22.2圆的切线（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学九年级上册

22.2圆的切线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、切线的定义 直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 二、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：如果一条直线与圆相切，那么圆心到这条直线的距离等于圆的半径。 三、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 四、切线长的定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 五、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 六、三角形的内切圆相关 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。 型 习 练 题 证明某直线是圆的切线 1．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 2．下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 3．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 5．如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 切线的性质和判定综合 6．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 8．圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 9．如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 10．如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 应用切线长定理求解 11．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 12．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 13．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 14．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 15．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 圆和圆的位置关系 16．已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（   ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 17．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 18．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 19．对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 20．如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 圆内知识综合 21．如图，正方形内接于半径为2的中，过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点，则面积的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 23．如图，内接于，于点．若，，的半径，则的长为（    ） A．15 B． C．13 D． 24．如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ） A． B． C． D． 25．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 圆与三角形综合 26．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 27．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 28．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 29．已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线． (1)求证：直线与相切； (2)若半径为，．连接，求证： 30．如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2圆的切线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、切线的定义 直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 二、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：如果一条直线与圆相切，那么圆心到这条直线的距离等于圆的半径。 三、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 四、切线长的定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 五、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 六、三角形的内切圆相关 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。 型 习 练 题 证明某直线是圆的切线 1．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    2．下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，等弧，切线的判定，平行公理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，故该选项符合题意； B、完全重合的弧是等弧，长度相等的两段弧不是等弧，故该选项不符合题意； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：A 3．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 4．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】A 【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误； （2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， （5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误； 正确的只有1个， 故选：A． 5．如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【答案】A 【分析】连接，即可证得，即可证得是的切线，由此可得依据． 【详解】解：如图：连接， 作以为直径的圆，两圆交于点Q， ， 又是的半径， 是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练掌握和运用切线的判定定理是解决本题的关键． 切线的性质和判定综合 6．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 7．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 8．圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 9．如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵腰与相切，设切点为， ∴为⊙O的半径， ， 连接，，过O点作，如图， ∵O是等腰的底边的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定． 10．如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【答案】D 【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求． 【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图， 切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN＝NF， 又∵， ∴ 设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2， 得：r2＝16＋（8−r）2， ∴r＝5， ∴OK＝NB＝5， ∴EB＝9， 又，即， ∴AB＝； 当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N， 同理，可得OH＝AN＝5， ∴AE＝1， 又， ∴AB＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 应用切线长定理求解 11．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 12．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 13．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 14．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 15．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 圆和圆的位置关系 16．已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（   ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系． 根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系，即可得到答案． 【详解】解：， 相切，即两圆外切． 故选：A． 17．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【分析】本题考查圆与圆的位置关系．设两圆的圆心距为P，半径为R和r，则它们的位置如下：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．据此即可判断求解． 【详解】解：根据题意，圆心距， ∴两圆内切． 故选：A． 18．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 19．对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 20．如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内切和外切的性质．根据两圆的位置关系分内切和外切两种即可解答． 【详解】解：①当与外切时， ∵，的半径是， ∴的半径为；    ②当与内切时， ∵，的半径是， ∴的半径为，    故选：D． 圆内知识综合 21．如图，正方形内接于半径为2的中，过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形与圆的性质，以及切线的性质判定出四边形是正方形，是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，根据图形中面积之间的关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、、， 正方形是的内接正方形， ， 与相切于点，与相切于点， ，， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， 由对称性以及图形中阴影部分面积之间的关系可得， ， 故选：D．    【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形是正方形，是等腰直角三角形是解决问题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点，则面积的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】A 【分析】连接,取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，接着证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，据此解题． 【详解】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得 令，得 当点与点重合时， 此时面积的最小值 故选：A． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 23．如图，内接于，于点．若，，的半径，则的长为（    ） A．15 B． C．13 D． 【答案】B 【分析】过点O作OD⊥AC于点D，连接OA，由题意易得，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点O作OD⊥AC于点D，连接OA，如图所示： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键． 24．如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解． 【详解】解：过点作于， 则， 由圆周角定理得：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 25．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 圆与三角形综合 26．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）垂径定理得到，得到，再结合，即可得证； （2）根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 27．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ． ，， 在和中： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 28．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 29．已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线． (1)求证：直线与相切； (2)若半径为，．连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证明直线l与相切，需依据切线的判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），通过连接，利用内心性质、弧与角的关系及平行线性质推导； （2）要证明，需连接，结合内心角平分线性质、弧与角的对应关系，通过角的等量代换证明，进而利用等腰三角形判定得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵直线， ∴， ∴直线与相切． （2）连接， 由（1）得，， ∵所对的圆周角为，， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键 30．如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $