21.4圆周角（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

21.4圆周角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 三、圆周角定理的推论 1. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3. 推论3：圆内接四边形的对角互补。 四、圆周角与圆心角的区别与联系 1. 区别：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上。 2. 联系：同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，它们都与所对弧的度数有关（圆心角度数等于所对弧的度数，圆周角度数等于所对弧度数的一半）。 五、圆周角的度数与所对弧的关系 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 六、圆内接四边形的性质（与圆周角相关） 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（利用圆内接四边形对角互补推导得出）。 型 习 练 题 圆周角定理 1．如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，正方形的判定和性质．根据作图可知，，再根据圆周角定理可得，可证四边形是正方形，进而得解． 【详解】解：连接，如图， 由题意可知，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形， ， 故选：． 2．如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，、、、四点在直径为的上，，，若在取一点，在取一点，使得，则点落在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧、弦、圆心角的关系求出，再根据圆周角定理得，然后根据，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴所对的圆心角， 可知， ∴点Q落在上． 故选：B． 4．如图，点、、在上，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴． 故选：C． 5．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角的度数是它所对弧上的圆心角度数的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 同弧或等弧所对的圆周角相等 6．如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，是的直径，是的弦，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键．由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得，即可求解． 本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴． 故选：B 9．下列说法中正确的是（   ） A．矩形的对角线相等且互相平分 B．同弦或等弦所对的圆周角相等 C．平分弦的直径一定垂直于弦 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，逐一判断选项的正误． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项正确，符合题意； B、同弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故此选项错误，不符合题意； C、当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故此选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 10．如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到，再根据是直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选：C． 90度的圆周角所对的弦是直径 11．如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 12．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 13．如图，是的直径，点A和点C都在上，若，则的度数是（    ） A．50° B．40° C．70° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，根据即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B 14．如图，内接于，是的直径，，点是弧上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键． 欲求的度数，需先求出同弧所对的的度数；中，已知的度数，即可求得，由此得解． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∴； ∴． 故选：． 15．如图，的直径，弦长为6，的平分线交于点，则的长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角以及勾股定理． 根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出． 【详解】为的直径，． 在中，，，． 故选：A． 已知院内接四边形求角度 16．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 17．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 18．如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 19．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是是解题的关键．由经过圆心O，即是的直径，可得，再根据圆周角定理可得，即可求出的度数． 【详解】解：经过圆心O，即是的直径， ， 又， ． 故选：B． 20．如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（　　） A．2π B． C．或 D．2π或 【答案】D 【分析】当，连接，先证明点C，D，O共线时，再证明是等边三角形，得到，可知，然后根据求弧长公式求解即可；当时，则，可知为直径，再利用弧长公式求解． 【详解】如图所示，当，连接， ∵， ∴，点D为的中点， ∴， ∴点C，D，O共线． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长； 当时，则， ∴为直径， ∴弧的长． 所以弧的长为或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，弧长公式，注意分情况讨论. 21．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键． 先根据圆内接四边形的对角互补以及邻补角的性质，即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B 23．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 根据圆的内接四边形对角互补，得到，根据圆周角定理，得，根据直角三角形性质，得，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，在的内接四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质，掌握圆内接四边形性质是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补，得出答案即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ∵， ， 故选：B． 求四边形外接圆的直径 25．如图，是的直径，C、D是半圆上的两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：A． 26．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 27．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 28．如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【详解】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 29．如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 30．如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接BE，根据勾股定理逆定理可得∠AEB=90°，再由，可得A、D、E、B四点共圆，从而得到∠AED=∠ABD，即可求解． 【详解】解：如图，连接BE， 根据题意得：，AB=2，∠CAB=90°，AC=1， ∴， ∴∠AEB=90°， ∵，即∠ADB=90°， ∴A、D、E、B四点共圆， ∴∠AED=∠ABD， ∵， ∴的正切值是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，求正切值，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $21.4圆周角 (30分提至70分使用) 讲 概 览 圆周角的定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 新课探索 圆周角与圆心角的区别与联系 圆周角的度数与所对弧的关系 圆内接四边形的性质（与圆周角相关） 讲义内容 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等 90度的圆周角所对的弦是直径 题型练习 已知院内接四边形求角度 求四边形外接圆的直径 新 课 探 索 一、圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 三、圆周角定理的推论 1.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等。 2.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 3.推论3：圆内接四边形的对角互补。 四、圆周角与圆心角的区别与联系 1.区别：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上。 2.联系：同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，它们都与所对弧的度数有关（圆心 角度数等于所对弧的度数，圆周角度数等于所对弧度数的一半)。 五、圆周角的度数与所对弧的关系 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 六、圆内接四边形的性质（与圆周角相关） 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（利用圆内接四边形对角互补推导得出）。 题 型 练 习 圆周角定理 1,如图，点A,B,C在O0上，若∠BAC=45°，连接0C,再分别以点B,点C为圆心， OC长为半径作弧，两弧交于OO外一点D,然后连接BD和CD,则LBDC的大小为() 0. A.45° B.60° C.75° D.90° 2.如图，在⊙0中，0A⊥BC,∠A0B=58°，则∠ADC的大小为() B A D A.27° B.29° C.30° D.32° 3.如图，C、E、D、F四点在直径为AB的OO上，AC=BC,CE=ED=DF=FB, 若在Ac取一点P,在BC取一点Q,使得∠APQ=120°，则点Q落在() C E D B A.CE B.ED C.DF D.FB 4.如图，点A、B、C在00上，∠0=68，则∠C=() A.12 B.17 C.34 D.68 5.如图，点A,B,C均在O0上，若∠A0B=50°，则∠ACB的度数是() B A.40° B.35° C.30° D.25° 同弧或等弧所对的圆周角相等 6.如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O.若∠BED=25°，则∠ACD的度数为() d E A.105° B.115 C.125° D.135° 7.如图，AB是O0的直径，CD是O0的弦，∠ACD=40°，则∠BAD为() A.30° B.45° C.50° D.60° 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC,点A是劣弧BE的中点.若 ∠D=92°，则∠AEB的度数是() E 0 B A.40° B.44° C.45° D.46° 9.下列说法中正确的是() A.矩形的对角线相等且互相平分 B.同弦或等弦所对的圆周角相等 C.平分弦的直径一定垂直于弦 D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 90度的圆周角所对的弦是直径 10.如图，在圆0中，AD是直径，∠B=35°，则∠CAD等于() A.35° B.45° C.55° D.65 11.如图，BD是O0的直径，A,C在圆上，∠A=55°，∠DBC的度数是() y D A.55 B.45° C.35° D.25° 12.如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙O的直径，连接AC,若LADC=110°，则 ∠BAC的度数为() 0 A.22 B.21° C.20° D.19° 13.如图，BD是⊙0的直径，点A和点C都在O0上，若LCBD=50°，则∠CAB的度数 是() A A.50° B.40° C.70° D.60 14.如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径，LACB=50°，点D是弧BAC上一点， 则∠D的度数是() A A.40° B.50° C.80° D.20° 15.如图，⊙0的直径AB=10,弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙0于点D,则BC的长 () 0 B D A.8 B.9 C.10 D.12 己知院内接四边形求角度 16.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB 重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°，那 么∠BCD=() E A.65° B.70° C.50° D.45° 17.如图，⊙0是正方形ABCD的外接圆，若BC=4,则0O的半径是() D A B A.22 B.2 c.2 D.2V5 18.如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，其数学依据是() B A.直径所对的圆周角是直角 B.90°的圆周角所对的弦是直径 C.直角三角形的两个锐角互余 D.两角互余的三角形是直角三角形 19.如图，四边形ABCD内接于OO,AC,BD为对角线，BD经过圆心O.若 ∠BAC=44°，则∠DBC的度数为() A.44 B.46° C.48° D.56 20.如图，己知A,B,C为⊙0上的三点，且AC=BC=2,∠ACB=120°.点P从点A出 发，沿着逆时针方向运动到点B,连接CP与弦AB相交于点D,当△ACD为直角三角形时， 弧AP的长为() 0 A.2π C. 21 D.2r或4元 3 求四边形外接圆的直径 21.如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，∠ABC=125°，则∠A0C的度数是() D B A.100° B.110 C.120° D.125 22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ADC=70°，则∠CBE的度数为() 0 A B E A.50° B.70° C.90° D.110° 23.如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆0上，若∠BDC=125°，则∠ABC的度数 为() B A.25° B.30° C.35° D.45° 24.如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠B=62°，则∠D的度数为() 0 B A.108° B.118 C.128° D.112° 25.如图，AB是O0的直径，C、D是半圆上的两点，若∠CAB=20°，则LADC=() D A.110° B.120° C.130° D.140 26.如图，圆O是矩形ABCD的外接圆，若AB=√5，BC=1,则图中阴影部分的面积是() A D d B C A.4π-V5 B.π-V5 C.3 D.+6 27.如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC是直径，连接AC、若∠ADC=150°，点O到AC 的距离为2√5，则⊙0的半径长为() D B A.2 B.6 C.4 D.8 28.如图，ABC内接于⊙0，∠ABC=120°，AC=4√5，则⊙0的半径为() A.4 B.4V5 C.25 D.5 29.如图，四边形ABCD内接于O0,∠BAD=45°，BC=√2，CD=2,则O0的半径为() y .0 B D A.√5 B.√o C.25 D.210 30.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC,点 D在BC上且满足AD⊥BC,则∠AED的正切值是() A…B A.2 B.2 C. D. 5