8.1.2 用二分法求方程的近似解-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦“用二分法求方程近似解”核心知识点，从线路故障查找、价格竞猜等生活实例导入，系统梳理二分法的概念（条件、方法）、操作流程及实际应用，通过例题解析、跟踪训练和自测题构建完整学习支架，帮助学生掌握原理、步骤及适用条件。 资料以生活实例激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过逐步缩小区间的二分过程发展数学思维中的逻辑推理与逼近思想，表格化步骤和实际应用问题强化数学语言表达。课中例题与训练助教师高效授课，课后自测及分层检测题供学生查漏补缺，巩固知识盲点。

8.1.2 用二分法求方程的近似解 新课导入 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了一处故障，如果沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线杆，长的线路大约有200根电线杆. 事实上，维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能把故障排除了.你知道他是如何做到的吗？ 学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件． 2.掌握二分法的实施步骤． 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 新知学习 探究 一 二分法的概念 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖励给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”. 思考1．如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 思考2．通过这种方法能猜到具体价格吗？ 【答案】思考1 提示 接下来应猜“600”，即区间的中点值. 思考2 提示 可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格. ［知识梳理］ 条件 （1）函数在区间上①_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2）在区间端点的函数值满足②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 方法 不断地把函数的零点所在的区间③_ _ _ _ _ _ _ _ ,使区间的两个端点逐步④_ _ _ _ _ _ _ _ ,进而得到零点近似值 【答案】连续不断； ； 一分为二； 逼近零点 点拨 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点（曲线通过零点,且在零点两侧函数值异号）,对函数的不变号零点（曲线通过零点,且在零点两侧函数值不异号）不适用 . ［例1］ （1） （多选）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（ ） A. B. C. D. （2） 设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定方程的近似解所在区间为（ ） A. 或都可以 B. C. D. 不能确定 【答案】（1） BCD （2） B 【解析】 （1） 根据二分法的定义，知函数 在区间 上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间 一分为二，逐步得到零点的近似值.对于，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故 错误.对于，，，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故，，正确.故选. （2） ，，第一次取，有，故第二次取，有，故此时可确定方程的近似解所在区间为. 运用二分法求函数的零点应具备的条件 （1）函数图象在零点附近连续不断; （2）在该零点左右的函数值异号. 只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数的零点. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ） A. B. C. D. （2） 函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ACD （2） , 【解析】 （1） 选.，，当 时，；当 时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故 错误.其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，能用二分法求零点，故,,正确. （2） 设，则,，取区间 的中点为，，所以可确定 所在的区间为,. 二 二分法求方程近似解的操作流程 ［知识梳理］ 【答案】 ［例2］ （对接教材例3）已知函数.用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确到）. 【解】 因为函数 在区间 上是连续且单调的， 可知其在区间 上的零点即为方程 在区间 上的解， 且，，可得 在 内有且仅有一个零点， 在区间 上利用二分法列表如下： 区间 中点 函数值 2.5 2.75 2.625 因为 与2.625精确到0.1的近似值都是，所以方程 在区间 上的一个近似解为2.6. 二分法求近似解的基本方法 （1）依据函数图象估计零点所在的初始区间（一般采用估计值的方法完成）. （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值. ［跟踪训练2］．用二分法求在内的近似解（精确到）.参考数据： 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 解：令，则，.用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点 函数值 1.5 1.25 1.375 因为1.375与 精确到0.1的近似值都为，所以 在 内的近似解可取为1.4. 三 二分法思想的实际应用 ［例3］ 工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其外形无法分辨，仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点，现用一台天平，通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币，则最少只需称量（ ） A. 4次 B. 5次 C. 6次 D. 7次 【答案】C 【解析】将64枚纪念币均分为两组，分别称其质量，假的一定在轻的那一组，再将这一组（共32枚）均分为两组，称其质量，这样一直均分下去，6次就能找出那枚假的，即最少只需称量6次.故选. 二分法的思想方法除了可以用来处理生活中的对称问题,还可以处理一些现实中的不对称问题.要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用. ［跟踪训练3］．“从地到地的海底电缆有15个接点”,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,则怎样检测最合理? 解：如图所示,把从 地到 地的海底电缆抽象成一条线段,图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1,2,3, ,15.先检查最中间的接点,即第8号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点,检查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则检查 号中间的接点,即第4号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点,检查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则检查 号中间的接点,即第2号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点；若左端断路,则故障点为第1号接点；若右端断路,则故障点为第3号接点,到此检查完毕. 课堂巩固 自测 1．已知函数的图象如图，则零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ） A. 4,4 B. 3,4 C. 5,4 D. 4,3 【答案】D 【解析】选.图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右两侧函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3. 2．用二分法求函数的零点时,第一次所取的区间可选为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.,,,,,则,即初始区间可选. 3．已知函数，，用二分法逐次计算时，若是的中点，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，，. 4．用二分法求函数的一个零点,其参考数据如下： 的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 据此数据,可得方程的一个近似解（精确到）可取_ _ _ _ .（答案不唯一） 【答案】1.56 【解析】由题知,,因为 与 精确到0.01的近似值都为,所以原方程的一个近似解可取1.56. 1.已学习：（1）二分法的概念. （2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.须贯通：（1）化归思想：把求方程的近似解转化为求函数的近似零点. （2）逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想. 3.应注意：并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足条件： （1）在区间上的图象连续不间断； （2）的函数方可采用二分法求得零点的近似值. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知定义在上的函数的图象是连续不间断的，且有如下对应值表： 0 1 2 3 3.1 0.1 那么函数一定存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以 在 内一定存在零点. 2．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.令，易得函数 在 上是增函数，,，所以函数 在区间 上有唯一零点，所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是.故选. 3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表所示.那么方程的一个近似解（精确到）可以是（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 【答案】C 【解析】选.因为，，所以，所以函数在 内有零点; 因为，所以，所以函数在 内有零点； 因为，所以，所以函数在 内有零点； 因为，所以，所以函数在 内有零点， 又区间 内所有数精确到0.1 的近似数都是， 所以方程 的一个近似解（精确到）可以是1.4.故选. 4．已知函数在区间上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数在区间，内一定有零点 B. 函数在区间，或，内有零点 C. 函数在区间，内无零点 D. 函数在区间，或，内有零点，或零点是 【答案】D 【解析】选.根据二分法原理，依次“二分”区间后，函数 应在，或，内有零点，或零点是.故选. 5．（多选）用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表. 1.25 1.375 1.422 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有实数解 C. 若精确到，则近似解可取为1.4 D. 若精确到，则近似解可取为1.43 【答案】BC 【解析】选.因为 与 都是 上的增函数， 所以 是 上的增函数， 所以 在 上至多有一个零点，由表格中的数据可知，，， 所以 在 上有唯一零点，零点所在的区间为， 所以，错误；方程 有实数解，正确； ,, 又区间 内所有数精确到0.1的近似数都是，则近似解为，正确； ,, 但是1.422与 精确到0.01的近似值不同，所以近似解不为，错误.故选. 6．（多选）下列函数的零点能用二分法求解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.对于 选项，在 上为增函数，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于 选项，在 为增函数，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于 选项，恒成立，所以不能用二分法求解；对于 选项，，在 上单调递增，上单调递减，且，则零点两侧函数值异号，可用二分法求解.故选. 7．若函数有零点,但不能用二分法求出,则,的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 有零点,但不能用二分法,所以函数 的图象与 轴相切,所以,所以. 8．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算，的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，， 取 的中点，则， 所以，函数 的零点在区间,内， 故 为区间 的中点值，因此，. 9．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是_ _ _ _ .（填写所有正确的序号） ；；；；. 【答案】①②④ 【解析】由二分法的步骤可知，因为零点在 内，则有，则 与 符号不同，不妨设，，故①正确；取中点2，因为零点在 内，则有，则，，故②正确；取中点1，因为零点在 内，则有，则由 知，故③错误；取中点，因为零点在 内，则有，则由 知，故④正确；取中点，因为零点在 内，则有，则由 知，故⑤错误，所以与 符号不同的是，，. 10．（13分）已知函数在区间上有一个零点. （1） 求实数的取值范围；（6分） （2） 若，用二分法求方程在区间上的解.（7分） 【答案】 （1） 解：若，则，与题意不符； 若，则易得 在 上是一条单调连续的曲线， 因为 在区间 上有一个零点，所以， 解得， 故实数 的取值范围为. （2） 若，则， 所以，， ， 所以函数 的零点在区间 内， 又，且 在区间 上单调递增， 所以方程 在区间 上的解为. B 能力提升 11．表示不超过的最大整数,例如,.已知是方程的根,则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.令, 当 时,, 当 时,, 即,即表示 在 上有零点或者方程 在 内有根.所以.故选. 12．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确到）时，依次计算得到如下数据:,,,，关于下一步的说法正确的是（ ） A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【解析】选.由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，,但 内的数精确到0.1的近似数不相等，故没有达到精确的要求，应该接着计算 的值. 13．用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： 1.00 1.25 1.375 1.50 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（精确到）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 【答案】B 【解析】选.因为，故根据二分法思想，函数 的零点在区间 内，由于1.25与1.375精确到0.1的近似值不同，需要再取其中点，可估算，所以 的零点在区间 内，其精确到0.1的近似值为1.3. 14．（13分）已知函数在上单调递增，用二分法求方程的正根（精确到）. 解：由于函数 在 上单调递增，故在 上也单调递增， 因此 的正根最多有一个. 因为，， 所以方程的正根在 内，取 为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 0.5 0.732 0.25 0.375 0.328 0.124 因为0.25与 精确到0.1的近似值都为， 所以 的正根约为0.3. C 素养拓展 15．（15分）已知函数. （1） 判断的奇偶性；（7分） （2） 方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由.注：区间的长度为.（8分） 【答案】 （1） 解：要使函数有意义，则 解得，即定义域关于原点对称， 又， 所以 为奇函数． （2） 由题意知方程 等价于， 可化为，. 设，. 则，， 因为函数 的图象连续不断，且，故方程 在 上必有实根． 又， 所以， 故方程 在 上必有实根．又区间长度， 所以满足题意的区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $