15.3.1等腰三角形的性质课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”性质，从生活中屋顶、衣架等等腰三角形实例导入，通过剪纸对折观察重合线段和角，搭建从直观感知到猜想的学习支架。 其亮点是融合动手实践与技术工具，通过剪纸操作和GeoGebra动态验证培养数学眼光，多种推理证明方法发展推理能力，闯关游戏和建筑测水平实例提升应用意识。学生能深化理解，教师可直接用活动设计提高教学效率。

第1课时 15.3.1 等腰三角形 第十五章 轴对称 年 级：八年级 学 科：数学（人教版） 主讲人：彭冰莲 学 校：罗定中学城东学校 学习目标 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算. 探索并证明等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 生活感知展示动态图片：等腰三角形屋顶排水、衣架、建筑中的等腰装饰结构，提问：“这些物体为何设计成等腰三角形？蕴含哪些数学特征？” 预学——趣味导入 3 活动一：我是剪纸小达人 1.一张长方形纸,一把直尺，一把剪刀，剪出一个等腰三角形。 2.认识等腰三角形： A B C 底角 底边 腰 顶角 腰 底角 3.将这个等腰三角形对折，使它两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 重合的线段: 重合的角: AB与AC BD与CD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC 4.对称轴AD 在等腰三角形里是什么特殊的线段？ 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 A B C D 猜想1：等腰三角形的两个底角相等​​ 猜想2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合​​ 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想 A B C D 导学 活动二：我是发现小能手 重合的线段: 重合的角: AB与AC BD与CD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC 1.打开 https://www.geogebra.org/ 活动三：我是推理小侦探 AI赋能——验证猜想第一步 2、点击“社区资源”—数学—几何—作图 （1）用“线段工具”画等腰三角形（AB=AC）； （2）用“测量工具”测量∠B，∠C的度数，对比是否相等 （3）拖动顶点A，保持AB=AC时，观察∠B，∠C的度数是否依然相等 推理验证1“等腰三角形的两个底角相等” A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 活动三：我是推理小侦探 如何证明两个角相等呢？ 如何构造两个全等的三角形？ 小组讨论证明方法并展示 A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明：作底边 BC 的中线 AD，则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD中， AB = AC BD = CD AD = AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS）． ∴∠B =∠C． 即“等边对等角” D 方法一：作底边上的中线 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 方法二：作顶角角平分线 证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， A B C D ( ( 1 2 ∴ △ABD△ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 方法三：作底边上的高 ∴ ∠B＝∠C. A B C D 证明：作底边BC的高AD，交BC于点D. ∵AD⊥BC，∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD Rt△ACD（HL）， 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). A B C D 在△ABC 中，∵AB = AC， ∴∠B =∠C. 几何语言： 注意：应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不在同一个三角形中不能使用. 获得新知：等腰三角形的性质 A B C 在上述证明“等边对等角”的过程中，除了得到底角相等外，你还能得到什么结论？ 证明：∵△ABD ≌△ACD ， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC， ∴AD 是底边 BC 的高， 也是底边 BC 的中线， 也是顶角∠BAC 的角平分线. D 即“三线合一” 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). A B C D 获得新知：等腰三角形的性质 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”). 几何语言： ？ 性质2可以分解为几个命题？说说看。 等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线. A C B D 1 2 ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） 等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线. 等腰三角形的底边上的高也是底边上的中线和顶角平分线. 等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高. A C B D 1 2 ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (简写成“三线合一”). 几何语言：如图，在△ABC 中， ①∵AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD. ②∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 平分∠BAC ，BD＝CD. ③∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC. B C D A 获得新知：等腰三角形的性质 概念辨析：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 互学——学以致用 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 这是因为等腰三角形底边上的中线又是底边上的高，而此时中线又是铅垂线， 所以等腰三角形底边便是水平线段，这样房梁就是水平的。 【当堂练兵】（游戏：知识闯关） 第一关：速度与激情（口答）​ 1.等腰三角形一个底角为70°，它的顶角是______。 2.等腰三角形一个角为70°，它的分别是___________。 3.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角分别是 _______________。 40° 55°，55°或70°，40° 35°，35° 解决此类问题需要注意些什么？ 教材P80练习 第2题 4. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°. 求∠B 和∠C 的度数. 第二关：技能提升 教材P80练习 第2题 解：在△ABD中，∵AB = AD，∠BAD = 26°， ∴∠B =∠ADB = ×(180° – 26°) = 77°. 在△ADC 中， ∵AD = DC，∴∠C =∠DAC. 又∠ADB =∠C +∠DAC = 2∠C， ∴∠C = ∠ADB = ×77° = 38.5°. 教材P79例题 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. A B C D 解： ∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) 设∠A = x，则 ∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， A B C D 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x， 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°. 解得 x = 36°. 所以，在△ABC 中，∠A = 36°， ∠ABC =∠C = 72° 知识点拨：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. x 2x 2x 5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD 是边 BC 上的中线，且 BD = BE，则∠ADE 的度数为_______. 15° 第三关：智慧挑战（能力拓展） 6. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，在△ABC 中，AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC. 求证：△ABC 是直角三角形. A B C D 证明：∵AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC， ∴AD = BD = CD. ∴∠B =∠BAD，∠C=∠DAC. 又∠BAC +∠B +∠C =∠BAD +∠DAC +∠B +∠C = 2(∠BAD +∠DAC) = 2∠BAC = 180°， ∴∠BAC = 90°.∴ △ABC 是直角三角形. A B C D 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”). A B C D 悟学——知识梳理 布置作业 1、必做：课后P79练习2，P84习题4 课余作业：​​ 用今天所学知识，设计一个以等腰三角形为基本元素的美丽图案。 (2025·江苏扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( ) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC $