安徽省宿州市2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

数学九年级（北师大版）卷二 试题卷 注意事项： 1．本试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．考试范围：第1~4.4章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A. 公平 B. 对小颖有利 C. 对小亮有利 D. 公平性不可预测 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 6. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是________． 11. 在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 12. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为_________． 13. 如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）________． （2）线段的长度为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 解方程： （1）． （2）． 15. 如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是m和n． （1）求k的取值范围． （2）若，且为整数，求k的值． 17. 和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满20分） 18. 如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 19. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段的黄金分割点．如图2，在中，，，为的平分线． （1）求证：点D为的黄金分割点． （2）求的长． 六、（本题满分12分） 20. 复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ②扇形统计图中的圆心角的度数为________． （2）若该校有名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数． （3）该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 七、（本题满分12分） 21. 已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 八、（本题满分14分） 22. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 数学九年级（北师大版）卷二 试题卷 注意事项： 1．本试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．考试范围：第1~4.4章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】##4厘米 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 【14题答案】 【答案】（1），； （2）， 【15题答案】 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2） 第（1）问的结论仍然成立，理由： ∵， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满20分） 【18题答案】 【答案】 证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 【19题答案】 【答案】（1） 解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中： ，， ∴， 故， ∵， ∴， ∴点为����的黄金分割点； （2） 六、（本题满分12分） 【20题答案】 【答案】（1）① 如图： ② （2） （3） 七、（本题满分12分） 【21题答案】 【答案】（1） （2）所求方程为 （3）关于的一元二次方程的两个实数根为 八、（本题满分14分） 【22题答案】 【答案】（1） （2） 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $