5.1 第1课时 函数的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第5章 函数概念与性质 5.1 函数的概念和图象 1 许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化.早晨,太阳从东 方冉冉升起;气温随时间悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高……在 这些变化的现象中都存在着两个变量,当一个变量变化时，另一个变量也随 之发生变化.这两个变量之间存在着函数关系. 返回导航 新课导入 2 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素,并会判断两个函数是否为同一个 函数. 2.会求一些简单函数的定义域和值域. 3.理解函数图象的含义并会画简单的函数图象. 4.能利用图象研究函数的值域. 返回导航 学习目标 3 第1课时 函数的概念 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数的概念 思考 对于坐标平面内的点,若,,是否是 的函数? 提示 不是. 返回导航 7 ［知识梳理］ 概念 一般地，给定两个①______________和 ,如果按照某种对应关 系,对于集合中的②_____________,在集合 中都有③______的 实数和它对应,那么就称为从集合到集合 的一个函 数 记法 ④_________, 定义域 叫作自变量,集合 叫作函数的定义域 值域 若是函数的定义域,则对于中的每一个 （输入值）,都 有一个（输出值）与之对应.我们将所有输出值 组成的集合 , 称为函数的⑤______ 非空实数集合 每一个实数 唯一 值域 返回导航 8 ［例1］ （1）（多选）下列集合到集合的对应 是函数的是( ) A.,0,，， 中的数平方 B.，,0,， 中的数开平方 C.，， 中的数取倒数 D.，， 中的数取绝对值 解析：按照函数的概念，选项B中，集合中的元素1对应集合 中的元素 ，不符合函数概念中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；选项C 中，集合中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数概念中集合 中任意 元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的概念. √ √ 返回导航 9 （2）下列各组函数表示相同函数的是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：对于A，取，两个函数值分别为 和1，不是相同函数； 对于B，两个函数定义域不同，不是相同函数； 对于C，的定义域为，的定义域为 ，不是相同 函数； 对于D，的定义域为，可化简为，的定义域为 ，是 相同函数. √ 返回导航 10 （1）判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个实数集合, 是否为非空集合； ②验证对应关系,集合中的任意性,集合中 的存在性与唯一性. （2）根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于轴的直线 ； ②在定义域内平行移动直线 ； ③若直线 与图形有且只有一个交点,则是函数；若在定义域内没有交点或 有两个及以上的交点,则不是函数. 返回导航 11 （3）判断两个函数是否为同一个函数的步骤 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）设， ，对于下 列四个图象，能表示集合到集合 的函数关系的是( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题图知A的定义域不是 ，不符合题意；B符合函数的定义， 符合题意；C中，集合中有的元素在集合 中对应两个值，不符合函数定 义；D中，当 时，有两个值与之对应，不符合函数定义.故选B. √ 返回导航 13 （2）下列各组函数中表示同一个函数的是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：选B.A中，的定义域为， 的定义 域为 ，故不是同一个函数； B中，与定义域都为 ，且解析式相同，故是 同一个函数； C中，的定义域为，的定义域为 ，故不是 同一个函数； D中，与 解析式不同，故不是同一个函数. √ 返回导航 14 二 求函数的定义域 ［例2］ （对接教材例2）求下列函数的定义域： （1） ； 【解】函数的定义域为 . （2） ； 解：要使函数式有意义,自变量的取值必须满足 解得且 , 即函数的定义域为 . 返回导航 15 （3） ； 解：要使函数式有意义,自变量的取值必须满足解得 且 , 即函数的定义域为 . （4） . 解：要使函数式有意义，自变量的取值必须满足 解得 .即函数的定义域为 . 返回导航 16 母题探究 在本例（4）条件下,求函数 的定义域. 解：因为函数的定义域为 , 则由得 ， 所以函数的定义域为 . 