21.2 过三点的圆 教学设计 2023-2024学年京改版数学九年级上册

课程基本信息 课题 过三点的圆 教学目标 教学目标：1.通过问题解决过程，了解三角形的外接圆、外心的相关概念，明确作圆的关键，掌握三角形外接圆的画法.了解利用反证法来证明的基本思路和一般步骤. 2. 经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.培养转化、分类讨论的意识. 3.在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步提升能力和动手能力， 增强数学应用意识、创新意识和永无止境的科学探索精神，提高学习数学的兴趣． 教学重点：掌握过三点的圆，三角形外接圆和外心的定义. 教学难点：如何确定一个圆的思维过程以及反证法. 教学过程 2min 问 题 情境 ， 揭 示 课 题 1、 问题情境. 1.考古学家在古墓挖掘时，发现一圆形瓷器残片，考古学家想画出这个残片所在的整圆，以便于进行深入研究，你能帮助考古学家画出这个残片所在的整圆吗？ 师启发： 从圆形瓷器残片中可以得到圆的什么？ 生 ：可以得到圆的一段弧． 师 ：要画出这个残片所在的整圆，还需要知道原来圆的什么条件？ 生 ：半径． 师 ：那么由残片中得到原来圆盘的一段弧，能不能确定这个圆弧的半径的大小呢？ 生 ：不能，还需要知道圆弧的圆心． 师 ：知道了圆的一段弧，只要找到弧的圆心，弧的半径也就确定了．因而这个问题的关键是怎样由已知弧去确定弧的圆心的问题，现请大家思考以下两个问题： （1）弧上的点具有什么特性？ （2）由圆弧上的一个点能否把圆心确定下来呢？两个点呢？三个点呢？ 过几个点可以确定一个圆呢？今天这节课就来研究这个问题. 18min 2min 1min 探 究 过 已 知 点 作 圆 的 问 题 圆的存在性及作法 证明定理 理 解 三 角 形 外 接 圆 、外 心 的 应用定理解决问题 课堂小结 分层作业 2、 探究交流，得出新知. （一）、思考操作，回答问题. 1.想一想： （1）圆是怎样定义的？圆有几个要素？要素的作用是什么？ 由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是（圆心），另一个是圆的（半径）. 圆心是用来决定圆的(位置），半径是用来决定圆的（大小）. 2.画一画: （1）经过已知点A作圆，可以作多少个？怎么作？（让学生动手去完成.） 过一点的圆: 学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪里(圆心不定)？半径多大(半径不定)？可以作几个这样的圆(无数个)？ 经过已知点A作圆，这样的圆有无数多个.圆心的位置是平面内除去A点外的其它任意点. （2）经过已知点A、B作圆，可以作多少个？圆心的位置在哪里？（学生动手去完成.） 过两点的圆： 学生继续讨论并发现：它们的圆心到A、B两点的距离相等，能用式子表示为(OA=OB)，圆心在哪里(在线段AB的垂直平分线上)，过点A、B两点的圆有无数个. （3）经过同一平面内A、B、C三点，能不能作圆？如果能，在什么条件下能作？可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由. （学生先独立思考然后小组合作去完成）. 学生思考的问题： 过三点的圆： ①A、B、C三点有怎样的位置关系？ ②如果过三个点，圆心与这三个点有什么关系？ ③经过A、B两点的圆的圆心有什么特征？经过B、C两点的圆的圆心有什么特征？ 学生动手画画，发现过三点的圆分两种情况研究： 求作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C. 已知：不在一条直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C. ①经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否存在？（存在） ② 是否还有其他符合条件的圆？（没有） ③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点.） 学生讨论并发现：这样一共可作几个圆（一个）？圆心在哪里(线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点)？到A、B、C三点的距离怎样？（OA=OB=OC） 这说明所作的圆圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的. 小结具体作法： 1.连结AB、BC. 2.作AB的中垂线. 3.作BC的中垂线，两垂线相交于点O. 4.以O为圆心OB长为半径作圆. 则 就是所求作的图形. 过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？ （线段AB、AC、BC的垂直平分线无交点，不能作出圆） 发现结论、得出定理：不在一直线上的三个点确定一个圆. 强调：①“确定”一词应理解成“有且只有”. ②不在一直线上的三个确定一个圆. 过同一直线上三点不能作圆.上面是通过作图得出的结论，下面，用另外一种方法来说明这个问题. （二）反证法证明结论. 1.求证：过同一直线上三点不能作圆. 证明：如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆. 设这个圆的圆心为点P