3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第3章 不等式 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1 3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的应用 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 分式不等式的解法 ［例1］ 解下列不等式： （1） ; 【解】转化为 , 不等式等价于 , 解得或.故原不等式的解集为 . 返回导航 5 （2） . 解：因为,所以 , 所以 , 则且 . 所以且 , 解得或 . 故原不等式的解集为 . 返回导航 6 分式不等式的求解策略 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元 二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 （不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. （3）分式不等式同解法则：不等式<m></m>和不等式<m></m>同解； 不等式<m></m>和不等式<m></m>同解； 不等式<m></m>和不等式<m></m>且<m></m>同解； 不等式<m></m>和不等式<m></m>且<m></m>同解. 返回导航 7 ［跟踪训练1］ 已知关于的不等式的解集为.若， ， 则 的取值范围是_ ____________________. 或 解析：由，得，即 解得或 . 又，所以或 ， 即或，解得 . 综上，的取值范围是或 . 返回导航 8 二 一元二次不等式恒成立问题 ［例2］ 对，不等式,求实数 的取值范围. 【解】 若 , 显然 恒成立； 若，则 解得 . 综上，实数的取值范围为 . 返回导航 9 母题探究 在本例中，把条件“”改为“ ”,其余不变， 求实数 的取值范围. 解：由不等式得,因为 , 所以,所以可化为 ,因为 ,所以,所以 . 即实数的取值范围是 . 返回导航 10 一元二次不等式恒成立问题的求解方法 （1）转化为对应的二次函数图象与<m></m>轴的交点问题，考虑<m></m>的系数和对应 方程的判别式的符号这两个方面. （2）转化为二次函数的最值问题，分离参数后，求相应二次函数的最值， 使参数大于（小于）这个最值. 返回导航 11 ［跟踪训练2］ 若关于的不等式 恒成立， 则实数 的取值范围是________________. 解析：当时，恒成立；当 时，由题意得 解得 , 因此实数的取值范围是 . 返回导航 12 三 一元二次不等式的实际应用 ［例3］ （对接教材例4）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继 续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是 分析事故的一个重要因素.在一个限速 的弯道上，甲、乙两辆汽车 相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲 车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过 ，又知甲、乙两种车 的刹车距离单位：与车速单位： 之间分别有如下关系： ， ，问：甲、乙两车有无超速 现象？ 返回导航 13 【解】 由题意得，对于甲车， ， 即，而 ， 解得 ，甲车未超过规定限速， 同理对于乙车， ， 即，而 ， 解得 ，乙车超过规定限速. 所以甲车没有超速现象，乙车有超速现象. 返回导航 14 解不等式实际应用题的步骤 返回导航 15 ［跟踪训练3］ 某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元， 年销售18万个. （1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少 2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，则每个削笔器的售价最多为 多少元？ 解：设每个削笔器的售价为 元，由题意可得 ，即 ，解得 .故要使年销售总收入不低于原收入，则每个削笔器的售价最 多为90元. 返回导航 16 （2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略 改革，并提高售价到元.公司计划投入 万元作为技术革新费用，投入 30万元作为固定宣传费用.问：技术革新后，该削笔器的年销售量 至少达 到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求此时每个削笔器的售价. 解：当时，有解，即 有解，因 为,当且仅当,即 时等号成立，所以 ，因此，该削笔器的年销售量 至少达到20万个时，才能使革新后 的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器的售价为30元. 返回导航 17 PART 02 课堂巩固 自测 18 1.不等式 的解集为( ) A. B. C.或 D.或 解析：选B.原不等式可化为解得 故其解集为 .故选B. √ 返回导航 19 2.（2025·宿迁期中）若当时，恒成立，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：选D.在上恒成立等价于在 上恒成立，故，即 . √ 返回导航 20 3.已知不等式的解集不是空集，则实数 的取值范围是 ___________________. 或 解析：因为不等式 的解集不是空集，所以一元二次方程 有两个不同的根，所以,所以 或 . 返回导航 21 4.甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品 ，每小时可获得 利润 元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元， 则 的最小值是___. 3 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则 ，整理得，又 ， 所以，解得或，结合 的取值范围可得 .故 的最小值是3. 返回导航 22 1.已学习： （1）简单分式不等式的解法; （2）一元二次不等式恒成立问题; （3）利用不等式解决实际问题. 2.须贯通： （1）一元二次不等式恒成立问题的判别式法和分离参数法； （2）用一元二次不等式求解实际问题的解法步骤：①选取字母表示未知 数；②列出关于未知数的不等式（组）；③求解所列的不等式（组）；④ 结合实际确定答案. 3.应注意：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 返回导航 23 $