返回导航 17 （1）求函数定义域的常用方法 ①若 是分式,则分母不为零； ②若 是偶次根式,则被开方数大于或等于零； ③若 是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； ④若 是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集； ⑤若 是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义. （2）复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围， 注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 解析：选C.函数 有意义， 则 解得且 ， 所以函数的定义域为 . √ 返回导航 19 （2）已知函数，则 的定义域为( ) A. B. C. D. 解析：选C.要使函数有意义，则 得 ， 即定义域为，令，则，即 的定 义域为 . √ 返回导航 20 三 求函数值和值域 ［例3］ 求下列函数的值域. （1） ; 【解】 ，所以 的值域为 . （2）,,,0,1,2, ； 解：因为,,0,1,2,,把代入得 ,6,3,2,所以 的值域为 . 返回导航 21 （3） ； 解：,显然,所以 ,故函数的值域 为 . （4） . 解：设,则,且 ,所以 ,由 ,结合函数的图象可 得原函数的值域为 . 返回导航 22 （1）求函数值的方法 ①已知函数的表达式时,只需用替换表达式中的，即得 的值； ②求函数 的值应遵循由里向外的原则. 返回导航 23 （2）求函数值域的常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数,值域可通过观察得到； ②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化 为能直接看出值域的方法； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例 函数类”的形式,便于求值域； ④换元法：即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得 原函数的值域. 返回导航 24 ［跟踪训练3］ （1）若，则 ( ) A.0 B.3 C.15 D.30 解析：选A.令 ， 解得 ， 所以 . √ 返回导航 25 （2）函数 的值域为 ( ) A. , B. C., D., 解析：选C.令， ， 则，所以函数，因为， 所以函数的值域为, . √ 返回导航 26 培优点 抽象函数、复合函数的定义域 1.抽象函数的定义 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. 2.复合函数的概念 若函数的定义域为，函数的定义域为，值域为 ，则 当时，称函数为与在 上的复合函数， 其中称为自变量,为中间变量，叫作内层函数， 叫作外 层函数. 返回导航 27 3.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是自变量的取值范围，比如：函数 的定义域是指 的取值范围，函数的定义域也是指 的取值范围，而不是 的取值范围. （2），，，四个函数中的，，， 在 对应关系下的范围相同，在同一对应关系 作用下，括号内整体的取值范 围相同. 返回导航 28 ［典例］ （1）若函数的定义域为，则函数 的定义域 为( ) A. B. C. D. 解析：因为函数的定义域为 ， 所以，即 ， 解得，即的定义域是 . （2）已知函数的定义域为，则函数 的定义域为______. 解析：由函数的定义域为，可得 ，则函数 的定义域为 . √ 返回导航 29 抽象函数定义域的求法 （1）已知<m></m>的定义域为<m></m>，求<m></m>的定义域时，不等式 <m></m>的解集即为定义域. （2）已知<m></m>的定义域为<m></m>，求<m></m>的定义域时，求出<m></m>在 <m></m>上的范围（值域）即为定义域. 返回导航 30 ［练习1］ 已知函数的定义域为，则函数 的定 义域为( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意得，解得，由 ， 解得，故函数的定义域是 . √ 返回导航 31 ［练习2］ 已知函数的定义域为，则函数 的 定义域为_______________. 解析：因为函数的定义域为，所以 ，即函 数的定义域为，则，解得 或 ，所以函数的定义域为 . 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. 解析：选C.要使函数有意义，需满足 解 得且，即函数的定义域为 . √ 返回导航 34 2.（多选）下列各组函数是同一个函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； B中两函数对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是 同一个函数；D中两函数对应关系不同. √ √ 返回导航 35 3.函数,,0,的值域为_________，函数 , 的值域为______. 解析： 因为，，，所以的值域为，1， ；由 的图象（如图），可得函数的值域为 . 返回导航 36 4.函数 的值域是__________. 解析：令，则 ， 所以 ， 结合的图象（图略）可知函数的值域为 ， 即函数的值域是 . 返回导航 37 1.已学习：函数的概念; 函数关系的判断. 2.须贯通：（1）函数的定义域；（2）函数的值域；（3）同一函数的判断. 3.应注意：函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”表示 是的函数， 也不一定是解析式，还可以是图表或图象. 返回导航 38 $