5.1 导数的概念及其意义（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 题型一 平均变化率 1．若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数，则 ． 3．已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 题型二 瞬时变化率的概念及辨析 4．某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 5．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则 ． 6．已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 题型三 导数（导函数）概念辨析 7．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 8．设定义在R上的函数的导函数为 ． 9．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 题型四 导数定义中极限的简单计算 10．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 11．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 12．已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型五 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 13．已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 14．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 15．求函数的图象上点处切线的斜率． 题型六 求曲线切线的斜率（倾斜角） 16．曲线在点处切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 17．已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 18．已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 题型七 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 19．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 20．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 21．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 题型八 求过一点的切线方程 22．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 24．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 题型九 已知切线（斜率）求参数 25．若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 26．设函数，记为函数的图象上的点到直线的距离的最大值，则的最小值是 ． 27．已知函数在点处的切线为． (1)若时，切线与轴平行，求的值； (2)若在处取得极大值，求的取值范围； (3)过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 题型十 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 28．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 29．直线与函数和的图象都相切，则 ． 30．已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型十一 已知某点处的导数值求参数或自变量 31．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．已知函数，其中，若，则的值为 . 33．已知函数（），且． (1)求的解析式； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 题型十二 求某点处的导数值 34．函数满足，则（   ） A． B． C． D．1 35．已知函数在处可导，若，则 ． 36．已知函数， (1)，，求实数，的值； (2)利用，证明：当时， (3)证明：若，其中，，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 导数的概念及其意义 题型一 平均变化率 1．若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义列方程求解即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：B. 2．已知函数，则 ． 【答案】0 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：0 3．已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）当且时，求得，得到函数的增量为，再求得的值，即可得到答案. （2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）解：由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 题型二 瞬时变化率的概念及辨析 4．某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 5．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则 ． 【答案】 【分析】根据平均速度和瞬时速度的知识求得正确答案. 【详解】由题意可知， ∵，∴，∴． 故答案为： 6．已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【详解】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 题型三 导数（导函数）概念辨析 7．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 8．设定义在R上的函数的导函数为 ． 【答案】4050 【分析】根据导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：4050 9．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】(1)不是,证明见解析 (2)真命题,证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. （2）命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明. 题型四 导数定义中极限的简单计算 10．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 11．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】， 所以， 故答案为： 12．已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【详解】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 题型五 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 13．已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的定义得解. 【详解】由导数的定义知． 故选：B 14．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 15．求函数的图象上点处切线的斜率． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及导数的定义，即可求解. 【详解】根据点在抛物线上，所以， 由导数的定义可知， ， 所以函数的图象上点处切线的斜率为. 题型六 求曲线切线的斜率（倾斜角） 16．曲线在点处切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，求出曲线在点处切线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】对函数求导得， 所以曲线在点处切线的斜率为. 所以切线的倾斜角为. 故选：A. 17．已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ，，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 18．已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据“特征点”的定义进行分析，从而求得. （2）根据“特征点”的定义列方程组，化简求得定直线. （3）先证明“特征点”是切点，然后根据二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）假设，存在“特征点”， 则存在两条互相垂直的切线，设为和处的切线， ，， 由于的值域为，只能在和 或者和的情况下成立， 即或. 当时，，所以切线方程为. 当时，， 所以切线方程为，. 由解得，所以“特征点”为. 当结果同上. 因此. （2）证明：设“特征点”是在和处的切线的交点， ，， 在和处的切线方程为，， 联立，解得，即， 两条切线相互垂直， ，， 的所有“特征点”在一条定直线上. （3），由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数a，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点， 则存在切线，它与函数图象交于点Q， ， 化简得，，， 同理可得，，两条切线重合，矛盾， 该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直， 不妨令B是两条切线的交点，则由上可知，， ， ， ， 即， 设，则，即， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B， 方程对无解， 设，其对称轴为， 当时，取最小值，要使得无解，只需， 解得，实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 题型七 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 19．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可. 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 20．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：2． 21．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 【答案】(1)，. (2)切线仅有2条，证明见解析 【分析】（1）首先根据切线方程求出和的值，然后通过导数的运算法则求出,最后代入和的值，联立方程组求解和的值； （2）设出直线与和的切点，分别求出切线方程，然后根据两切线方程相同列出方程组，通过构造函数并分析其单调性，判断方程组解的个数，从而确定切线的条数. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为， 所以，. ，，∴. ，，∴. 综上，，. （2）设直线与的切点为（），， 则切线斜率，切线方程为，即. 设直线与的切点为，， 则切线斜率，切线方程为， 即. 因为直线是公切线，所以， 由①可得，代入②中，得， 整理得， 令（），， 因为恒成立，所以， 当时，为上的增函数， 当时，为上的减函数， 因为，所以在区间上存在唯一一个零点. 因为，， 所以在区间上存在唯一一个零点. 综上，在上仅有个零点，即切线仅有条. 题型八 求过一点的切线方程 22．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 23．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 24．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 题型九 已知切线（斜率）求参数 25．若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 26．设函数，记为函数的图象上的点到直线的距离的最大值，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】点到直线的距离为 ：， 分析可得：①过任意一点切线均与直线不平行时，最大距离出现在区间的端点 ②存在过某一点切线与直线平行时，最大距离出现在区间的端点或者该点处 据此分情况讨论即可 【详解】记，，且表示点P到直线的距离． 因为，所以， 情形一：当或时，有 ． 情形二：当时，设函数图象上在点C处的切线与直线平行，则，如图． 此时有, 从而进而得 当时，有， 当时，有． 当时，有，且当时可以取得等号，于是的最小值为． 综上，所求的最小值为． 故答案为： 27．已知函数在点处的切线为． (1)若时，切线与轴平行，求的值； (2)若在处取得极大值，求的取值范围； (3)过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数求导得，当时，切线与轴平行，即，解得. （2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，右侧.因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围. （3）当时，，，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简得，讨论得出. 【详解】（1）已知，求导得 ， 当时，切线与轴平行，即， 解得. （2）由（1）知，令，解得或. 若在处取得极大值，则左侧，右侧. 因为恒成立，令，则 当时，开口向上，要使左侧，右侧， 则， 当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意； 当时，开口向下，要使左侧，右侧， 则需满足， 因为，故，所以显然不成立. 综上，若在处取得极大值，需满足，即. （3）当时，，. 由题知过的切线都与轴相交，交点的横坐标分别是， 则的斜率存在且不为0. 所以切线的斜率，垂直于的切线的斜率. 所以，. 所以 因为， 当时，， 当时，， 所以. 题型十 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 28．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 29．直线与函数和的图象都相切，则 ． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 30．已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)2 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解； （2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解； （3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为； （2），，， ，，， 由题意可知，，得； （3），设切点为，， 则曲线在点处的切线方程为，切线过点， 则，化简为， 即，则， 得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为， 综上可知，切线方程为或. 题型十一 已知某点处的导数值求参数或自变量 31．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 32．已知函数，其中，若，则的值为 . 【答案】2 【分析】求出代入可得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：2. 33．已知函数（），且． (1)求的解析式； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式； （2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可. 【详解】（1）由，得， 又，所以，解得，即． （2）由（1），得，， 所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即． 题型十二 求某点处的导数值 34．函数满足，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】两边求导，代值计算即可. 【详解】由条件，得，令，得. 故选：D. 35．已知函数在处可导，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据导数定义计算求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：4. 36．已知函数， (1)，，求实数，的值； (2)利用，证明：当时， (3)证明：若，其中，，则 . 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到导函数，代入数据得到方程组，解得答案. （2）直接代入数据计算得到证明. （3）根据（2）的结论得到，累加得到证明. 【详解】（1），， ，即；，即，解得，. （2）， ，当且仅当时等号成立，得证. （3），当且仅当时等号成立， ，故，，，， 故， ， ， 累加得到： ，得证. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用题目的结论结合累加法是解题关键，根据是分析解决的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $