5.2 导数的运算专项训练（五大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2 导数的运算 题型一 基本初等函数的导数公式 1．曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 2．若函数，则 ． 3．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 4．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． (1)设，求； (2)设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； (3)若且，求． 题型二 导数的运算法则 5．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 6．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 7．已知函数，其导函数的图象与轴交于，两点，． (1)求的值； (2)求过点的曲线的切线方程． 8．设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 题型三 导数的加减法 9．已知函数，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 10．曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 11．已知，函数的图象记为曲线． (1)若点在曲线上，求； (2)在（1）中的条件下，求过点与曲线相切的直线方程； (3)若时均有恒成立，求的值． 12．（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 题型三 导数的乘除法 13．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的一个值是 . 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切于点，求的值. 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 题型五 简单复合函数的导数 17．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 18．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 19．已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2).. 20．设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 题型一 基本初等函数的导数公式 1．曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点. 【详解】令函数，则，故， 所以l的方程为，整理得， 所以l经过定点． 故选：D． 2．若函数，则 ． 【答案】 【分析】由题知，则，再利用导数的概念求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故答案为：． 3．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 4．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． (1)设，求； (2)设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； (3)若且，求． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是. （2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为. （3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系. 【详解】（1）对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. （2）对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. （3）先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 题型二 导数的运算法则 5．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求出函数的导函数，再令得的值，代入，令可得答案. 【详解】由，得， 令得：， 解得， 所以， . 故选：A. 6．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出关于a的方程，即可求得答案. 【详解】由可得， 故曲线在处的切线的斜率为， 由于该切线与直线垂直，故， 故答案为：3 7．已知函数，其导函数的图象与轴交于，两点，． (1)求的值； (2)求过点的曲线的切线方程． 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）由题意是方程的两根，根据韦达定理列方程即可求解； （2）设切点为，由题意，且，，故只需求得切点坐标即可进一步求解. 【详解】（1）因为，的图象过点，，， 所以，得. （2）点在三次曲线上，设切点为， 由切线过原点可列方程得，且 由，得， 即，解得或， 又，， 所以所求切线方程为，． 8．设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解； （2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 题型三 导数的加减法 9．已知函数，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求导可得，令求解即可. 【详解】因为，则， 令可得，解得. 故选：D. 10．曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为，则， 当时，，即切线斜率， 又因为倾斜角，所以倾斜角. 故答案为：. 11．已知，函数的图象记为曲线． (1)若点在曲线上，求； (2)在（1）中的条件下，求过点与曲线相切的直线方程； (3)若时均有恒成立，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由可得出关于的方程，结合可解出的值； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程； （3）对的符号进行分类讨论，分析可知方程有一负根和一正根，可得出，然后对的取值分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为的图象记为曲线， 若点在曲线上，则，即， 因为，解得，故. （2）由（1）可得， 设切点为，， 所以切线斜率为，切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理得，即，解得或， 当时，所求切线方程为； 当时，所求切线方程为. 综上所述，所求切线方程为或. （3）对任意的，恒有，分以下几种情况讨论： ①当时，即当时，， 故当时，，不符合题意； ②当且时，即当时，对于方程，， 即方程必有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，必有， 此时， 对任意的，因为，则，， 要使得恒成立，即恒成立， 只需，故方程的一个根为， 所以，因为，解得； ③当且时，即当时， 由②可知， 对任意的，，， 当时，， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 12．（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）． 【分析】（1）展开后利用求导法则求导； （2）展开后利用求导法则求导； （3）使用三角公式化简后利用求导法则求导； （4）利用求导法则求导. 【详解】（1），． （2），． （3）先使用三角公式进行化简. ，． （4）． 题型三 导数的乘除法 13．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的一个值是 . 【答案】0（或1，两者任选1个即可） 【分析】求导，得到切线方程，联立，分与，结合根的判别式得到答案. 【详解】，当时，， 故在点处的切线方程为， 联立与得， 当时，，，只有1个公共点，满足要求； 当时，由，解得， 综上实数a的一个值可以为0，也可以是1 故答案为：0（或1，两者任选1个即可） 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设，结合导数的几何意义有，列方程求得，即可得. 【详解】（1），则，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）直线过原点，则， 由点在曲线上，得， ， 又，所以. ，整理得，， ，则. 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设切线坐标，进而可得切线方程，结合题意列方程求解即可； （3）构建，求导结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为. （2）切线即为， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 可得，消去可得， 且，则，可得，， 所以切点坐标为. （3）由（1）可知：，， 构建， 可知的定义域为，且， 可得曲线C在点P处的切线斜率 当且仅当，时，等号成立， 所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为. 题型五 简单复合函数的导数 17．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则，即， 又为奇函数，所以，所以， 即， 所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，，， 又，所以，，即， 所以 . 故选：A 18．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义和点斜式写出直线方程即可． 【详解】由题意对函数求导得，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 19．已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 20．设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【详解】（1）， 依题意知：， . （2） . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $