精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程2x2-2x-1=0， 整理得：x2-x=， 配方得：x2-x+=，即（x-）2=． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，将原方程整理为一般形式是解题关键．首先将原方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的根的判别式判断该方程的根的情况即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式，可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：C． 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，在处进行；上加下减，在函数值处进行． 【详解】解：根据抛物线的平移规律，抛物线向右平移1个单位， 得：， 再向下平移2个单位后， 得： 整理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线平移问题，解题的关键是：掌握平移的规律，左加右减，在处进行；上加下减，在函数值处进行． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 任意三点都能确定一个圆 C. 任意三角形都只有一个外接圆 D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质，判断解答即可． 本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误，不符合题意； B. 任意不共线的三点都能确定一个圆，故该选项错误，不符合题意； C. 任意三角形都只有一个外接圆，故该选项正确，符合题意； D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，则，求出，根据等腰三角形的性质得出，即，求出x的值，最后根据平行线的性质得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆与三角形的综合，三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 8. 如图，是半圆O的直径，弦，点C在上（不与点O，A重合），点D在上，连接，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角间的关系，平行弦夹的弧相等，勾股定理，直径对的圆周角是直角等知识，作出辅助线是解题的关键．补全另一半圆，延长交于G，连接；由得；由及及圆的对称性知，，则，则共线，则是直径，由勾股定理得：，即可得解． 【详解】解：如图，补全另一半圆，延长交于G，连接； ∵ ∴； ∵，， ∴由圆的对称性知，，， ∴，， ∴共线， ∴是直径，且； 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分） 9. 一元二次方程化成一般形式是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，首先把方程左边的两式相乘，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可． 【详解】解：一元二次方程 ∴ ∴一般形式是． 故答案为：． 10. 一元二次方程：的解为：______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 因式分解得， 由零乘积性质，得或， 即或． 故答案为：或． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得， 解得． 12. 圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________ 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据圆锥的底面的周长等于侧面展开图的弧长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：， 解得：； ∴圆心角的度数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角的度数．熟练掌握圆锥的底面的周长等于侧面展开图的弧长，是解题的关键． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点F在优弧上，连接，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．连接，根据圆内接四边形的性质求得，再由圆周角定理得到，求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这两个定理是关键；连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E；设圆的半径为，由垂径定理得，，则， 由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E； 设圆的半径为， 由垂径定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象经过点和，若，则m的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质．由，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上及对称轴为直线，结合，可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 二次函数的图象经过点和，且， ， 即或， 解得：或， 的取值范围是或 故答案为：或 16. 如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，两点之间线段最短等；由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，取的中点，连接，当、、三点共线时，的值最小，结合勾股定理即可求解；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，能由圆外一点到圆上任一点距离最小找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 点M和N分别从B、C同时出发， 以相同的速度沿、向终点C、D运动， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 如图，取的中点，连接， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、三点共线时，的值最小， ， ； 故答案：． 三、解答题（本大题共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法求一元二次方程的根的计算是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 18. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和的值． 【答案】的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，将代入原方程得：，进而设另一个根为，根据根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：将代入原方程得： 设另一个根为，则， 解得：， ∴的值为，方程的另一个根为． 19. 已知抛物线经过，两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 将已知两点坐标代入抛物线解析式列出方程，利用顶点坐标公式以及顶点纵坐标列出方程，联立求出的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将，代入抛物线解析式得：，， 根据顶点纵坐标为3，得到，即， 联立解得：， 则抛物线解析式为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． （1）填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； （2）仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， 【小问2详解】 解：依题意，的中点如图所示． 21. 如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【答案】的半径为， 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得是的直径，，进而求得半径，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴是的直径， ∴ ∴的半径为 在中，． 22. 如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质；根据已知得出，根据得出，进而根据三角形外角的性质，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 23. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1）无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； （2）k的值为或． 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系． （1）求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再整体代入得到，解出k的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴k的值为或． 24. 如图，是的直径，C为延长线上一点，与相切于点E，连接，与交于点F，连接，且． （1）求证：点F是的中点； （2）若，的半径为3，则阴影部分的面积为____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与相交于点H，证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接，设与相交于点H， ∵与相切于点E， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F是的中点； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了切线的性质、含角直角三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点F是的中点是解题的关键． 25. 如图， 是半圆的直径， 、在半圆上， 半径垂足为，连接、、． （1）求证∶ 平分； （2）若 ， 求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，解直角三角形； （1）根据垂径定理，得出，则即可得证； （2）根据题意可得，勾股定理求得，进而得出，根据垂径定理可得，进而得出，又，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵半径 ∴ ∴，即平分； 【小问2详解】 ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵半径 ∴ ∴ 又∵ ∴ 26. 如图，直线经过上的一点A，是的外接圆，是的直径，于点H，点D是弧的中点，．取的中点F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对圆周角相等得到，结合直径所对圆周角是直角证明即可得到证明； （2）根据点D是的中点，得到，从而得到，由（1）得到结合三角函数得到直径，结合勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，，， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点F是的中， ∴， ∴ ； 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线证明及解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到直角三角形及等角关系． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设：的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； （3）设：点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时， ①直接写出所有满足条件的所有点H的坐标； ②当点H在线段上时，点Q是线段外一点，，连接，将线段绕着点Q逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）①或；②． 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）过点P作轴交于点K，交于点L，根据得到，利用相似三角形的性质得到，求解即可； （3）①分两种情况，当时和当在延长线上时，求得的解析式，即可求解；②由题意可得Q点在以H为圆心，1为半径的圆上，设，过点Q作轴交x轴于点S，过点M作交于T点，利用全等三角形的性质和勾股定理确定点M在以G为圆心，为半径的圆上，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）将点，点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点P作轴交于点K，交于点L， 令，则，即， 设直线的解析式为， ，解得， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P在第二象限的抛物线上， ∴P点坐标为或； 【小问3详解】 解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点N， ∴， 设直线BN的解析式为， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，， ∴直线的解析式为， ∴， 如图3，作线段的垂直平分线交于点F， ∵，， ∴的中点， ∵， ∴， ∴直线经过点O， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 设直线的直线解析式为， ∴，解得， ∴， ∴； 综上所述，H点的坐标为或； ②∵点H在线段上， ∴， ∵， ∴Q点在以H为圆心，1为半径的圆上， 设， 过点Q作轴交x轴于点S，过点M作交于T点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 设对称轴与直线的交点为G，则， ∴， ∴， ∴M点在以G为圆心，为半径的圆上， 当三点共线时，有最值， ∵， ∴的最大值为，的最小值为， ∴， ∴的范围是． 【点睛】此题是二次函数与几何的综合应用，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试试卷 九年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 任意三点都能确定一个圆 C. 任意三角形都只有一个外接圆 D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 6. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆O的直径，弦，点C在上（不与点O，A重合），点D在上，连接，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分） 9. 一元二次方程化成一般形式是________________________． 10. 一元二次方程：的解为：______． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________ 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点F在优弧上，连接，若，则的度数为______． 14. 如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 15. 已知二次函数的图象经过点和，若，则m的取值范围是______． 16. 如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和的值． 19. 已知抛物线经过，两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式． 20. 如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． （1）填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； （2）仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 22. 如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 23. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 24. 如图，是的直径，C为延长线上一点，与相切于点E，连接，与交于点F，连接，且． （1）求证：点F是的中点； （2）若，的半径为3，则阴影部分的面积为____． 25. 如图， 是半圆的直径， 、在半圆上， 半径垂足为，连接、、． （1）求证∶ 平分； （2）若 ， 求的值． 26. 如图，直线经过上的一点A，是的外接圆，是的直径，于点H，点D是弧的中点，．取的中点F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设：的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； （3）设：点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时， ①直接写出所有满足条件的所有点H的坐标； ②当点H在线段上时，点Q是线段外一点，，连接，将线段绕着点Q逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $