精品解析：天津市第一0二中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级期中考试 数学试卷 一､选择题（每道题四个选项中只有一个是正确的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､填空题 10. 已知复数满足，则_______. 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 12. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为________. 13. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 14. 在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示_____；若，则的值为_____. 15. 已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为________. 三､解答题 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 19. 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前n项和. （i）求； （ii）若对于，恒成立，求实数的最小值. 20. 已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值; （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证: ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级期中考试 数学试卷 一､选择题（每道题四个选项中只有一个是正确的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性. 【详解】若，满足，但不能得到，故充分性不成立， 若，由于，故，故必要性成立， 故“”是“”的必要而不充分条件， 故选：C 3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】六位选手得分由小到大排列如下： 119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50， 因为， 所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75. 故选：C 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数单调性比较与中间量的大小，根据角所在象限判断正弦函数值的符号得，进而可判断的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减， 所以，且. 由，则， 综上可知. 故选：D. 5. 某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性即特殊点的函数值，利用排除法即可得解. 【详解】解：有图象可知，函数图像关于y轴对称，即函数为偶函数， 对于A，，故函数为偶函数， 当时，，，则，与图像矛盾，故排除A； 对于B，，所以函数为奇函数，故排除A； 对于C，，故函数为偶函数， 当时，，，则，符合题意，故C符合； 对于D，，所以函数为奇函数，故排除D. 故选：C. 6. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 8. 在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算等差数列的基本量，进而得，数列记为，则为等比数列，即可得，由等差数列通项公式即可求解. 【详解】依题意，即，解得，故． 新数列，记为，则为等比数列， 所以公比， 所以， 又因为， 所以． 故选：B 9. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则，解得， 又因为对，在上都不单调，所以，解得. 综上，. 故选：A. 二､填空题 10. 已知复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故答案为： 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 12. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，然后结合弦长，由勾股定理列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 13. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望. 【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 14. 在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示_____；若，则的值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算求出，设，设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】因为，所以， 所以； 设()，则， 设()，则， 又，，三点共线，则，得， 因为菱形的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理得， 解得或（舍去）．故． 故答案为：； 15. 已知，，关于x的方程有三个实数解，且，若满足不等式恒成立的最大整数m为________. 【答案】18 【解析】 【分析】先求定义域，再求导，得到的单调性，画出其图象，令，则有两个不等实根，设为，，则，结合函数图象可得，得到，从而得到，求出，计算可得，从而求出最大整数m为18. 【详解】中，令得，故定义域为， ，令得， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，画出的图象如下： 令，则中恒成立， 故有两个不等实根，设为，，则， 而有三个实数解，， 故有1个根，有2个不等实根， 结合，故， ，则在上单调递减， 故， ， 因为，所以， ，其中，代入计算可得， 满足的最大整数m为18. 故答案为：18 三､解答题 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值； （2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 17. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接平行四边形的对角线，交于，可得，进而可证得平面； （2）根据几何体特征，可得，，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合空间点到平面的距离公式，即可求解； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合面面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 连接平行四边形的对角线，交于， 在中，是的中点，是中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由已知，，，， 在中，由余弦定理得， 则，由勾股定理，则， 又底面，平面，则有，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标，则，，，，， 的中点，，， 设平面法向量为， 则，取，则，，故， ，则点与平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得， ，，设平面的法向量为， 则， 取，则，，则， 平面与平面所成锐二面角余弦值为. 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 19. 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前n项和. （i）求； （ii）若对于，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1），； （2）（i）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程，即可得到数列的通项公式，利用与的关系即可求出的通项公式； （2）（i）根据题意可得，利用错位相减即可求出； （ii）根据题意可得，利用裂项相消即可求出，根据单调性求出的范围即可求出实数的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由于，且，，成等比数列， 所以，解得：，或（舍去）， 所以数列的通项公式为：， 由于数列的前项和， 当时，，解得：； 当时，①， ②， ①②可得：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 则数列的通项公式为：； 【小问2详解】 （i）由于 所以 则 （ⅱ）由于 则， 随着增大而增大，由于，， 当时，，当时，， 即，则 所以最小值为. 20. 已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值; （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证: ． 【答案】（1）最大值为，最小值为0 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值； （2）令，求导，分，，三种情况讨论，利用导数确定参数的取值范围； （3）令，求导再令，继续求导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可． 【小问1详解】 当 时，，， ，，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，又， 所以函数在区间的最大值为，最小值为0； 【小问2详解】 令， ， 当时，， ， 在单调递增，，即成立； 当时，， 若，即时，，， ， 在上单调递减， ， 又，所以，即， 则， 在单调递增，， 若，即，存在，使得时，， ，所以不满足成立， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 令， ， 令， ， 当时，， 所以，单调递增，， 即，单调递减，， 当时， ，又，所以， 即，单调递增，， 综上，当 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $