21.2过三点的圆（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

21.2过三点的圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 外接圆的定义 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点，外接圆的半径叫做三角形的外接圆半径，简称外接半径。 三角形外接圆的性质 1. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且都等于外接圆的半径。 2. 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三角形外部。 3. 三角形有且只有一个外接圆，即不在同一直线上的三个点确定一个圆。 三角形外接圆半径的计算公式 在任意△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为外接圆半径，则有正弦定理：，由此可推导出外接圆半径公式：。若已知三角形的面积S和三边长度，还可通过公式计算外接圆半径。 型 习 练 题 求能确定的圆的个数 1．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 2．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 3．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 4．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 5．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，    ②当三点在一直线上时，如图2    分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即， ③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，    分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时， 即n不能是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键． 三角形外接圆的概念解析 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，从而得出，，计算即可得解，熟练掌握三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且外接圆的圆心坐标为， ∴，， ∴，， 故选：C． 7．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 8．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的外心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．根据三角形的外心的概念作出回答，结合选项得出结果． 【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心． 故选：B． 9．三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 10．如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可． 【详解】解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键． 求特殊三角形外接圆的半径 11．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 12．三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴此三角形的外接圆半径是5． 故选：C 13．如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为． 【详解】解：作的外接圆，作直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：D． 14．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 15．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是(　　) A．8 B．10 C．5或4 D．10或8 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，勾股定理，重点在于理解直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边长是圆的直径． 根据题意分两种情况求解即可． 【详解】分为两种情况： ①当8是直角边时，斜边是， ∴这个直角三角形外接圆的直径是10； ②当8是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是8． 故选：D． 判断三角形外接圆的圆心位置 16．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 17．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键． 先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解． 【详解】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 18．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 19．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答． 【详解】解：如图，由勾股定理得：，    ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念． 20．已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（　　） A．三条中线交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点 【答案】C 【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得. 【详解】已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2过三点的圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 外接圆的定义 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点，外接圆的半径叫做三角形的外接圆半径，简称外接半径。 三角形外接圆的性质 1. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且都等于外接圆的半径。 2. 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三角形外部。 3. 三角形有且只有一个外接圆，即不在同一直线上的三个点确定一个圆。 三角形外接圆半径的计算公式 在任意△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为外接圆半径，则有正弦定理：，由此可推导出外接圆半径公式：。若已知三角形的面积S和三边长度，还可通过公式计算外接圆半径。 型 习 练 题 求能确定的圆的个数 1．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 3．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 5．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三角形外接圆的概念解析 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 8．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 9．三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 10．如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 求特殊三角形外接圆的半径 11．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 12．三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 14．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 15．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是(　　) A．8 B．10 C．5或4 D．10或8 判断三角形外接圆的圆心位置 16．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 18．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 19．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 20．已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（　　） A．三条中线交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点 学科网（北京）股份有限公司 $