期末总复习08整式的乘法2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“整式的乘法”为核心，通过表格对比单项式与多项式乘法法则，结合数形结合的面积推导图梳理知识脉络，将五大知识点按“基础运算-公式应用-变形拓展”递进组织，突出化归思想和公式内在联系。 讲义亮点在于“数学思想引领练习设计”，如用面积法推导平方差公式培养几何直观，通过方程思想解决图形面积问题发展推理意识。例题涵盖基础计算与规律探究，课后练习分层设置，助力不同学生掌握方法，为教师精准教学提供系统支持。

八年级数学期末总复习讲义 第8课 整式的乘法 知识点梳理 知识点01——单项式和多项式的乘法 知识点02——平方差公式 知识点03——完全平方公式 知识点04——利用完全平方公式的变形求值 知识点05——乘法公式的综合应用 知识点01 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 ①化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 ②数形结合思想：用面积法推导整式乘法法则 ③函数、方程思想 根据整式乘法的结果求未知系数的值，其实就是日后待定系数法的渗透. ④归纳推理的思想 由特殊到一般，再由一般回到特殊，去发现规律、猜想、验证、应用规律解题。 例题讲解 例1（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【分析】本题主要考查了数形结合、归纳推理的思想，用不同的方法表示阴影部分的面积，从而发现、归纳、总结规律。用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题． 【详解】解：由题知， 图1中阴影部分的面积为：． 图2中阴影部分的面积为：， 因为两个阴影的面积相等， 所以． 故答案为：． 例2（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化归转化的思想，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 例3（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成． 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为 ． 【分析】本题考查了方程思想，用代数式表示实际问题中的数量关系，设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据大长方形面积等于48，可找出，进而即可得出结论． 【详解】解：设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴正方形①与正方形③的面积之和为， 故答案为：． 课后练习 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示，根据图形的面积准确表达是解题的关键． 利用正方形和长方形的面积公式，通过不同方式表示出阴影部分的面积，注意分析选项即可． 【详解】各部分的面积用符号表示，如图所示： ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 不正确，符合题意； 故选． 3．（10-11八年级下·福建·期末）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解本题的关键．根据多项式乘以多项式运算法则可得，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴需要类卡片的张数为6， 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 7．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 8．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 9．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 知识点02 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) (-a+b)(a+b) (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 5.整体代入求代数式的值. 如：若a+b=3,a-b=1,则a2-b2=3×1=3 例题讲解 例4（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 例5（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】(1)507；； (2)；验证见解析 【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为：， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 变式训练：1.下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，故本选项符合题意； 故选：D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想，易错点是对 “相同项” 和 “相反项” 的整体把握不准确；解题思路是将式子中的看作整体，判断哪个选项能变形为平方差公式的结构即可． 【详解】解：运用平方差公式， 把看作一个整体，将式子变形为 “相同项” 与 “相反项” 的乘积形式， ，符合平方差公式结构； 故选C． 课后练习 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意得，将代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3.下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 5．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·全国·期末）若，则值为 ． 【答案】9 【分析】利用平方差公式，进行变形，再将数值代入求解． 本题主要考查平方差公式，利用整体代入求解是求解的关键，也是解此题的难点． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）若实数满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出的值，再利用平方差公式进行变形，将各自的值代入求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 9.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．利用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键在于熟练掌握相关乘法公式的特点． （1）先将302拆分为300加2，将298分为300减2，根据平方差公式求解，即可解题； （2）结合（1）中方法用平方差公式将算式变形进行计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了多项式乘法的规律探究，熟练掌握根据已知式子总结规律并应用规律解题是解题的关键． （1）通过观察已知式子的规律，直接写出对应的结果； （2）利用总结的规律，代入计算； （3）根据规律构造乘法形式，再进行计算． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 故答案为：， ②∵， ， ， ， ， …… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 12．先化简再求值，，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 根据平方差公式分别计算、，进而化简原整式，根据绝对值的非负性、平方的非负性求出x、y的值，进而代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 知识点03 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b² 3. 利用完全平方公式巧算 如：计算1992=（200-1）2=2002-2×200×1+12=40000-400+1=39601 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例题讲解 例6（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式、单项式乘多项式，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）直接利用完全平方公式求解即可； （3）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例7（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． （1）利用完全平方公式进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 例8（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 课后练习 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式的定义，根据完全平方式的定义，二次三项式可写成的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可设， 比较系数，得， ∴， 又∵， ∴， 故m的值为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ； . 【答案】 2 1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式．根据绝对值，平方的非负性求出a、b的值即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 故答案为：2；1． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式，对于形如的二次式，若其为完全平方式，则常数项等于一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解：由题意，整式为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式，可得， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式求解（1）（2）（3）（4）即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；21 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式乘法运算法则，完全平方公式，是解题的关键．