3.2.2 函数奇偶性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教版 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 主讲人：陈林林 1 教学目标 通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义（重点、难点） 01 掌握奇函数、偶函数图像的特征（难点） 02 会判断函数奇偶性（重点、难点） 03 函数的奇偶性 2 奇函数、偶函数的定义 数学抽象 通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义 直观想象 判断函数奇偶性 逻辑推理 判断函数奇偶性 数学运算 函数的奇偶性 学科素养 3 Retrospective Knowledge 知 识 回 顾 第一章 单调性 函数图象在定义域的某个区间上 “上升”或“下降”的性质 奇偶性 复习回顾 增函数与减函数的定义: 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2 ， 如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增; 如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减. 图像的对称性 M 观察下列两组图形，说说这两组图形各有什么共同特点？ (1) (2) 6 New Knowledge explore 新 知 探 索 第二章 观察函数f(x)= x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？ f(x)=x2 g(x)=2-|x| 这两个函数的图像都关于y轴对称. 偶函数 8 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... f(x)= x2 ... ... g(x)=2-|x| ... ... 类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？） 探究 偶函数 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： 9 偶函数 （1）对于上述两个函数，f(-1)与f(1)，f(-2)与f(2)，f(-3)与f(3)，f(-x)与f(x)，有什么关系？ （2）对于定义域内任意的一个x，都有f(-x)=f(x)成立吗？如何验证我们的猜想呢？ 10 偶函数 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 11 偶函数 例如,函数f(x)= x2： ∀x∈R,都有-x∈R且： f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)， 这时候，我们称函数 f(x)= x2为偶函数. 对于定义域内任意的一个x，都有f(-x)=f(x)成立吗？如何验证我们的猜想呢？ g(x)= 2-|x| ∀x∈R,都有-x∈R且： g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x) 我们称函数g(x)= 2-|x| 为偶函数. 12 偶函数 具备这样特征的函数，我们称为偶函数. 1.2 符号语言： 13 偶函数 f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ，都有 ， 且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数． ∀x∈I，f(－x)=f(x) 图像关于y轴对称 代数特征 几何特征 ∀x∈I，都有－x∈I 定义域I关于原点对称 -a a O O -a a O a -a b -b 偶函数 ∀x∈I －x∈I f(－x)=f(x) 14 函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？ 函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？ 是偶函数 不是 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 偶函数 （导学案例1） 15 探究 观察函数 的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？ 这两个函数的图像都关于原点成中心对称. 奇函数 16 奇函数 （1）对于上述两个函数，f(-1)与f(1)，f(-2)与f(2)，f(-3)与f(3)，f(-x)与f(x)，有什么关系？ （2）对于定义域内任意的一个x，都有f(-x)=-f(x)成立吗？如何验证我们的猜想呢？ （3）请你仿照这个过程，说明函数 也是奇函数． 17 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... f(x)= x ... ... ... ... 为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值， 观察相应函数值的情况，如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 奇函数 18 偶函数 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数. 19 对于∀x∈R,都有-x∈R,且： f(-x) = -x= - f(x)， 我们称函数f(x)= x为奇函数. 请你仿照这个过程，说明函数 也是奇函数. 例如,对于函数f(x)= x,有： 对于函数 ,有： 奇函数 对于 都有： 我们称函数 为奇函数. 20 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数． ∀x∈I，f(－x)= －f(x) 奇函数 f(x) 图像关于原点对称 代数 几何 ∀x∈I，都有－x∈I 定义域I关于原点对称 如果奇函数在 处有定义，则：     ∀x∈I －x∈I f(－x)=－f(x) 21 希沃智能体，可以询问任何奇偶性问题 奇函数 函数f(x)=x, x∈[-2,2]是奇函数吗？ 是奇函数 函数g(x)=x, x∈[-1,3]是奇函数吗？ 不是 奇函数 25 奇、偶函数区别 奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？ 相同点： ① 定义域关于原点对称； ② 都是函数的整体性质. 不同点： 当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等， 而奇函数的函数值是一对相反数； ② 偶函数的图象关于 轴对称，而奇函数的图象关于原点对称. 26 函数奇偶性的判断 (2)(4)(7) (1)(3)(7) 1.图象判断函数奇偶性： 奇函数：图象关于原点对称 偶函数：图象关于y轴对称 27 例1 判断下列函数的奇偶性： 函数奇偶性的判断 导学案P47【巩固训练】T1(3) 28 例1 判断下列函数的奇偶性： 函数奇偶性的判断 导学案P47【巩固训练】T1(3) 29 函数奇偶性的判断 2.根据定义判断函数的奇偶性： （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； （3）根据定义下结论． 特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中 任意一个自变量都成立，但证明函数不是奇函数或偶函数 只需要举出一个反例即可. 30 练习1 判断下列函数的奇偶性： 导学案P47例1(3) 导学案P47【巩固训练】T1(1) 31 解：函数 定义域为 ， ， ， 所以函数 是既不是奇函数也不是偶函数. 解：函数 定义域为 ， ,都有 ， 且 ， 所以函数 既是奇函数也是偶函数. 解： 解： 32 1.根据函数的图象判断函数奇偶性（图象法）： 偶函数 图象关于y轴对称 奇函数 图象关于原点对称 2.根据定义判断函数的奇偶性（定义法）： （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； （3）根据定义下结论． 如何判断函数的奇偶性？ 函数奇偶性的判断 33 Expansion And Promotion 反 馈 测 试 第三章 导学案P48【当堂检测】1、2、3 第四章 35 Sum Up 归 纳 总 结 第五章 1．偶函数与奇函数的定义: 偶函数：设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么 函数f (x)就叫做偶函数． 奇函数：设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． 2．判断函数奇偶性的方法: （1）图象法: 偶函数图像关于y轴对称，奇函数关于原点对称； （2）定义法: ①先求定义域，看是否关于原点对称； ②再判断f (-x)= - f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； ③根据定义下结论． （奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既是奇函数也是偶函数） 37 Homework After Class 课 后 作 业 第六章 三维设计 【题型一】、【典例二】 思考题 【典例一】（3）判断函数 的奇偶性. 必做题 39 Thank You For Listening 感谢您的聆听 汇报人：WPS 我们不难发现， ． 对于上述两个函数， 与 ， 与 ， 与 ， 与 有什么关系？ 对于函数 ，有 ； ； ． 请你仿照这个过程， 说明函数 也是偶函数． 我们不难发现， ． 对于上述两个函数， 与 ， 与 ， 与 ， 与 有什么关系？ 对于函数 ，有 ； ； ． 1.下列图象表示的函数是奇函数的是________， 是偶函数的是________．(填序号) $