13.1 三角形的概念 课件 -2025-2026学年人教版 数学八年级上册

人教版（2024）版数学8年级上册 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 1. 你能从中找出4个不同的三角形吗？与同学交流各自找出的三角形. 2. 这些三角形有什么共同 特点？ E D E F G A B C 13.1 三角形的概念 生活中的“三角形” 观察下列场景，你能找出其中蕴含的三角形形象吗？ • 古埃及金字塔的侧面轮廓 • 篮球架的支架结构 • 自行车的车架 • 屋顶的等腰结构 思考：这些三角形有什么共同的特点？ 一、什么是三角形？ 请观察三角形的形成过程，结合下列问题总结定义： 1. 组成三角形的基本元素是什么？（线段） 2. 这些线段的位置关系有什么要求？（不在同一条直线上） 3. 线段的连接方式是怎样的？（首尾顺次相接） 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 辨一辨：下列图形是三角形吗？为什么？ • 图1：三条线段在同一直线上（不是，违反“不在同一直线”要求） • 图2：三条线段首尾未连接（不是，违反“首尾顺次相接”要求） • 图3：符合两个条件（是三角形） 二、三角形的元素与表示 以顶点为A、B、C的三角形为例，认识它的基本组成部分： 1. 三个基本元素 - 顶点：三角形的公共端点，即点A、点B、点C - 边：组成三角形的三条线段，分别为AB、BC、CA；顶点A对边记为a，顶点B对边记为b，顶点C对边记为c - 内角（简称“角”）：相邻两边组成的角，即∠A、∠B、∠C 2. 表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。字母顺序可任意调整，如△BCA、△CAB等。 对应关系：在△ABC中，AB边对∠C，BC边对∠A，CA边对∠B。 三、三角形的分类（一）：按内角大小 三角形的分类需遵循“不重不漏”原则，按内角大小可分为三类： 1. 锐角三角形 定义：三个内角都是锐角（即都小于90°）的三角形。 特征：最大内角为锐角。例如：∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°的△ABC。 2. 直角三角形 定义：有一个内角是直角（即等于90°）的三角形。 特征：最大内角为直角，另外两个角为锐角。直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。 3. 钝角三角形 定义：有一个内角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形。 特征：最大内角为钝角，另外两个角为锐角。例如：∠C=110°的△ABC。 总结：三角形按角分，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 四、三角形的分类（二）：按边的关系 按三条边的相等关系，三角形可分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形包含特殊情况——等边三角形。 1. 三边都不相等的三角形 定义：三条边长度都不相等的三角形。例如：边长为3、4、5的三角形。 2. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 3. 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形。 重要关系：等边三角形是特殊的等腰三角形（腰和底边相等的等腰三角形）。 总结：三角形按边分，可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形（含等边三角形）。 五、基础应用：三角形的识别与计数 例1：如图，在△ABC中，D在BC上，E在AC上，连接BE、AD交于点F，找出图中所有三角形。 解题方法：固定一个顶点，按顺序组合另外两个顶点，避免重复遗漏。 答案：共8个三角形，分别是△ABF、△AEF、△BDF、△ABE、△ABD、△ACD、△BCE、△ABC。 例2：针对上图回答下列问题： - （1）以AB为边的三角形：△ABF、△ABD、△ABE、△ABC - （2）以∠C为内角的三角形：△ACD、△BCE、△ABC - （3）△BDF的三元素：顶点B、D、F；边BD、DF、BF；角∠FBD、∠FDB、∠BFD 六、三角形的主要线段 三角形的高、中线、角平分线是重要的线段，它们都是线段，且三条线段分别交于一点。 1. 高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。例如：从A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高（AD⊥BC）。 2. 中线 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。例如：D是BC中点，AD即为BC边上的中线（BD=DC=1/2BC）。 3. 角平分线 定义：平分三角形内角的线段，与对边相交于一点。例如：AD平分∠BAC，交BC于D，即∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者不同。 七、知识梳理 1. 核心概念 三角形：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，记作△ABC。 2. 两种分类 - 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（按最大内角判断） - 按边：三边不相等的三角形、等腰三角形（含等边三角形） 3. 关键线段 高、中线、角平分线（均为线段，三条线段分别交于一点） 4. 核心能力 识别三角形元素、准确计数三角形、区分不同类型三角形。 探究新知 　　 三角形是我们熟悉的图形，观察下列图片，你能说一说三角形是怎样的图形吗？ 三角形的有关概念 知识点 1 探究新知 3 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 所以，三角形的特征有： （1）三条线段；（2）不在同一直线上；（3）首尾顺次连接. 三角形的定义 探究新知 边c 边b 边a 顶点A 顶点B 顶点C 角 角 角 ①边：组成三角形的线段叫作三角形的边. ②顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点. ③内角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 探究新知 三角形的表示： A B C 三角形用符号“△”表示. 记作“△ ABC ”，读作“三角形ABC ”. 如图，线段AB，BC，CA是△ABC的三边；点A，B，C△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角. 探究新知 例 说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示，并指出每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角. 素养考点 1 三角形的识别 解：图中有3个三角形，分别是△EHG，△EHF，△EFG. △EHG的三边是EH，HG，GE，三个内角是 ∠G，∠GHE，∠HEG，三个顶点是G，H，E； △EHF的三边是EH，HF，FE，三个内角 是∠EHF，∠HFE，∠HEF，三个 顶点是F，H，E； △EFG的三边是EF，FG，GE，三个内角是∠G，∠GFE，∠FEG，三个顶点是G，F，E. Q F E P G H 探究新知 方法点拨 在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形. 探究新知 读出图中的各个三角形. A D B E C 解：△ABE， △BCD， △ABC， △DCE， △BCE. 探究新知 我们知道，三角形按三个内角的大小，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？ 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形的分类 知识点 2 探究新知 按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样命名？ 腰 腰 底边 三角形 顶角 底角 底角 探究新知 探究新知 素养考点 2 判断三角形的形状 例 根据下列条件，判断△ABC的形状. ①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°; ②∠C=110°; ③∠C=90°; ④AB=BC=3，AC=4. 解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°， ∴△ABC是锐角三角形 ②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形 ③∵∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形 ④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形 探究新知 探究新知 下列说法正确的有(　　) ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等 边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形. A.①②　 　B.①③④ C.③④　　　D.①②④ 巩固练习 C √ √ 探究新知 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. （第2题） 2. 图中的三角形被木板遮住了一部分，这个 三角形是( ) D A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 返回 考试考法 14 3. ［2025安庆月考］用下面的图表示三角形的分类，其中不 正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 15 （第4题） 4.如图，图中有___个三角形，含 的三 角形为____________________；在 中，的对角是_______， 的 对边是____. 6 ,, 返回 考试考法 5.母题教材P4习题 如图，在 中， ，点在上，且 ， 图中有哪些等腰三角形？ 【解】，， ， ,, 是等腰三角形. 返回 考试考法 17 6. ［2025威海期中］有若干个三角形，这些三角形的所有内 角中，有2个直角，3个钝角，22个锐角，则在这些三角形中 锐角三角形有( ) B A. 3个 B. 4个 C. 3个或4个 D. 5个 7. 母题教材P4习题 线段上有3个点，， ，直线 外有一点，把和，，，， 连接起来，可以得 到的三角形个数为( ) B A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 20个 返回 考试考法 18 三角形 概念 分类 A B C a b c 课堂小结 边、顶点、内角 按边分 按角分 (直角、锐角、钝角)三角形 探究新知 谢谢观看！ $