7.1.2 弧度制-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第7章 三角函数 1 7.1 角与弧度 7.1.2 弧度制 2 弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如： 海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富 有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨 大的改变． 返回导航 新课导入 3 1.理解弧度制的概念，掌握角度与弧度之间的互化. 2.能用弧度制表示终边相同的角. 3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 弧度制 思考1 在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 提示 1度的角等于周角的 . 思考2 射线绕端点旋转到形成角 ，在旋转过程中， 射线上的两点，（不同于点 ）形成的轨迹的长度为 ，，其中，，在旋转过程中，弧长 与半 径的比值和弧长与半径 的比值有何关系？ 提示 相等.设 ，因为，所以.同理，故 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的①_ ___为1度的角,记作 弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于②________的弧所对的圆心角叫作1弧度 的角,记作（ 可省略不写） 半径长 返回导航 8 2.弧度数的计算 返回导航 9 3.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 ③____ ④______ ⑤___ ⑥______ 度 度数 弧度数 弧度数 度数 返回导航 10 ［例1］ （1）下列说法中不正确的是( ) A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B. 的角是周角的,的角是周角的 C.根据弧度的定义, 一定等于 弧度 D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 解析：选D.根据角度制和弧度制的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角 的大小与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,故D不正确. √ 返回导航 11 （2）（对接教材例3、例4）将下列角度与弧度进行互化： ① ； 【解】 . ② ； 解： . ③ ； 解： . ④ . 解： . 返回导航 12 （1）圆心角 所对的弧长与半径的比值与圆的半径无关,只与角 的大小 有关,可用这个比值来度量圆心角. （2）角度制与弧度制的互化原则和方法 原则：牢记,充分利用和 进行换算. 方法：设一个角的弧度数为 ,角度数为,则 ； . 注意 在表示角的时候,角的单位要统一,角度制与弧度制不能混用. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）在大小不同的圆中, 的圆心角所对的( ) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径 解析：选D.由弧度制的定义,1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角, 所以 的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.故选D. √ 返回导航 14 （2）已知 ，，, ,,则 ， ， , , 的大小关系依次为___________________. 解析：方法一（角度化为弧度） ， ,因为 ,所以 . 方法二（弧度化为角度） ， , ,因为 ,所以 . 返回导航 15 二 用弧度制表示角 ［例2］ 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： （1） 【解】边界对应射线所在终边的角分别为，， , 所以终边在阴影部分的角的集合为 . 返回导航 16 解：边界对应射线所在终边的角分别为 ，， ， ， ,所以终边在阴影部分的角的集合为 . （2） 返回导航 根据已知图形写出区域角的集合的步骤： （1）仔细观察图形； （2）写出区域边界作为终边时角的表示； （3）用不等式表示区域范围内的角； （4）按逆时针方向书写. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）用弧度制表示与 角终边相同的角 的集合为 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.,故与 角终边相同的角 的集合为 . √ 返回导航 19 （2）用弧度表示顶点在原点，始边与 轴正半轴重合， 终边在图中阴影部分（包括边界）的角 的集合为 _ _____________________________________. , 解析： 化成弧度为， 化成弧度为 ，所 以终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合为 , . 返回导航 20 三 扇形的弧长与面积公式 ［知识梳理］ （是扇形所在圆的半径, 为扇形的圆心角） 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 ①_____ ②_ ____ ③_______ 返回导航 21 ［例3］ 已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为 ． （1）若 ,,求扇形的弧长 ； 【解】由题意知，所以弧长 ． （2）已知扇形的周长为，面积是 ，求扇形的圆心角. 解：由题意得解得 （舍去）或 故扇形的圆 心角为 ． 返回导航 22 母题探究 若扇形的周长为，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这 个扇形的面积最大？ 解：由题意知 ， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为，此时 ， ． 返回导航 23 扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是<m></m>（其中<m></m>是扇 形的弧长,<m></m>是扇形的半径,<m></m> 是扇形圆心角的弧度数,<m></m>）. （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问 题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公 式、面积公式直接求解或列方程（组）求解. 返回导航 24 ［跟踪训练3 ］ 已知扇形的圆心角为，半径为 ． （1）若, ,求扇形的周长和面积； 解：由题意可得扇形的周长 ，面积 ． 返回导航 25 （2）若扇形的面积是定值，求扇形的周长最小时，圆心角 的 值． 解：由题意可得，则 ，则扇形周长为 ， 当且仅当，即 时等号成立， 此时 ． 即扇形的周长取最小值时， ． 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.与 终边相同的角可表示为( ) A. B. C. D. 解析：选D.选项A,B中角的表示混合用到了角度制和弧度制,不符合要求； 选项C错误,故选D. √ 返回导航 28 2.（多选）下列转化结果正确的是( ) A. 化成弧度是 B.化成角度是 C. 化成弧度是 D.化成角度是 解析：选. 化成弧度是 ，A选项正确； 化成角度是 ，B选项错误； 化成弧度是 ，C选项正确； 化成角度是 ，D选项正确．故选 . √ √ √ 返回导航 29 3.用弧度制表示终边落在轴上方的角 的集合为_____________________ ________. 解析：若角 的终边落在轴上方,则 . 返回导航 30 4.（2025·常州期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示， 已知扇面展开后形成一个中心角为 的扇环，其中扇环的外圆半径为 ，内圆半径为 ，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不 计损耗，则需要布料______ ． 解析：由题意可知，扇环的面积为 ． 返回导航 31 1.已学习：（1）弧度制的概念.（2）弧度与角度的相互转化.（3）扇形的 弧长与面积的计算. 2.须贯通：能灵活进行角度与弧度的互化，使用弧度制表示角与角的集合. 3.应注意：（1）弧度与角度不能混用. （2）弧长和扇形面积公式使用的前提条件是在弧度制下. 返回导航 32 $