5.3.1 函数单调性专项训练（六大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 函数单调性 题型一 用倒数判断或证明已知函数的单调性 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 4．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．设函数，且，则的单调递增区间为 ． 6．已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，判断并证明与的大小关系. 题型三 由函数的单调区间求参数 7．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 9．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 题型四 由函数在区间上的单调性求参数 10．若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知在上是增函数，则实数的取值范围为 . 12．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 题型五 函数与导函数图像之间的关系 13．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 14．已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：有且仅有个零点. 题型六 利用导数求函数（含参）的单调区间 16．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，则的单调增区间为 ． 18．已知函数的定义域为，定义集合. (1)若函数，求集合； (2)若，判断下列命题是否正确并说明理由：①存在函数为偶函数；②存在函数在处取最大值； (3)已知函数满足，求的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1 函数单调性 题型一 用倒数判断或证明已知函数的单调性 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 2．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 故答案为： . 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不存在，理由如下. 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得. 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 4．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 5．设函数，且，则的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】先根据条件确定的值，再根据求的取值范围，可得函数的单调增区间. 【详解】由题意得函数的定义域为． 因为，所以，所以. 所以， 令，得或. 所以函数的单调递增区间为,． 故答案为：,． 6．已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，判断并证明与的大小关系. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)，证明见解析 【分析】（1）求导分析单调递区间即可； （2）利用函数的导函数判断函数单调性，再通过做差法即可判断与的大小关系. 【详解】（1）由题意：，， 当时，；当时， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 （2），证明如下： 由题意， 令，则 因为，所以，即在上单调递减 故 则 所以，即 题型三 由函数的单调区间求参数 7．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 8．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 9．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 题型四 由函数在区间上的单调性求参数 10．若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案. 【详解】由题可知恒成立， ，即恒成立， 设，则在恒成立， ，则，解得， 故选：C. 11．已知在上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，可得在上恒成立，根据指数函数、一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意，在上恒成立， 因为在R上恒成立， 所以只需在上恒成立即可，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 12．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，求导得到切线斜率，从而得到切线方程； （2）由在区间上单调递增得，分离参数得，利用基本不等式求得，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以，所求切线方程为，即. （2），， 令，即，， 恒成立，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. 题型五 函数与导函数图像之间的关系 13．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，可比较出在和处的切线斜率及与两点连线的斜率大小，即可得解. 【详解】由图象可得，在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 而与两点连线的斜率介于二者之间， 结合导函数定义可得. 故选：D. 14．已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数图象确定单调性，求出为正为负的范围，再分段求解不等式. 【详解】由函数的图象，得当或时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，， 不等式化为或， 解，无解；解，得， 所以不等式的解集. 故答案为： 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：有且仅有个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）、求出，将代入即可求出切线斜率，再确定切点，然后利用点斜式即可求出切线方程； （2）、先求出，令，确定的单调性和正负，确定的单调性及正负，从而得出零点个数. 【详解】（1），，， 又，在点处的切线斜率为. 曲线在点处的切线有程为. （2），， 令，， ①、当时，，，在上单调递增， 又，时，时，在上单调递减， 又，是在上的唯一零点； ②、当时，，， 在上单调递减， 又，， 在上有唯一零点，其中， 当时，,在上单调递增; 当时，,在上单调递减; 而，，使， 当时，,，在上单调递增; 当时，,，在上单调递减; 而，，时，，在上无零点； ③、当时，，，在上单调递减， ，在上单调递减; 又，时，在上单调递减; 而，在上有一个零点； ④、当时，，， ，在上无零点； 综上所述：有且仅有个零点. 题型六 利用导数求函数（含参）的单调区间 16．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 17．已知函数，则的单调增区间为 ． 【答案】当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 【分析】求导，按，，讨论即可. 【详解】函数的导函数， ①，若，；若，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ②，，此时函数在上单调递增． ③，若，；若，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为. 故答案为：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 18．已知函数的定义域为，定义集合. (1)若函数，求集合； (2)若，判断下列命题是否正确并说明理由：①存在函数为偶函数；②存在函数在处取最大值； (3)已知函数满足，求的范围. 【答案】(1) (2)①错误；②正确；理由见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合指数函数单调性分析求解即可； （2）对于①：根据偶函数的对称性分析判断即可；对于②：举例说明即可； （3）求导，分、和三种情况讨论函数的单调性，根据题意结合单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数在定义域内单调递增， 对任意实数，可知函数在内单调递增， 即对，均有， 所以集合. （2）对于①：若存在是偶函数，取， 由集合的定义可知对于任意，均有， 这与矛盾，所以不存在函数为偶函数，故①错误； 对于②：构造函数，其图象如图所示：    由图象可知：满足题意，且此时在处取最大值， 所以存在函数在处取最大值，故②正确. （3）因为函数的定义域为，且， 若，则，可知在定义域内单调递减， 则对任意实数，可知函数在内单调递减， 即对，均有， 所以，满足，符合题意； 若，令，解得或； 令，解得； 可知在，内单调递增，在内单调递减， 若，则， 可得，解得； 若，则，可知在定义域内单调递增， 则对任意实数，可知函数在内单调递增， 即对，均有， 所以，不满足，不符合题意； 综上所述：实数的范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $