13.3.1.1三角形的内角和 课件2025-2026学年 人教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理，通过复习三角形三边关系及稳定性，结合三类三角形对内角和的认知冲突导入，搭建从旧知到探究内角和等于180°的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以操作验证（折叠、剪拼）和多种作平行线证法培养推理能力，结合方程思想、方位问题实例渗透转化思想，小结归纳辅助线作用与核心思路，助力学生发展数学思维与应用意识，教师可高效实施分层教学。

人教版（2024）版数学8年级上册 第十三章 三角形 13.3.1.1三角形的内角和 复习 1.三角形三边的关系： 2.三角形具有____________. 3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm， a的取值范围是什么？ 稳定性 4<a<8 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 13.3.1.1 三角形的内角和 神秘的“角度密码” 观察生活中的三角形物体，思考下列问题： 1. 木工师傅制作三角形窗框时，会测量三个角的度数，他最关注什么？ 2. 将两个三角尺（含30°、60°、90°和45°、45°、90°）的三个角分别相加，结果都是多少？ 3. 一张三角形纸片，剪掉一个角后，剩下的图形内角和还是180°吗？ 今天我们就来揭开三角形内角和的神秘面纱，掌握这个重要的“角度密码”。 一、相关概念回顾 在探究内角和之前，我们先明确几个基础概念： 1. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。如图，△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C。 2. 按角分类的三角形：我们曾按内角大小将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和是否存在共性？ 3. 平角的性质：平角的度数是180°，这一性质将帮助我们推导三角形的内角和。 二、动手实验：初探内角和 请同学们分组合作，用以下方法探究三角形内角和，记录实验结果： 方法1：测量法 1. 任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形； 2. 用量角器分别测量三个内角的度数； 3. 计算每个三角形三个内角的和，填入下表： （示例：锐角三角形∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，和为180°；直角三角形∠A=90°，∠B=45°，∠C=45°，和为180°） 方法2：剪拼法 1. 把三角形纸片的三个角分别剪下来； 2. 将三个角的顶点重合，拼在一起（如图）； 观察结果：三个角恰好能拼成一个平角，即180°。 方法3：折叠法 1. 将三角形纸片的∠A和∠B向内折叠，使它们的顶点与∠C的顶点重合； 观察结果：∠A和∠B的边与∠C的边重合，三个角组成一个平角。 注意：测量法可能因误差导致结果接近180°而非精确值，剪拼法和折叠法更直观地体现了内角和的本质。 三、严谨证明：确认内角和定理 实验只能给出猜想，我们需要用几何推理证明：三角形三个内角的和等于180°。 已知：如图，△ABC。 求证：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°。 证明方法1：作平行线（常用方法） 1. 过点C作直线DE ∥ AB； 2. 因为DE ∥ AB（已作），所以∠A = ∠ACD（两直线平行，内错角相等），∠B = ∠BCE（两直线平行，内错角相等）； 3. 因为∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = 180°（平角定义）； 4. 所以∠A + ∠ACB + ∠B = 180°（等量代换）。 证明方法2：延长边作平行线 1. 延长BC至点D，过点C作CE ∥ AB； 2. 因为CE ∥ AB，所以∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）； 3. 因为∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角定义）； 4. 所以∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）。 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。这是三角形的基本性质，适用于所有三角形。 四、基础应用：求未知内角的度数 利用内角和定理，已知三角形两个角的度数，可直接求出第三个角的度数。 例1：在△ABC中，已知∠A = 35°，∠B = 65°，求∠C的度数。 解：根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，所以： ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 65° = 80° 例2：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 40°，求∠B的度数。 分析：直角三角形有一个角是90°，因此另外两个锐角的和为90°（内角和定理推论）。 解：∠B = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50° 推论：直角三角形的两个锐角互余。这一结论可直接用于直角三角形的角度计算，简化步骤。 练习：在△ABC中，∠A = ∠B = 2∠C，求∠C的度数。 解：设∠C = x，则∠A = ∠B = 2x，由内角和定理得：2x + 2x + x = 180° → 5x = 180° → x = 36°，所以∠C = 36°。 五、进阶应用：根据角度判断三角形类型 已知三角形的内角关系，可先求出各角度数，再根据最大内角的类型判断三角形的类型。 例3：已知△ABC的三个内角满足∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5，判断△ABC的形状。 解：1. 设∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 5x； 2. 由内角和定理得：2x + 3x + 5x = 180° → 10x = 180° → x = 18°； 3. 计算最大角：∠C = 5x = 5×18° = 90°； 4. 结论：△ABC是直角三角形。 例4：在△ABC中，∠A = 20°，∠B = 70°，判断△ABC的形状，并说明理由。 解：∠C = 180° - 20° - 70° = 90°，所以△ABC是直角三角形。 练习：已知△ABC中，∠A = 1/2∠B = 1/3∠C，判断△ABC的形状。 解：设∠A = x，则∠B = 2x，∠C = 3x，x + 2x + 3x = 180° → x = 30°，∠C = 90°，故△ABC是直角三角形。 六、实际应用：结合生活场景计算角度 三角形内角和定理在生活中有着广泛应用，如测量、建筑、机械设计等领域。 例5：如图，建筑工人在建造房屋时，需要固定一个三角形钢架，已知钢架的两个角分别为50°和60°，求第三个角的度数，以确保钢架符合设计要求。 解：第三个角的度数 = 180° - 50° - 60° = 70°，因此工人需将第三个角调整为70°。 例6：一块三角形玻璃被打碎，只剩下两个角的碎片（分别为40°和60°），请你帮忙算出打碎的那个角的度数，并判断这块玻璃原来是什么类型的三角形。 解：打碎的角 = 180° - 40° - 60° = 80°，三个角均为锐角，因此原来的玻璃是锐角三角形。 七、拓展与总结 1. 拓展思考：多边形内角和初探 将四边形沿一条对角线剪开，可分成2个三角形，因此四边形内角和 = 2×180° = 360°；五边形可分成3个三角形，内角和 = 3×180° = 540°。你能推出n边形的内角和公式吗？（提示：n边形可分成n-2个三角形） 2. 知识梳理 - 核心定理：三角形内角和为180°，适用于所有三角形； - 重要推论：直角三角形的两个锐角互余； - 核心应用：求未知内角、判断三角形类型、解决实际角度问题； - 思想方法：转化思想（将三角形内角和转化为平角）、方程思想（设未知数求角度）。 3. 易错点提醒 计算角度时，注意统一单位；判断三角形类型时，需关注最大内角的度数，而非单个内角。 情景导入 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新知 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关. 【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 探究新知 知识点 三角形的内角和 剪拼 A B C 2 1 探究新知 测量 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° 探究新知 锐角三角形 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 探究新知 还有其他的拼接方法吗？ 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 探究新知 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 探究新知 同学们还有其他的方法吗？ 【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 探究新知 1 2 C B A E D 1 2 C B A E D F C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 探究新知 试一试 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究新知 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 利用三角形的内角和定理求角的度数 素养考点 1 探究新知 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 变式题 探究新知 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数. 解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 巩固练习 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 巩固练习 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 探究新知  直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________． 40° 巩固练习 l1 l2 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 归纳总结 探究新知 3 4 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 素养考点 2 方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 探究新知 方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度. 变式题 探究新知 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°. 探究新知 23 ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 巩固练习 完成下列各题. 解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°. 24 北 . A D 北 . C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB呢？ 利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题） 素养考点 3 探究新知 解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°， ∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB =180°–60°–30° =90°， 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 探究新知 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 巩固练习 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴ ∠ABD＝60°. 又∵ ∠DBE＝90°， ∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°. ∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 巩固练习 （2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______． 解析：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB=∠CDA=90°. ∵∠BCD=30°，∠ACB=80°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°. ∴∠CAB=90°-∠ACD=40°. ∵AE是∠CAB的平分线​，∴∠EAB= ∠CAB=20°. ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°． 100° 链接中考 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 课堂检测 基础巩固题 3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　　　． 100° 课堂检测 1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°． 能力提升题 课堂检测 2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°. 课堂检测 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–60°=120°． 拓广探索题 课堂检测 【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB） =180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ． 课堂检测 35 （第1题） 1. 母题教材P12例1 如图，在 中， ， ，平分 ， 交于点，则 的大小是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 36 （第2题） 2. 如图，点，分别在， 上，若 ， ， 则 的度数为( ) A. B. C. D. A 3. 在中，，则 ( ) B A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形 C. 是钝角三角形 D. 不存在 返回 考试考法 （第4题） 4. 母题教材P17习题 如图， ，，分别平分 和 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 考试考法 38 （第4题） 【点拨】，分别平分 和 ， ， .在 中， 考试考法 39 ， ， . （第4题） 考试考法 两内角平分线的夹角公式：如图，在 中， ，分别平分和，则 . 返回 考试考法 41 （第5题） 5. 如图，考古学家发 现在地下 处有一座古墓，古墓上方是 燃气管道，为了不影响管道，准备在 处和处开工挖出“ ”字形通道.若 ， ，则 的度数是____. 【点拨】 ， ， ， ， . 返回 考试考法 42 6.母题教材P17习题 如图，点在点 的 北偏西 方向上，点在点的北偏西 方向上，点在点的北偏东 方向上. 考试考法 43 （1）求 的大小； 【解】如图，根据题意可得 , ., , . 考试考法 （2）求 的大小. , , , . 返回 考试考法 45 （第7题） 7. 如图，两面镜子 ，的夹角为 ，当光线经过镜子反 射后，，.若 ， 则 的度数是( ) A A. B. C. D. 考试考法 46 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 课堂小结 谢谢观看！ $