2025-2026学年人教版七年级数学上册期末综合练习试卷

人教版七年级第一学期期末数学试卷 一．选择题（共10小题，满分12分） 1．下列各数中是负数的是（　　） A．0. B．﹣0.01001 C．π D． 2．（4分）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机C919完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有”C919”字样的南航CZ3539航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．C919（标准航程型）最大起飞质量72500kg用科学记数法表示为（　　）kg． A．725×100 B．7.25×104 C．7.25×105 D．7.25×106 3．（4分）下列说法错误的是（　　） A．数字1也是单项式 B．的系数是 C．单项式x的系数与次数都是1 D．是二次单项式 4．（4分）下列各组值中，相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣1）2020和（﹣1）2023 D．和 5．用一个平面截下列几何体，截面形状可能是圆的几何体是（　　） A． B． C． D． 6．方程|2y﹣1|＝3的解是（　　） A．y＝2 B．y＝±2 C．y＝﹣2或y＝1 D．y＝2或y＝﹣1 7．已知6y﹣x＝﹣5，则（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（　　） A．﹣5 B．5 C．3 D．2 8．如图，点C是线段AB上一点，点D是线段AC的中点，则下列等式不成立的是（　　） A．AB＝2AC B．BD﹣AD＝CB C．AD+BD＝AB D． 9．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为33的是（　　） A．a＝1，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝3，b＝4 D．a＝5，b＝4 10．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分12分） 11．比较大小：　 　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 12．（4分）飞机的无风航速是akm/h，风速为20km/h，飞机顺风飞行4h，后又逆风飞行3小时，共飞行 　 　 km． 13．如图，将两副直角三角板直角顶点重合，使得∠ABC＝105°，则∠1＝　 　 度． 14．（4分）如图，我们知道射线OA表示的方向是北偏东40°，射线OC表示的方向是　 　 ． 15．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体A的质量m的取值范围是　 　 ． 16．（4分）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，那么“♥”所在的格中应填的数字是 　 　 ． 1 3 0 ♥ 三．解答题（共9小题，满分8分） 17．计算： （1）； （2）． 18．（8分）嘉琪同学在解方程：2（3﹣x）＝9时，步骤如下： 解： 6﹣x＝9 第①步 ﹣x＝9﹣6 第②步 ﹣x＝3第③步 x＝﹣3第④步 嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 19．先化简，再求值：2（2x2y﹣xy2）﹣3（xy2﹣2x2y），其中x，y＝﹣2． 20．如图，已知直线l和点A、B、P． （1）用适当的语句表述点A与直线l的位置关系：　 　 ； （2）请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画直线PA； ②画射线BP； ③在射线BP上作线段BC，使得P为线段BC的中点； （3）连接AC，则BC　 　 AC+AB（填“＞”“＜”“＝”），成立的理由是 　 　 ． 21．如图是莆田市15路公交汽车的部分站点示意图，某天小王参加公交志愿者服务活动，从拱辰街道办事处出发，最后在A站结束服务活动．如果规定市图书馆方向为正，七步村方向为负，小王当天的乘车站数按先后顺序依次如下（单位：站）： +5，﹣3，+1，+7，﹣2，+2，﹣1，﹣6 （1）请通过计算说明A站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离是1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 22．如图，线段AB＝16，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）如图①，求线段AD的长； （2）如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC＝3AN，求DN的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB上的一点，且MC＝2，求MN的长． 23．某中学准备在网上订购一批某品牌的篮球和跳绳，通过浏览某购物平台后了解到：篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 已知要购买篮球20个，跳绳x条（x＞20）． （1）若在甲网店购买，需付款　 　 元；若在乙网店购买，需付款　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）若x＝80时，请你通过计算说明，此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 24．观察下列各式： 22﹣21＝2＝21， 23﹣22＝4＝22， 24﹣23＝8＝23， … 利用上述规律计算： （1）填空：22025﹣22024＝ 　 　 ； （2）计算：21+22+23+⋯+2100； 类比上述规律计算： （3）计算：31+32+33+⋯+32025． 25．综合与实践 说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角． [问题初探] （1）如图1，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转8°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP．设OP的旋转的时间为t秒． ①当0＜t＜18时，求∠MON的度数； ②当18＜t＜36时，直接写出∠MON的度数． 人教版七年级第一学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B． B B D D A A D B 一．选择题（共10小题，满分12分） 1．下列各数中是负数的是（　　） A．0. B．﹣0.01001 C．π D． 【分析】根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．0.0，是正数，故A选项错误； B．﹣0.01001＜0，是负数，故B选项正确； C．π＞0，是正数，故C选项错误； D．0，是正数，故D选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 2．（4分）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机C919完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有”C919”字样的南航CZ3539航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．C919（标准航程型）最大起飞质量72500kg用科学记数法表示为（　　）kg． A．725×100 B．7.25×104 C．7.25×105 D．7.25×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：72500＝7.25×104． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下列说法错误的是（　　） A．数字1也是单项式 B．的系数是 C．单项式x的系数与次数都是1 D．是二次单项式 【分析】表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【解答】解：A．是单项式，正确，不符合题意； B．单项式系数是，故不正确，符合题意； C．x的系数与次数都是1，正确，不符合题意； D、是二次单项式，正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了单项式的概念，熟练掌握相关概念是关键． 4．（4分）下列各组值中，相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣1）2020和（﹣1）2023 D．和 【分析】根据有理数的乘方计算各项，再比较即可求解． 【解答】解：A、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，两者不相等，本选项不符合题意； B、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，两者相等，本选项符合题意； C、（﹣1）2020＝1，（﹣1）2023＝﹣1，两者不相等，本选项不符合题意； D、，，两者不相等，本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是关键． 5．用一个平面截下列几何体，截面形状可能是圆的几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何体特点，逐项进行判断即可． 【解答】解：根据几何体特点，逐项进行判断如下： 用一个平面截正方体、三棱柱、三棱锥，不可能出现圆，用一个平面截一个圆柱，可能是圆． 故选：D． 【点评】本题主要考查了截一个几何体，解题的关键是数形结合，掌握截面形状的特点． 6．方程|2y﹣1|＝3的解是（　　） A．y＝2 B．y＝±2 C．y＝﹣2或y＝1 D．y＝2或y＝﹣1 【分析】利用绝对值的代数意义化解已知方程，转化两个一元一次方程，求出方程的解后即可解题． 【解答】解：|2y﹣1|＝3， 2y﹣1＝3或2y﹣1＝﹣3， 解得y＝2或y＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键，忘记考虑绝对值符号内的原代数式为负是本题的易错点． 7．已知6y﹣x＝﹣5，则（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（　　） A．﹣5 B．5 C．3 D．2 【分析】将（x+2y）﹣2（x﹣2y）去括号，再合并同类项，然后根据6y﹣x＝﹣5，可得出答案． 【解答】解：（x+2y）﹣2（x﹣2y） ＝x+2y﹣2x+4y ＝6y﹣x， ∵6y﹣x＝﹣5， ∴原式＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．如图，点C是线段AB上一点，点D是线段AC的中点，则下列等式不成立的是（　　） A．AB＝2AC B．BD﹣AD＝CB C．AD+BD＝AB D． 【分析】根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【解答】解：∵点C是线段AB上一点， ∴AB不一定等于2AC，故A符合题意； ∵D是线段AC的中点， ∴AD＝CDAC， ∴BD﹣AD＝BD﹣CD＝CB，故选项B不符合题意； 由图形知AD+BD＝AB，故选项C不符合题意； ∵D是线段AC的中点， ∴ADAC，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为33的是（　　） A．a＝1，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝3，b＝4 D．a＝5，b＝4 【分析】根据运算程序图可直接代入进行排除选项． 【解答】解：根据运算程序图可直接代入进行计算可得： 当a＝1，b＝4时，则2×1+2＝4，不符合题意； 当a＝2，b＝4时，则有2×2+2＝6，不符合题意； 当a＝3，b＝4时，则有2×3+2＝8，不符合题意； 当a＝5，b＝4时，则有2×42+1＝33，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的程序运算图，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 10．