根据整式乘法混合运算法则，进行化简，然后再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 【答案】过程见解析，验证见解析 【分析】本题考查的是代数式求值及完全平方公式的应用，把x的值分别代入代数式求出值，再根据完全平方公式验证即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 猜想：当为任意实数时，代数式的值为非负数． 验证：因为，所以该猜想是正确的． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)大， 2 (3)①②当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用， （1）先提出4，再配方得出完全平方公式，然后根据平方差公式分解； （2）先提出，再配方，根据完全平方公式的非负性讨论最大值； （3）根据长方形的面积公式表示，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 知识点04 利用完全平方公式变形求值 三大变形： 1.一个公式的变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.两个公式的变形(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和+=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例题讲解 例8（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 变式训练1：（25-26八年级上·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 变式训练2：（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 课后练习 1.（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，利用已知条件和，代入公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，设直角三角形的两条直角边为a、b，根据勾股定理和面积公式，得到，，利用完全平方公式求出，进而求得周长，即可作答． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为a、b， ∵斜边为， 则， ∵某直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴（舍去负值） 即周长为． 故答案为：15 3．（25-26八年级上·北京·期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，进而求得的值． 【详解】∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 【答案】98 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 5.（25-26八年级上·江苏·期末）若，，则 ．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式逆用将变形为，然后代入求解即可；根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则将变形为，变形为，从而得到的值，再将变形为，整体代入求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ． 故答案为：；． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键． （1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）利用面积相等得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可； ②设，，则，，，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 故答案为：，； （2）解：∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 又∵， ∴； ②设，，则，， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知，． (1)分别求代数式和的值． (2)观察比较（1）中的两个代数式的值，你发现了什么结论？请写出你的结论． (3)利用（2）中你发现的结论计算： 【答案】(1)1，1 (2) (3)1 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将，分别代入和，计算求值即可； （2）由（1）知，，，因此，是完全平方公式； （3）先化简所求的算式，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， 故答案为：1，1； （2）解：由（1）知，，， 因此； （3）解： ． 8．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：______； 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，，求的值； 【类比迁移】（3）如图3，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）80；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；边上的四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，即可找到面积相等的数量关系； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形边长为，则面积可以表示为； 图2中的边上的四个小长方形面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则面积可以表示为， 那么； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 知识点05 乘法公式的综合应用 1. 添括号与三项式的完全平方：三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 如:（a+b+c）2=2=(a+b)2+2c(a+b)+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+3bc 2. 用平方差公式计算“三项式×三项式”:三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 如:（a+b+c)(a-b+c)==(a+c)2-b2=a2+c2+2ac-b2. 3.平方差公式和完全平方式的综合应用 4.借助因式分解进行整式的混合运算 例题讲解 例9（24-25七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】（1）重点是把（2x-y）当作一个整体看待； （2）把a和2b结合在一起，是因为a和2b的符合相同. 例10（25-26八年级上·山西·期末）计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式进行计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 例11（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）若，则的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方的运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 根据平方差公式，得出，从而得到A的末位数字，即可得到的末位数字． 【详解】解： 的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，… ∴末位数是2，4，8，6，…每4个一循环， ∵， ∴的末位数是6， ∴的末位数是5， 即A的末位数是5， ∴的末位数是． 故选：B 课后练习 1．（24-25八年级上·广东·期末）若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式进行因式分解，再将，代入计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题关键．由已知条件可得，，，再将代数式转化为三个数两两之差的平方和的一半的形式，代入计算求值即可． 【详解】解： ，，， ，， ， 故选：A 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式乘法，乘法公式的运用，积的乘方的逆用，整式除法，去括号，合并同类项． （1）运用平方差公式，从左往右计算即可； （2）观察、指数相同，可根据积的乘方的逆用得到，然后运用平方差公式和完全平方公式计算即可； （3）先将中括号里的两个完全平方展开，合并同类项，去括号时注意变号，然后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了乘法公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行展开化简即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行展开化简即可； （3）先将原式变形为，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行展开化简即可； （4）先将原式变形为，利用完全平方公式计算两次，展开化简即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 【答案】(1)①；②51 (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①类比立方和公式可求出； ②把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； （2）解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第8课 整式的乘法 知识点梳理 知识点01——单项式和多项式的乘法 知识点02——平方差公式 知识点03——完全平方公式 知识点04——利用完全平方公式的变形求值 知识点05——乘法公式的综合应用 知识点01 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 ①化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 ②数形结合思想：用面积法推导整式乘法法则 ③函数、方程思想 根据整式乘法的结果求未知系数的值，其实就是日后待定系数法的渗透. ④归纳推理的思想 由特殊到一般，再由一般回到特殊，去发现规律、猜想、验证、应用规律解题。 例题讲解 例1（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【分析】本题主要考查了数形结合、归纳推理的思想，用不同的方法表示阴影部分的面积，从而发现、归纳、总结规律。用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题． 【详解】解：由题知， 图1中阴影部分的面积为：． 图2中阴影部分的面积为：， 因为两个阴影的面积相等， 所以． 故答案为：． 例2（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化归转化的思想，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 例3（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成． 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为 ． 【分析】本题考查了方程思想，用代数式表示实际问题中的数量关系，设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据大长方形面积等于48，可找出，进而即可得出结论． 【详解】解：设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴正方形①与正方形③的面积之和为， 故答案为：． 课后练习 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 2．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 3．（10-11八年级下·福建·期末）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 6．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 8．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 9．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 知识点02 平方差公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2.用面积法证明公式 3.平方差公式的适用条件 (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) (-a+b)(a+b) (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 5.整体代入求代数式的值. 如：若a+b=3,a-b=1,则a2-b2=3×1=3 例题讲解 例4（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 例5（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】(1)507；； (2)；验证见解析 【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为：， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 变式训练：1下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 课后练习 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 3.下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）计算： ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）若，则值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）若实数满足方程组，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 9.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．利用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 11．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 12．先化简再求值，，其中． 知识点03 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： 3. 利用完全平方公式巧算 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例题讲解 例6（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式、单项式乘多项式，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）直接利用完全平方公式求解即可； （3）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例7（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． （1）利用完全平方公式进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 例8（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 课后练习 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为（    ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ； . 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3) (4)． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 知识点04 利用完全平方公式变形求值 三大变形： 1.一个公式的变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.两个公式的变形(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和+=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例题讲解 例8（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 变式训练1：（25-26八年级上·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 变式训练2：（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 课后练习 1.（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值是 ． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为 ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为、，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则 ． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 5.（25-26八年级上·江苏·期末）若，，则 ．如果，那么 ． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 7．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知，． (1)分别求代数式和的值． (2)观察比较（1）中的两个代数式的值，你发现了什么结论？请写出你的结论． (3)利用（2）中你发现的结论计算： 8．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：______； 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，，求的值； 【类比迁移】（3）如图3，若，，求阴影部分的面积． 知识点05 乘法公式的综合应用 1. 添括号与三项式的完全平方：三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 2. 用平方差公式计算“三项式×三项式”:三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 3.平方差公式和完全平方式的综合应用 4.借助因式分解进行整式的混合运算 例题讲解 例9（24-25七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】（1）重点是把（2x-y）当作一个整体看待； （2）把a和2b结合在一起，是因为a和2b的符合相同. 例10（25-26八年级上·山西·期末）计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式进行计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 例11（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）若，则的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方的运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 根据平方差公式，得出，从而得到A的末位数字，即可得到的末位数字． 【详解】解： 的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，… ∴末位数是2，4，8，6，…每4个一循环， ∵， ∴的末位数是6， ∴的末位数是5， 即A的末位数是5， ∴的末位数是． 故选：B 课后练习 1．（24-25八年级上·广东·期末）若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $