增长模型适合描述增长速度急剧的变化规律. （3）对数函数增长模型适合描述增长速度平缓的变化规律. （4）幂函数增长模型适合描述增长速度一般的变化规律. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的 奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金（单位：万元）是销售利润 （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利 润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金 为3 万元.现有以下三个函数模型供公司选择： A. ; B. ; C. . 返回导航 22 （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； 解：模型，因为 ，所以匀速增长， 模型，因为 ，所以先慢后快增长， 模型 ， 因为 ，所以先快后慢增长， 所以模型 最符合题意. 返回导航 23 （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： 解：因为销售利润为0万元时，总奖金为0万元，所以 ， 即 ， 又因为销售利润为30万元时，总奖金 为3万元， 所以，即 ， 由解得 所以 ， 返回导航 24 ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 解：如果总奖金不少于9万元， 即 ， 即，即，解得 ， 所以至少应完成销售利润210万元. 返回导航 25 ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 解：设 ， 即 ， 因为与有交点，且 增长 速度比慢，所以当时，恒在 的 下方， 所以 无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.下列函数中，随着 的增大，增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 解析：选D.指数函数，在时呈爆炸式增长，而且 越大，增长 速度越快. √ 返回导航 28 2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增 长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整 后利润与时间 的关系，可选用( ) A.一次函数 B.幂函数 C.指数型函数 D.对数型函数 解析：选D.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反 映与 的关系. √ 返回导航 29 3.在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据： 0.5 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 在四个函数模型中，最能反映， 函数关系的是( ) A. B. C. D. 解析：选D.对于A，当时， ，与表格相差过大，故排除； 对于B，当时， ，与表格相差过大，故排除； 对于C，当时， ，与表格相差过大，故排除； 对于D，由对数函数性质知，表格里的数与 上的点相差较小，故 正确. √ 返回导航 30 4.若，，那么当足够大时，，， 的大小关系是 ________________. 返回导航 31 1.已学习：幂函数、指数函数、对数函数增长趋势的比较. 2.须贯通：掌握3类不同增长的函数模型: （1）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. （2）增长速度较慢的函数模型是幂函数型模型. （3）增长速度平稳的函数模型是对数型函数模型. 3.应注意：函数值大小关系比较时要注意所给区间. 返回导航 32 $