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　） A． B． C． D． 【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可． 【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n， 根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym， 图①中阴影部分的周长为2（n﹣2y+m）＝2n﹣4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y， 则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y﹣（2n﹣4y+2m）＝10y﹣2mm﹣2m． 故选：B． 【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分12分） 11．比较大小：　＞　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：1+（），1+（）， ∵、分子相同，分母不同，且5＜8， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 12．（4分）飞机的无风航速是akm/h，风速为20km/h，飞机顺风飞行4h，后又逆风飞行3小时，共飞行 　（7a+20）　 km． 【分析】根据题意，可以用代数式表示出飞机顺风飞行4h的路程，逆风飞行3h的路程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 飞机顺风飞行4h的路程＝4（a+20）km， 飞机逆风飞行3h的路程＝3（a﹣20）hm， ∴共飞行路程＝4（a+20）+3（a﹣20）＝（7a+20）km， 故答案为：7a+20． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 13．如图，将两副直角三角板直角顶点重合，使得∠ABC＝105°，则∠1＝　45　 度． 【分析】由题意得∠DBC＝90°，∠A＝30°，利用角的和差求出∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，再利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：如图， 由题意得，∠A＝30°，∠DBC＝90°， ∵∠ABC＝105°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°， ∴∠1＝∠ABD+∠A＝15°+30°＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题考查了三角板中角度计算问题、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 14．（4分）如图，我们知道射线OA表示的方向是北偏东40°，射线OC表示的方向是　南偏东20°　 ． 【分析】由方向角的定义即可得出结论． 【解答】解：根据方向角定义可知：射线OC表示的方向是南偏东20°． 故答案为：南偏东20°． 【点评】本题考查的是方向角．熟练掌握定义是关键． 15．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体A的质量m的取值范围是　10＜m＜20　 ． 【分析】由天平平衡关系，直接列不等式即可得到答案． 【解答】解：由天平平衡关系可知： 由左图可得m＞10；由右图可得m＜20； ∴10＜m＜20， 故答案为：10＜m＜20． 【点评】本题考查列不等式，读懂图中天平关系是解决问题的关键． 16．（4分）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，那么“♥”所在的格中应填的数字是 　4　 ． 1 3 0 ♥ 【分析】根据所给数的特征，可知每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都等于0，进而得出答案． 【解答】解：如表所示： 1 x 3 0 ♥ ∵﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝0，处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等． ∴1+x+3＝0， 解得x＝﹣4， ∴﹣4+0+♥＝0， 解得♥＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和等于0是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分8分） 17．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方和绝对值，然后运用有理混合运算法则计算即可； （2）先算乘方和绝对值，然后运用有理混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝27． （2）． ＝4+5 ＝9 ． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、绝对值等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 18．（8分）嘉琪同学在解方程：2（3﹣x）＝9时，步骤如下： 解： 6﹣x＝9 第①步 ﹣x＝9﹣6 第②步 ﹣x＝3第③步 x＝﹣3第④步 嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 【分析】根据等式的性质得出答案即可． 【解答】解：嘉琪的计算从第①步开始出错，错误的原因是﹣x没乘2， 正确的解答过程是：2（3﹣x）＝9， 6﹣2x＝9， ﹣2x＝＝9﹣6， ﹣2x＝3， x． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 19．先化简，再求值：2（2x2y﹣xy2）﹣3（xy2﹣2x2y），其中x，y＝﹣2． 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝4x2y﹣2xy2﹣3xy2+6x2y ＝10x2y﹣5xy2； 当x，y＝﹣2时， 原式＝10×（）2×（﹣2）﹣5（﹣2）25． 【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．如图，已知直线l和点A、B、P． （1）用适当的语句表述点A与直线l的位置关系：　点A在直线l上　 ； （2）请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画直线PA； ②画射线BP； ③在射线BP上作线段BC，使得P为线段BC的中点； （3）连接AC，则BC　＜　 AC+AB（填“＞”“＜”“＝”），成立的理由是 　两点之间线段最短　 ． 【分析】（1）根据点与直线额位置关系进行判断； （2）根据几何语言画出对应的几何图形； （3）利用两点之间线段最短求解． 【解答】解：（1）点A与直线l的位置关系为点A在直线l上； 故答案为：点A在直线l上； （2）如图， （3）根据两点之间线段最短得到BC＜AC+AB． 故答案为：＜，两点之间线段最短． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段． 21．如图是莆田市15路公交汽车的部分站点示意图，某天小王参加公交志愿者服务活动，从拱辰街道办事处出发，最后在A站结束服务活动．如果规定市图书馆方向为正，七步村方向为负，小王当天的乘车站数按先后顺序依次如下（单位：站）： +5，﹣3，+1，+7，﹣2，+2，﹣1，﹣6 （1）请通过计算说明A站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离是1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【分析】（1）把所给乘车记录相加，若结果为正，则A站在拱辰街道办事处正方向，若结果为负，则A站在拱辰街道办事处负方向，若结果为0，则A站为拱辰街道办事处，据此可得答案； （2）先求出小王乘车的总站数，再乘以1.2即可得到答案． 【解答】解：（1）+5+（﹣3）+（+1）+（+7）+（﹣2）+（+2）+（﹣1）+（﹣6） ＝5﹣3+1+7﹣2+2﹣1﹣6 ＝3， ∴A站在拱辰街道办事处正方向，且距离拱辰街道办事处3站，即A站是市移动公司； （2）1.2×（|+5|+|﹣3|+|+1|+|+7|+|﹣2|+|+2|+|﹣1|+|﹣6|） ＝1.2×（5+3+1+7+2+2+1+6） ＝1.2×27 ＝32.4（千米）， ∴次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是32.4千米． 【点评】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用，注意正确计算． 22．如图，线段AB＝16，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）如图①，求线段AD的长； （2）如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC＝3AN，求DN的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB上的一点，且MC＝2，求MN的长． 【分析】（1）因为点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，所以BC＝ACAB，BDBC，即BDAB，已知AB＝16，AD＝AB﹣BD，可得AD的长； （2）设AN＝x，则NC＝3x，因为ACAB＝8，可得AN、NC的长，又因DN＝AD﹣AN，可得DN的长； （3）分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点， ∴BC＝ACAB，BDBC， ∴BDAB， ∵AB＝16，AD＝AB﹣BD， ∴AD＝12； （2）∵NC＝3AN， ∴设AN＝x，则NC＝3x， ∵ACAB＝8， ∴x+3x＝8， 解得：x＝2， ∴AN＝2，NC＝6， ∵DN＝AD﹣AN， ∴DN＝10； （3）①当M点在C点左边时， ， ∵NC＝6，MC＝2， ∴MN＝NC﹣MC＝4， ②当M点在C点右边时， ， ∵NC＝6，MC＝2， ∴MN＝NC+MC＝8． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论． 23．某中学准备在网上订购一批某品牌的篮球和跳绳，通过浏览某购物平台后了解到：篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 已知要购买篮球20个，跳绳x条（x＞20）． （1）若在甲网店购买，需付款　（25x+1900）　 元；若在乙网店购买，需付款　（22.5x+2160）　 元；（用含x的代数式表示） （2）若x＝80时，请你通过计算说明，此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合甲、乙两家网店给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出在甲、乙两家网店购买所需费用； （2）代入x＝80，可求出在甲、乙两家网店购买所需费用，比较后即可得出结论； （3）根据两家网店付款相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：在甲网店购买，需付款120×20+25（x﹣20）＝（25x+1900）元； 在乙网店购买，需付款120×0.9×20+25×0.9x＝（22.5x+2160）元． 故答案为：（25x+1900），（22.5x+2160）； （2）当x＝80时， 在甲网店购买，需付款25x+1900＝25×80+1900＝3900（元）； 在乙网店购买，需付款22.5x+2160＝22.5×80+2160＝3960（元）， ∵3900＜3960， ∴在甲网店购买较为合算； （3）根据题意得：25x+1900＝22.5x+2160， 解得：x＝104． 答：当购买的跳绳为104条时，两家网店付款相同． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出在甲、乙两家网店购买所需费用；（2）代入x＝80，求出在甲、乙两家网店购买所需费用；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 24．观察下列各式： 22﹣21＝2＝21， 23﹣22＝4＝22， 24﹣23＝8＝23， … 利用上述规律计算： （1）填空：22025﹣22024＝ 　22024 ； （2）计算：21+22+23+⋯+2100； 类比上述规律计算： （3）计算：31+32+33+⋯+32025． 【分析】（1）根据题目中的规律填空即可； （2）设和为S，乘2后相减消项，求出和； （3）设和为T，乘3后相减消项，求出和． 【解答】解：（1）22﹣21＝2＝21， 23﹣22＝4＝22， 24﹣23＝8＝23， … 可以发现规律：2n+1﹣2n＝2n（n为正整数）， 当n＝2024时，22025﹣22024＝22024， 故答案为：22024； （2）设S＝21+22+23+⋯+2100①， 2S＝22+23+⋯+2101②， ②﹣①，得S＝22+23+⋯+2101﹣（21+22+23+⋯+2100） ＝2101﹣2， 即21+22+23+⋯+2100＝2101﹣2； （3）设T＝31+32+33+⋯+32025①； 3T＝32+33+⋯+32026②； ②﹣①，得2T＝（32+33+⋯+32026）﹣（31+32+33+⋯+32025） ＝32026﹣3， 解得T， 即31+32+33+⋯+32025． 【点评】本题考查通过观察规律，用错位相减法求和，关键是构造等式相减消项． 25．综合与实践 说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角． [问题初探] （1）如图1，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转8°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP．设OP的旋转的时间为t秒． ①当0＜t＜18时，求∠MON的度数； ②当18＜t＜36时，直接写出∠MON的度数． 【分析】（1）由∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°，得4∠AOB+2∠AOB＝180°，求得∠AOB＝30°，则∠AOC＝120°； （2）分两种情况讨论，一是射线OP绕点O逆时针旋转，且∠POQ＝10°时，则30+5t＝8t+10或30+5t＝8t﹣10，二是射线OP绕点O顺时针旋转，且∠POQ＝10°时，则8t+10+30+5t＝2×120或8t﹣10+30+5t＝2×120，解方程求出相应的t值即可； （3）①由OM平分∠AOP，ON平分∠COP，得∠POM∠AOP，∠PON∠COP，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜12时，如图3，∠MON＝∠POM+∠PON∠AOC＝60°；二是当12＜t＜18时，∠MON＝∠POM﹣∠PON∠AOC＝60°，所以∠MON的度数为60°； ②分两种情况讨论，一是当18＜t＜30时，∠AOP+∠COP＝240°，则∠MON＝∠POM+∠PON（∠AOP+∠COP）＝120°；二是当30＜t＜36时，∠COP﹣∠AOP＝∠AOC＝120°，则∠MON＝∠PON﹣∠POM（COP﹣∠AOP）＝60°． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°， ∴4∠AOB+2∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝4×30°＝120°， ∴∠AOC的度数是120°． （2）∵射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝120°，∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝120°﹣30°＝90°， 若OP与OC重合，则8t＝120， 解得t＝15， 若OQ与OC重合，则5t＝90， 解得t＝18， 当射线OP绕点O逆时针旋转，且∠POQ＝10°时，则30+5t＝8t+10或30+5t＝8t﹣10， 解得t或t， 当射线OP绕点O顺时针旋转，且∠POQ＝10°时，则8t+10+30+5t＝2×120或8t﹣10+30+5t＝2×120， 解得t或t， 综上所述，t的值为或或或． （3）①∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM∠AOP，∠PON∠COP， 当OP与OC重合，则10t＝120， ∴t＝12， 当0＜t＜12时，如图3，射线OP在∠AOC的内部， ∴∠MON＝∠POM+∠PON（∠AOP+∠COP）∠AOC＝60°； 当12＜t＜18时，如图4，射线OP在∠AOC的外部， ∴∠MON＝∠POM﹣∠PON（∠AOP﹣∠COP）∠AOC＝60°； 综上所述，∠MON的度数为60°． ②∠MON的度数为60°或120°， 理由：当OP在直线OA下方且与OC成一条直线时，则10t＝180+120， 解得t＝30， 当OP与OA重合时，则10t＝360， 解得t＝36， 当18＜t＜30时，如图5，∠AOP+∠COP＝360°﹣120°＝240°， ∴∠MON＝∠POM+∠PON（∠AOP+∠COP）＝120°； 当30＜t＜36时，如图6，∠COP﹣∠AOP＝∠AOC＝120°， ∴∠MON＝∠PON﹣∠POM（COP﹣∠AOP）＝60°， 综上所述，∠MON的度数是60°或120°． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、角平分线的定义、角的计算等知识，正确地用代数式表示角的度数是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/30 20:40:46；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $