2.3.1 函数的单调性和最值（第一课时）教学设计-2025-2026学年高一数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计以“情境导入-探究抽象-应用总结”为主线，系统构建函数单调性知识体系，从生活实例直观感知变化趋势，通过图像观察到符号定义的递进探究，梳理单调递增递减定义、图像法与定义法判断方法及常见函数单调性，形成逻辑连贯的知识网络。 其亮点在于立足核心素养，以艾宾浩斯遗忘曲线等实例引导学生用数学眼光观察现实，通过“直观感知-文字描述-符号定义”探究培养数学思维，规范单调区间表达与证明步骤强化数学语言运用，分层练习与作业设计助力个性化复习，帮助学生巩固知识，教师精准把握学情。

2.3.1 函数的单调性和最值（第一课时）教学设计 一、课程基本信息 项目 内容 课题 2.3.1 函数的单调性和最值（第一课时） 学科 数学 年级 高中一年级 学段 高一上册 课型 新授课 课时 第一课时 教材版本 北师大版高中数学必修一 二、教学目标 知识与技能：理解函数单调递增、单调递减的定义，掌握函数单调性的图像法和定义法两种判断方法；能准确写出函数的单调区间，并用定义法证明简单函数的单调性。 过程与方法：通过观察图像、小组探究、符号转化等活动，培养抽象概括能力、逻辑推理能力和动手实践能力；经历 “直观感知 — 文字描述 — 符号定义” 的认知过程，体会数形结合的数学思想。 情感态度与价值观：通过生活中艾宾浩斯遗忘曲线、数学成绩变化等实例，感受函数单调性与实际生活的联系，激发学习数学的兴趣；在探究过程中培养严谨的数学思维和合作交流意识。 三、教学重难点 教学重点：函数单调递增、单调递减的定义；函数单调性的判断方法（图像法、定义法）。 教学难点：理解定义中 “任意” 二字的核心含义；运用定义法证明函数单调性的步骤（任意取值、作差变形、判断符号、得出结论）。 四、学情分析 高中一年级学生已掌握函数的基本概念、函数图像的绘制与观察方法，具备一定的观察分析和初步逻辑推理能力，但对抽象数学概念的概括能力和严谨的逻辑表达能力仍需提升。学生对 “变化趋势” 有直观认知（如生活中数量的增减），但将直观图像转化为严谨的符号语言（定义）存在困难，尤其容易忽视定义中 “任意” 的普遍性，需要通过具体实例和递进式探究逐步突破。 五、教学准备 多媒体设备（含课件：艾宾浩斯遗忘曲线图、数学成绩变化图、函数图像等）； 探究任务单（含三个探究活动的问题设计）； 课堂练习素材（例题、对点练习题）； 预习任务单（提前让学生观察生活中 “增减变化” 的实例）。 六、教学过程 （一）新知导入：情境激趣，感知趋势（3分钟） 展示素材：艾宾浩斯遗忘曲线图（记忆保存率随时间的变化）、数学成绩变化图（成绩随考试次数的变化），引导学生观察：遗忘曲线的整体变化趋势是什么？（下降）数学成绩变化图中，哪些阶段呈上升趋势，哪些阶段呈下降趋势？（局部上升、局部下降） 提出问题：“这些曲线的变化趋势反映了事物的变化规律，在数学中，函数图像的这种‘上升’‘下降’的变化趋势，就是我们今天要研究的核心内容 —— 函数的单调性。” 设计意图：从生活实例出发，拉近数学与实际的距离，激发学生兴趣；通过直观图像观察，让学生初步感知 “上升”“下降” 的变化特征，为后续抽象定义铺垫。 （二）新知探索：探究辨析，抽象定义（17 分钟） 探究活动一：图像趋势的数学刻画并展示（7 分钟），引导学生观察：图像从左至右的变化趋势？（上升）当x的值增大时，函数值y如何变化？（x增大，y也增大）符号转化：以及用数学语言描述观察到的结果，紧接着师生共同总结。 探究活动二：类比定义，推导单调递减（6 分钟） 展示单调递减函数图像并提出问题：“类比单调递增的定义，如何用符号语言刻画‘x增大，函数值y反而减小’的趋势？”小组讨论：学生结合探究活动一的思路，尝试用符号语言描述。成果展示与总结：师生共同完善单调递减的定义。 探究活动三：辨析 “任意”，突破难点（4分钟） 提出问题：若x = 1, 2, 3, 4时，相应的y = 1, 3, 4, 6，能否说在区间(0, +∞)上，y随x的增大而增大？ 引导思考：“仅取部分x值满足‘x增大，y增大’，是否能说明整个区间的趋势？”（不能） 强调核心：定义中 “任意” 二字是关键，需保证区间内所有自变量都满足对应关系，而非部分值。 设计意图：通过递进式探究，实现 “直观图像→文字描述→符号定义” 的转化，培养抽象概括能力；通过反例辨析，突破 “任意” 这一难点，强化严谨的数学思维。 （三）课堂练习：巩固方法，规范表达（10 分钟） 题型一：图像法判断单调区间（5 分钟） 例题 1：给出函数y = f(x)的图像，要求学生写出其单调区间（增区间、减区间）。 解：函数在区间[-1, 0]、[2, 3]上是减函数；在区间[0, 1]、[3, 4]上是增函数。 注意事项强调：端点有定义时包含端点，无定义时不包含；多个单调区间用 “和” 或 “，” 连接，不可用 “∪” 连接。对点练习：给出二次函数y = x^2的图像，让学生写出其单调递增区间和单调递减区间。 题型二：定义法证明单调性（5 分钟） 例题 2：证明函数f(x) = 4x - 2在定义域(-∞, +∞)上单调递增。 步骤讲解：① 任意取值：② 作差变形：③ 判断符号：④ 得出结论 对点练习：证明函数f(x) = -2x + 1在R上单调递减（学生独立完成，教师巡视指导）。 设计意图：通过例题和练习，巩固图像法和定义法的应用，规范单调区间的表达和定义法证明的步骤。 （四）知识升华：归纳总结，构建体系（5 分钟） 常见函数的单调性梳理： 一次函数f(x) = kx + b：当k > 0时，在R上单调递增；当k < 0时，在R上单调递减； 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的单调性讲解。 方法小结： 单调性判断：图像法（直观快捷）、定义法（严谨准确）； 定义法证明核心：作差变形（转化为可判断符号的形式）、紧扣 “任意” 二字。 设计意图：归纳常见函数的单调性，帮助学生构建知识体系；提炼方法规律，提升解题能力。 （五）课堂总结：梳理脉络，强化重点（3 分钟） 师生共同回顾： 核心概念：单调递增、单调递减的定义（关键词：任意、区间）； 核心方法：图像法、定义法（证明四步骤）； 易错点：单调区间的表示（不用 “∪”）、定义中 “任意” 的理解。 布置作业：教材第 64 页习题第 3 题（图像法判断单调区间）、第 5 题（定义法证明单调性）。 设计意图：梳理知识脉络，强化重点难点；通过作业巩固课堂所学。 七、板书设计 2.3.1 函数的单调性和最值（第一课时） 一、核心定义 1. 单调递增：∀x₁, x₂∈D，x₁<x₂ → f(x₁)<f(x₂) 2. 单调递减：∀x₁, x₂∈D，x₁<x₂ → f(x₁)>f(x₂) 二、判断方法 1. 图像法：观察上升/下降趋势 2. 定义法：任意取值→作差变形→判断符号→得出结论 学科网（北京）股份有限公司 $