22.2 圆的切线（判定、性质、切线长定理等 5大题型提分练）（同步练习）数学北京版九年级上册

22.2 圆的切线 同步练习 题型一 切线的性质 1．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AD，DE，DB，∠ABD＝2∠BDE，过点E作⊙O的切线EC，交AB的延长线于点C，若⊙O的直径为4，CE＝4，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 3．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B．若PA＝8，OP＝10，则线段PB的长为 　 　． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　 　． 5．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠PDE＝∠POA； （2）若PC＝12，tan∠APC，求DE的长． 题型二 切线的判定 6．下列命题：①有理数和数轴上的点一一对应； ②带根号的数不一定是无理数；③在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3；④若圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线；其中真命题的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．下列说法正确的是（　　） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆周角等于圆心角的一半 C．圆是中心对称图形 D．圆的对称轴是直径 8．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为　 　． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC． （1）求⊙O的周长； （2）求证：AE是⊙O的切线． 题型三 切线的判定与性质 10．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∠D＝110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（　　） A． B． C． D． 11．已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是 的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论： ①AC•AB＝2R•AD； ②EF∥BC； ③CF•AC＝EF•CM； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，D为AB边上一动点，以点D为圆心的⊙D与AC边相切，当⊙D的半径为　 　时，⊙D也与BC边相切． 13．如图，在⊙O中，△ABC内接⊙O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）若，OB＝2，求BD的长． 题型四 切线长定理 14．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　） A．9 B．10 C．3 D．2 15．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA＝　 　cm． 16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长． 题型五 三角形的内切圆与内心 17．如图，⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点，已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为（　　） A．14 B． C．16 D．18 18．如图，已知，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）若∠C＝90°，∠A＝30°，，则⊙O的半径为 　 　； （2）若⊙O的半径为3，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝　 　． 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连结OD．若OD∥EC，∠ECB＝35°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　） A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 4．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 5．如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮⊙O的直径为AB，车架AC经过圆心O，地面水平线CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．小明测出车轮的直径AB＝1米，BC＝2米，则AD的长为 　 　米 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　． 7．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD，过点A作CD的垂线交CD于点D，CE平分∠ACB交⊙O于点E． （1）求证：AC平分∠BAD． （2）若，AD＝1，求AE的长． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，延长BC至点D，连接AD，E为AB上方圆上一点，连接ED．若，AC＝8，BD＝6． （1）求sin∠DAB的值； （2）若ED＝2，求证：ED为⊙O的切线． 9．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 圆的切线 同步练习 题型一 切线的性质 1．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AD，DE，DB，∠ABD＝2∠BDE，过点E作⊙O的切线EC，交AB的延长线于点C，若⊙O的直径为4，CE＝4，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OE，如图，先根据切线的性质得到∠OEC＝90°，则利用勾股定理可计算出OC＝2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后证明△ABD∽△COE，于是利用相似比可求出AD的长． 【详解】解：连接OE，如图， ∵CE为⊙O的切线， ∴OE⊥CE， ∴∠OEC＝90°， ∵⊙O的直径为4， ∴AB＝4，OE＝2， 在Rt△OEC中，∵OE＝2，CE＝4， ∴OC2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠COE，∠ADB＝∠OEC， ∴△ABD∽△COE， ∴，即， 解得AD． 故选：D． 2．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【分析】由切线长定理可得：PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB，则可知△PDE的周长为PB长度的两倍，通过连接OB，即可求出PB． 【详解】解：连接OB，则有OB⊥PB， ∴PB12， 由切线长定理可得：PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB， ∴△PDE的周长为：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE ＝PD+DA+PE+EB ＝PA+PB ＝2PB ＝24， 故选：D． 3．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B．若PA＝8，OP＝10，则线段PB的长为 　4　． 【分析】先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算OA的长，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接OA， ∵PA切⊙O于A点， ∴OA⊥PA， 在Rt△OPA中，OP＝10，PA＝8， ∴OA6． ∴OB＝OA＝6， ∴PB＝OP﹣OB＝10﹣6＝4． 故答案为：4． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　28°　． 【分析】连接OC，根据切线的性质得∠OCD＝90°，求出∠DOC的度数，再根据圆周角定理计算∠A的度数． 【详解】解：如图，连接OC， ∵DC切⊙O于点C， ∴OC⊥DC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝34°， ∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°， ∴， 故答案为：28°． 5．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠PDE＝∠POA； （2）若PC＝12，tan∠APC，求DE的长． 【分析】（1）根据切线的性质得∠APO＝∠EPD，∠PAO＝∠E＝90°，证得△APO∽△EPD，进而得证； （2）连接OC，利用tan∠PDA，可求出CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE，DE的长，． 【详解】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO＝∠EPD，∠PAO＝∠E＝90°， ∴△APO∽△EPD， ∴∠PDE＝∠POA； （2）解：连接OC，DE交圆于点F， ∴PA＝PC＝12， ∵tan∠APC， ∴AD＝16， 在Rt△PAD中，PD20， ∴CD＝PD﹣PC＝20﹣12＝8， ∵tan∠APC， ∴tan∠PDA， ∴OC＝OA＝6， 在Rt△OCD中，OD10， ∵∠EPD＝∠ODE， ∴△DEP∽△OED， ∴2， ∴DE＝2OE， 在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝102， ∴OE＝2， ∴DE＝4． 题型二 切线的判定 6．下列命题：①有理数和数轴上的点一一对应； ②带根号的数不一定是无理数；③在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3；④若圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线；其中真命题的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据实数、无理数、中位数、众数、切线的定义进行判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的数一一对应，此选项错误； ②带根号的数不一定是无理数，如，此选项正确； ③在1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是2，此选项错误； ④若圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线，此直线也可能不与圆有交点，此选项错误． 故选：B． 7．下列说法正确的是（　　） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆周角等于圆心角的一半 C．圆是中心对称图形 D．圆的对称轴是直径 【分析】根据圆的有关性质确定、垂径定理对每一项分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A． 垂直于半径的直线是圆的切线中，这条直线应经过此半径的外端，故错误； B． 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，错误； C． 圆是中心对称图形，正确； D． 圆的对称轴是直径所在的直线，错误； 故选：C． 8．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为　或　． 【分析】分两种情况：①当⊙P与菱形ABCD的边AD、AB相切时，由题意得：PM⊥AD，由菱形的性质得出∠DAP＝∠DCP＝30°，在Rt△APM中，PM，即可得出AP的长； ②当⊙P与菱形ABCD的边CD、BC相切时，连接BD，作PE⊥CD于E，MF⊥AC于F，则PE＝PM，设PE＝PM＝x，由直角三角形的性质得出ODAD＝2，OAOD＝2，MFAM＝1，AFMF，PC＝2PE＝2x，得出AP＝42x，PF＝AC﹣PC﹣AF＝32x，在Rt△PMF中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出AP的长． 【详解】解：分两种情况：①当⊙P与菱形ABCD的边AD、AB相切时，如图1所示： 由题意得：PM⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAP＝∠DCP＝30°， ∵M是线段AD的中点， ∴AMAD＝2， 在Rt△APM中，PM， ∴AP＝2PM； ②当⊙P与菱形ABCD的边CD、BC相切时，如图2所示： 连接BD，作PE⊥CD于E，MF⊥AC于F， 则PE＝PM， 设PE＝PM＝x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，OA＝OC， ∵∠DAC＝∠DCA＝30°， ∴ODAD＝2，OAOD＝2，MFAM＝1，AFMF，PC＝2PE＝2x， ∴AC＝2OA＝4， ∴AP＝42x，PF＝AC﹣PC﹣AF＝32x， 在Rt△PMF中，由勾股定理得：12+（32x）2＝x2， 解得：x，或x（舍去）， ∴AP＝42； 综上所述，AP的长为或； 故答案为：或． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC． （1）求⊙O的周长； （2）求证：AE是⊙O的切线． 【分析】（1）根据题意推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质推出AB＝5，则⊙O的直径为4，根据圆的周长公式求解即可； （2）连接OE，结合（1）等量代换得到∠AED＝∠ABE，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出∠AED+∠BDE＝90°，结合等腰三角形的性质推出∠AEO＝90°，根据切线的判定定理即可得解． 【详解】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， 又∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AD＝1，AC， ∴， ∴AB＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝4， ∴⊙O的周长＝4π； （2）证明：连接OE， 由（1）得，， ∵AE＝AC， ∴， ∵∠DAE＝∠EAB， ∴△ADE∽△AEB， ∴∠AED＝∠ABE， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BED＝90°， ∴∠ABE+∠BDE＝∠AED+∠BDE＝90°， ∵OD＝OE， ∴∠BDE＝∠OED， ∴∠OED+∠AED＝∠AEO＝90°， ∴AE⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线． 题型三 切线的判定与性质 10．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∠D＝110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠B＝180°﹣∠D＝70°，根据圆周角定理得∠AOC＝2∠B＝140°，由 的度数是70°得到∠COD＝70°，所以∠AOD＝70°，利用弧长公式可计算出AD弧的长度π，则BC弧的长度π，由于70π＝6π•12﹣2π，即⊙O转了不到12圈，利用2ππ，则说明与直线l接触的弧是． 【详解】解：连接OC、OD、OA，如图， ∵∠D＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°， ∵∠A＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∵的度数是70°， ∴∠COD＝70°， ∴∠AOD＝70°，∠BOC＝50°， ∴AD弧的长度π， ∴BC弧的长度π， ∵70π＝6π•12﹣2π， 而2ππ， ∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为． 故选：C． 11．已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是 的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论： ①AC•AB＝2R•AD； ②EF∥BC； ③CF•AC＝EF•CM； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】①连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，则∠GCA＝∠ADB＝90°，∠G＝∠B，证明△ACG∽△ADB，利用相似比证明结论； ②连接OE，由EF为⊙O的切线可知OE⊥EF，由E是 的中点可知OE⊥BC，故结论成立； ③连接CE，证明△ACM∽△EFC，利用相似比证明结论； ④过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，由E是 的中点可知AE平分∠BAC，由角平分线的性质得MP＝MQ，而∠F＝∠PCM，在Rt△PCM和Rt△BDQ中，分别表示sin∠B，sin∠PCM，再求比． 【详解】解：①如图1，连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG， ∵AG为直径，∴∠GCA＝∠ADB＝90°，又∠G＝∠B， ∴△ACG∽△ADB，∴，AG＝2R，∴AC•AB＝2R•AD，①正确； ②如图1，连接OE， ∵EF为⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥EF， 又∵E是 的中点，∴OE⊥BC， ∴EF∥BC，②正确； ③如图2，连接CE， ∵EF∥BC，∴∠ACM＝∠F， 由弦切角定理可知∠CAE＝∠FEC，∴△ACM∽△EFC， ∴，即CF•AC＝EF•CM，③正确； ④如图2，过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，垂足为P，Q， ∵E是 的中点，∴AE平分∠BAC，∴MP＝MQ， 又∠F＝∠PCM，∴在Rt△PCM中，sin∠PCM＝sinF， 在Rt△BMQ中，sinB， ∴，④正确． 故选：D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，D为AB边上一动点，以点D为圆心的⊙D与AC边相切，当⊙D的半径为　2　时，⊙D也与BC边相切． 【分析】设⊙D与AC、BC边相切于点E、F，连接DE、DF，可得四边形DECF是正方形，即DE＝EC＝CF＝DF＝r，根据DF∥AC，可得△BDF∽△BAC，对应边成比例即可求出r的值． 【详解】解：如图，以点D为圆心的⊙D与AC边相切，当⊙D的半径为2时，⊙D也与BC边相切． 理由如下：设⊙D半径为r， 设⊙D与AC、BC边相切于点E、F， 连接DE、DF， ∴DE⊥AC，DF⊥BC， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DE＝DF， ∴四边形DECF是正方形， ∴DE＝EC＝CF＝DF＝r， ∴BF＝BC﹣FC＝6﹣r， ∴DF∥AC， ∴△BDF∽△BAC， ∴， ∴， 解得r＝2． 所以当⊙D的半径为2时，⊙D也与BC边相切． 故答案为：2． 13．如图，在⊙O中，△ABC内接⊙O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）若，OB＝2，求BD的长． 【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠C，可得∠OAB＝90°﹣∠C，即可求得∠OAD＝90°，结合OA为半径可证得结论成立； （2）延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠C＝∠E＝∠BAD，可证得△BAD∽△AED，有，设BD＝x，结合正切值可得，利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：连接OA，如图， 则∠AOB＝2∠C， ∵OA＝OB， ∴， ∴∠OAD＝∠OAB+∠BAD＝90°， ∴OA⊥AD， 又∵OA为半径， ∴AD为⊙O切线； （2）解：延长BO交⊙O于E，连接AE，如图， ∵∠C与∠E为同弧所对圆周角， ∴∠C＝∠E＝∠BAD， 又∵∠D＝∠D， ∴△BAD∽△AED， ∴， 设BD＝x，则， ∵， ∴， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠EAB＝90°， ∴，则， 在Rt△OAD中，OA2+AD2＝OD2，OA＝OB＝2， ∴， ∴或x＝0（舍去）， 则． 题型四 切线长定理 14．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　） A．9 B．10 C．3 D．2 【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，利用四边形ABHD为矩形得BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x，即CB＝CE，然后由等线段代换得到△MCN的周长＝CE+CB＝9． 【详解】解：作DH⊥BC于H，如图， ∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∵AB为直径， ∴AD和BC为⊙O 切线， ∵CD和MN为⊙O 切线， ∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF， ∵四边形ABHD为矩形， ∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6， 设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2， 在Rt△DCH中，∵CH2+DH2＝DC2， ∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x， ∴CB＝CE， ∴△MCN的周长＝CN+CM+MN ＝CN+CM+NF+MF ＝CN+CM+NE+MB ＝CE+CB ＝9． 故选：A． 15．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA＝　10　cm． 【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长． 【详解】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， ∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB； ∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝20； ∴PA＝PB＝10， 故答案为10． 16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长． 【分析】由⊙O为内切圆，则AO、DO为角平分线，则∠AOD＝90°，由勾股定理求得AD，再由切线的性质得OE⊥AD，由三角形的面积公式求出OE的长． 【详解】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆， ∴∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∵AO＝8cm，DO＝6cm， ∴AD＝10cm， ∵OE⊥AD， ∴AD•OE＝OD•OA， ∴OE＝4.8cm． 题型五 三角形的内切圆与内心 17．如图，⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点，已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为（　　） A．14 B． C．16 D．18 【分析】由⊙O是△ABC 的内切圆，根据切线长定理得AD＝AE＝1，设BC于⊙O相切于点F，则BD＝BF，CE＝CF，可求得BD+CE＝BF+CF＝BC＝7，即可求得AB+AC+BC＝AD+AE+（BD+CE）+BC＝16，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵⊙O是△ABC 的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点， ∴AD＝AE＝1， 设BC于⊙O相切于点F，则BD＝BF，CE＝CF， ∴BD+CE＝BF+CF＝BC＝7， ∴AB+AC+BC＝AD+BD+AE+CE+BC＝AD+AE+（BD+CE）+BC＝1+1+7+7＝16， ∴△ABC的周长为16， 故选：C． 18．如图，已知，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）若∠C＝90°，∠A＝30°，，则⊙O的半径为 　1　； （2）若⊙O的半径为3，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝　6　． 【分析】（1）解直角三角形得到BCAC＝2，求得AB＝2BC＝4，连接OF，OE，根据切线的性质得到BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，设BE＝BD＝x，则AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣x，根据题意列方程即可得到结论； （2）如图，连接OF，OE，OD，OA，OB，OC，根据切线的性质得到OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，， ∴BCAC＝2， ∴AB＝2BC＝4， 连接OF，OE， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE， 设BE＝BD＝x，则AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣x， ∵AF+FC＝2， ∴4﹣x+2﹣x＝2， ∴x＝3， ∴⊙O的半径为1． 故答案为：1； （2）如图，连接OF，OE，OD，OA，OB，OC， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF， ∵△ABC的面积为45，⊙O的半径为3，BC＝9， ∴OD（2AD+2×9）×3＝45， ∴AD＝6； 故答案为：6． 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连结OD．若OD∥EC，∠ECB＝35°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】连接OB，OC，根据切线的性质得到∠OCE＝∠OCF＝90°，求得∠BCO＝90°﹣35°＝55°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB＝55°，求得∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°，根据平行线的性质得到∠COD＝90°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接OB，OC， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠OCE＝∠OCF＝90°， ∵∠ECB＝35°， ∴∠BCO＝90°﹣35°＝55°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ∵OD∥EC， ∴OD⊥OC， ∴∠COD＝90°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝160°， ∴∠A∠BOD＝80°． 故选：C． 2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　） A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 【分析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线． 根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线． 根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO＝90°，可以证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB＝AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 所以B正确． 当CD＝BD时，AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC ∵DE⊥AC ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线． 所以C正确． 当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD． ∴DE是⊙O的切线． 所以D正确． 故选：A． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】由OA＝OC，点D是AC中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明OQ垂直平分AC，可判断②正确；因为∠AOD＝∠COD∠AOC，∠BAOC，所以∠B＝∠AOD，可判断①正确；由∠PCA＝∠PAB，得∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B＝∠AOD，则∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，再证明∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，则∠QCO＝∠QAO＝90°，可证明直线PA和CQ都是⊙O的切线，可判断③正确；假设CQ∥AO正确，∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，可推导出∠AOC＝90°，则∠B∠AOC＝45°，与已知条件不符，所以CQ∥AO不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点D是AC中点， ∴AD＝CD， ∵OA＝OC， ∴OQ⊥AC， ∴OQ垂直平分AC， 故②正确； ∴∠AOD＝∠COD∠AOC， ∵∠BAOC， ∴∠B＝∠AOD， 故①正确； ∵∠PCA＝∠PAB， ∴∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B， ∵∠B＝∠AOD， ∴∠PAC＝∠AOD， ∵∠ADO＝90°， ∴∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°， ∵OC＝OA，QC＝QA， ∴∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC， ∴∠QCO＝∠OCA+∠QCA＝∠OAC+∠QAC＝∠QAO＝90°， ∵OA、OC都是⊙O的半径，PA⊥OA，CQ⊥OC， ∴直线PA和CQ都是⊙O的切线， 故③正确； 假设CQ∥AO正确，则∠AQC＝180°﹣∠QAO＝90°， ∴∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°， ∴∠AOC＝360﹣∠AQC﹣∠QAO﹣∠QCO＝90°， ∴∠B∠AOC＝45°，显然与已知条件不符， ∴CQ∥AO不正确， 故④错误， 故选：C． 4．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 【详解】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等， 所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34． 故选：B． 5．如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮⊙O的直径为AB，车架AC经过圆心O，地面水平线CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．小明测出车轮的直径AB＝1米，BC＝2米，则AD的长为 　　米 【分析】连接OD，作AE⊥CD延长线于点E，可证△COD∽△CAE，可得AE的长，根据勾股定理可得CD，CE，DE的值，在直角△ADE中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接OD，延长CD，作AE⊥CD延长线于点E， ∵CD与⊙O切与点D， ∴OD⊥CD，且AE⊥CE， ∴AE∥OD， ∴△COD∽△CAE， ∴， ∵AB＝1m是直径， ∴，则，AC＝AB+BC＝1+2＝3， ∴， 在Rt△COD中，， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴在Rt△AED中，， ∴AD的长为， 故答案为：． 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　或或　． 【分析】分三种情况讨论解答：①⊙P与AC边相切，②⊙P与BC边相切，③⊙P与AB边相切，依据题意画出图形，利用切线的性质，过点P分别作各边的垂线段，利用比例式即可求得结论． 【详解】解：①当⊙P与AC边相切时，如图， 过点P作PE⊥AC，则E为切点，PE＝1． ∵BC⊥AC， ∴PE∥CD． ∴． ∵AD， ∴， ∴AP； 此时，点P与点D重合． ②当⊙P与BC边相切时，如图， 过点P作PF⊥BC，则F为切点，PF＝1． ∵BC⊥AC， ∴PF∥CA． ∴． 由①得：AD， ∴PD＝AD﹣APAP． ∴， 解得：AP； ③当⊙P与AB边相切时，如图， 过点P作PG⊥BA于点G，则G为切点，PG＝1． 过点D作DH⊥AB于点H， ∵CD＝1，BD＝3， ∴BC＝4． ∴AB5． ∵∠BHD＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B， ∴△BDH∽△BAC． ∴． ∴． ∴DH． ∵DH⊥AB，PG⊥BA， ∴PG∥DH． ∴． ∴， ∴AP． 综上，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为或或． 故答案为：或或． 7．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD，过点A作CD的垂线交CD于点D，CE平分∠ACB交⊙O于点E． （1）求证：AC平分∠BAD． （2）若，AD＝1，求AE的长． 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠B＝∠OCB，得到∠ACD＝∠B，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，∠ACD＝∠B，等量代换得到∠E＝∠ACD，根据三角函数的定义得到tanE＝tan∠ACD，于是得到结论； 【详解】（1）证明：连接OC，AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝∠BAC+∠B＝90°， ∵过点C作⊙O的切线CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠ACO+∠ACD＝90°， ∴∠BCO＝∠ACD， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠ACD＝∠B， ∵CD⊥ED， ∴∠D＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴AC平分∠BAD； （2）解：由（1）知，∠ACD＝∠B， ∵∠E＝∠B， ∴∠E＝∠ACD， ∵， ∴tanE＝tan∠ACD， ∵AD＝1， ∴CD＝2， ∴AC， ∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB交⊙O于点E， ∴∠ACE＝45°， 过A作AH⊥CE于H， ∴AH＝CHAC， ∴EH＝2AH， ∴AE． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，延长BC至点D，连接AD，E为AB上方圆上一点，连接ED．若，AC＝8，BD＝6． （1）求sin∠DAB的值； （2）若ED＝2，求证：ED为⊙O的切线． 【分析】（1）根据勾股定理求出AD，再根据正弦的定义即可得到结论； （2）连接OE，过O作OH⊥BC于H，证明平行四边形EOHD为矩形，根据矩形的性质得到∠OED＝90°，根据切线的判定定理证明． 【详解】（1）解：∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝4，BD＝6， ∴AD2， ∴sin∠DAB； （2）证明：连接OE，过O作OH⊥BC于H， ∴CH＝BH， ∵CO＝OA， ∴OH是△CAB的中位线， ∴OHAB＝2， 在Rt△CAB中，AC＝8，AB＝4， 由勾股定理得：BC4， ∴CD＝BD﹣BC＝2， ∴DH＝DC+CH＝2+2＝4， ∴OE＝DH， ∵ED＝2， ∴ED＝OH， ∴四边形EOHD为平行四边形， ∵∠OHD＝90°， ∴平行四边形EOHD为矩形， ∴∠OED＝90°， ∴ED为⊙O的切线． 9．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值． 【分析】（1）连接OD，BD，证出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可； （2）由勾股定理，求出EF，证△ODF∽△BEF，求出OD，DE，进而求出BD，利用sinC＝sinA，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，BD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝CB， ∴点D为AC的中点， ∵点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝∠DEC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DF⊥OD， ∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：如上图， ∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3， ∴由勾股定理，得EF， 由（1）知BE∥OD， ∴△ODF∽△BEF， ∴， ∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD， ∴， 解得OB，DE， ∴AB＝3， 在Rt△BDE中， 由勾股定理，得BD， ∵BA＝BC， ∴∠C＝∠A， ∴sinC＝sinA． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$