4.1.2 指数幂的拓展-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第4章 指数与对数 1 4.1 指 数 4.1.2 指数幂的拓展 2 牛顿 是大家所熟悉的物理学 家，在数学史上也有杰出的贡献.他在1676年6月13日写 给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将， ， ， 写成，，， ，所以可将 ， ，， 写成，，， ，将，， ， 写成，，， ”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是 这节课我们要学习的指数幂的拓展过程. 返回导航 新课导入 3 1.理解分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化. 2.掌握实数分数指数幂的运算性质并能对代数式进行化简或求值. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 分数指数幂的意义 思考 观察下列各式，你能得出什么结论？ ① ； ② . 提示 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数 指数幂的形式. 返回导航 7 ［知识梳理］ 分数指 数幂 正分数指数幂 规定：①______ 负分数指数幂 规定： ②_ ___ 0的分数指数 幂 0的正分数指数幂为③___,0的负分数指数幂 ④__________ 0 没有意义 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例3）用分数指数幂的形式表示下列各式: （1） ; 【解】 . （2） ; 解： . （3） . 解： . 返回导航 9 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数 分数指数的分母， 被开方数（式）的指数 分数指数的分子. （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题. 返回导航 10 ［跟踪训练1］ 用分数指数幂表示下列各式 （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） . 解： . 返回导航 11 二 有理数指数幂的运算性质 ［知识梳理］ （1）①_____ . （2）②____ . （3）③_____ . 返回导航 12 ［例2］ 计算下列各式（式中字母都是正数） （1） ; 【解】原式 . （2） ; 解：原式 . 返回导航 13 （3） . 解：原式 . 返回导航 14 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 （1）进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数,同时兼顾运算顺序. （2）在明确根指数的奇偶性（或具体次数）时,若能明确被开方数的符号, 则可以对根式进行化简运算. （3）对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. 返回导航 15 ［跟踪训练2］ 计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回导航 16 三 整体代换法求分数指数幂 ［例3］ 已知 ，求值： （1） ； 【解】，两边平方得，所以 . （2） . 解：设，两边平方得 ， 因为，所以，即 . 返回导航 17 母题探究1 本例的条件不变，求 的值. 解：由平方可得 ，所以 . 返回导航 18 母题探究2 本例的条件不变，求 的值. 解：设，两边平方得 ， 因为，所以，即 . 所以 ， . 返回导航 19 利用整体代换法求分数指数幂 （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结 论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公 式及其变形公式. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ 已知 ，求下列各式的值： （1） ； 解：由题意 ，所以 . 返回导航 21 （2） . 解：由题意 ， 所以原式 . 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选； ； ； .故选C. √ 返回导航 24 2.（多选）已知，则 ( ) A. B. C.1 D. 解析：选.令,所以 ,所以 ,所以.故选 . √ √ 返回导航 25 3.已知，将 化为分数指数幂的形式为____. 解析：原式 . 4.若,,则 __. 解析： . 返回导航 26 1.已学习：（1）分数指数幂的意义； （2）分数指数幂的运算性质. 2.须贯通：（1）对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样 可以方便使用同底数幂的运算律； （2）解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”. 3.应注意：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根 式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 返回导航 27 $