22.3正多边形的有关计算（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

22.3正多边形的有关计算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的定义与性质 1. 定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2. 对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；当n为偶数时，正n边形也是中心对称图形，对称中心是它的中心。 正多边形的中心、半径、边心距与中心角 1. 中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。 2. 半径（R）：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 3. 边心距（r）：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距，即中心到一边的距离。 4. 中心角（αₙ）：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，计算公式为：αₙ = （n为正多边形的边数）。 型 习 练 题 求正多边形的中心角 1．下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 2．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 已知中心角求边数 6．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 8．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 9．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 10．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 正多边和圆的综合 11．如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 12．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 13．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 14．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    15．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 尺规作图-正多边形 16．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 17．如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 19．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 20．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3正多边形的有关计算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的定义与性质 1. 定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2. 对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；当n为偶数时，正n边形也是中心对称图形，对称中心是它的中心。 正多边形的中心、半径、边心距与中心角 1. 中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。 2. 半径（R）：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 3. 边心距（r）：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距，即中心到一边的距离。 4. 中心角（αₙ）：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，计算公式为：αₙ = （n为正多边形的边数）。 型 习 练 题 求正多边形的中心角 1．下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定义判断选项正误即可． 【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 3．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 4．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 5．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 已知中心角求边数 6．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故选：C． 7．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 8．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 9．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 10．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 正多边和圆的综合 11．如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 12．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 13．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 14．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【答案】这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    15．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 尺规作图-正多边形 16．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 17．如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点. 【详解】如图即为所求作的菱形 理由如下： ∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形． 【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质. 18．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见解析 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【详解】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 19．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形如图所示： （2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示： ． 【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 20．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $