18.2分式的乘法与除法 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.2分式的乘法与除法 教学设计 一、教学目标 1. 理解分式乘法与除法的运算法则，能类比分数乘除法推导分式乘除法法则。2.熟练掌握分式乘法与除法的运算步骤，能准确进行分式乘除运算，并将结果化为最简分式。3.提升代数运算能力与逻辑推理能力，体会“类比转化”“化繁为简”的数学思想。 二、教学重难点 （一）教学重点 1. 分式乘法与除法法则的理解与表述：明确“分子乘分子、分母乘分母”“除以一个分式等于乘它的倒数”的核心内容。2.分式乘除法的运算步骤：先因式分解，再约分，最后相乘，确保结果为最简分式。3.含多项式的分式乘除法运算：掌握分子分母多项式的因式分解方法，准确提取公因式。 （二）教学难点 1. 分式除法向乘法的转化：易忽略“除以一个分式等于乘它的倒数”这一关键步骤，直接进行分子分母相除。2.复杂多项式的因式分解：当分子分母为二次三项式、平方差或完全平方式时，因式分解不彻底，导致约分错误。3.运算过程中的符号处理：分式前有负号或分子分母含负号时，易出现符号混淆问题。4.混合运算的顺序把握：分式乘除法与整式运算结合时，易违背“先乘除后加减”的运算顺序。 三、教学环节 1. 情境导入：类比旧知，引发思考 1.1旧知回顾：教师提问：“我们学过分数的乘法与除法，谁能说出分数乘除法的法则？”引导学生回答： （1）分数乘法：（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）； （2）分数除法：（除以一个数等于乘它的倒数，再按乘法法则计算）。 举例计算：；，强调“先约分再相乘更简便”。 1.2情境设问：展示问题：“若将分数换成分式，如（）、（），类比分数乘除法法则，你认为分式的乘法与除法应该遵循怎样的法则？” 1.3师生互动：组织学生小组讨论5分钟，结合分数法则的结构，尝试推导分式乘除法法则。教师巡视指导，提醒学生注意分式有意义的条件（分母不为零）。小组代表发言后，教师补充完善，引出本节课核心内容——分式的乘法与除法。 1. 新知探究：法则构建，深化理解 2.1分式的乘法法则 2.1.1法则推导：结合学生的讨论结果，教师明确分式乘法法则——两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。用式子表示为：（其中A、B、C、D是整式，且B≠0，D≠0）。 2.1.2法则解读：①法则本质：与分数乘法法则一致，体现“类比迁移”思想；②有意义条件：除B≠0、D≠0外，最终结果的分母不能为零，运算过程中需注意约分前后的分母限制；③运算关键：先对分子分母进行因式分解，再约分，最后相乘，可简化运算。 2.1.3例题示范：例1计算： 解析：步骤1：判断有意义条件：3y≠0，4x²≠0→x≠0，y≠0；步骤2：因式分解（本题分子分母为单项式，无需分解）；步骤3：约分：2x与4x²约去2x，9y²与3y约去3y；步骤4：相乘：。 教师强调：“约分是分式乘法的核心步骤，能避免后续计算的繁琐，约分后分子分母需无公因式。” 2.1.4进阶例题：例2计算： 解析：步骤1：因式分解：，；步骤2：写出乘法式子：；步骤3：约分：(x+2)与约去(x+2)，(x-2)约去，剩余；步骤4：确定取值范围：x≠-2且x≠2。 2.1.5学生练习：计算①；②。教师巡视，重点指导因式分解和约分环节，纠正“漏约公因式”“符号错误”等问题。 2.2分式的除法法则 2.2.1法则推导：类比分数除法“除以一个数等于乘它的倒数”，教师给出分式除法法则——两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：（其中A、B、C、D是整式，且B≠0，C≠0，D≠0）。 2.2.2法则解读：①核心转化：将除法转化为乘法，关键是“颠倒除式的分子分母”；②有意义条件：除B≠0、D≠0外，新增C≠0（因为除式的分母变为分子，需满足C≠0）；③运算步骤：先转化为乘法，再按乘法法则计算（因式分解→约分→相乘）。 2.2.3例题示范：例3计算： 解析：步骤1：转化为乘法：；步骤2：约分：3x²y与9xy²约去3xy，16z²与4z约去4z；步骤3：相乘：；步骤4：取值范围：x≠0，y≠0，z≠0。 2.2.4进阶例题：例4计算： 解析：步骤1：因式分解：，；步骤2：转化为乘法：；步骤3：约分：(x+3)约去，(x-3)与约去(x-3)，剩余1；步骤4：取值范围：x≠3且x≠-3。 2.2.5学生练习：计算①；②。教师针对“未颠倒除式分子分母”“因式分解错误”等问题进行集中点评。 2.3符号处理技巧 教师提出问题：“当分式前有负号或分子分母含负号时，如何处理？”结合例题讲解： 例5计算：； 解析：①负号相乘得正，再按乘法法则计算：；②除以一个负分式，颠倒后负号在分子，即，负号相乘得正，计算得。 总结符号法则：分式乘除法中，负号的个数为偶数时结果为正，奇数时结果为负，可先确定符号，再计算绝对值。 1. 重点知识归纳概括 3.1核心法则 （1）分式乘法：（B≠0，D≠0），核心是“分子乘分子，分母乘分母”。 （2）分式除法：（B≠0，C≠0，D≠0），核心是“转化为乘法，颠倒除式分子分母”。 3.2运算步骤（通用） 1. 定符号：根据负号个数确定结果的符号（偶正奇负）； 1. 因式分解：将分子、分母中的多项式分解为最简因式（平方差、完全平方、提公因式等）； 1. 约分化简：约去分子分母的公因式（系数最大公约数、相同字母最低次幂、共同多项式因式）； 1. 相乘计算：将剩余分子、分母分别相乘，得到最简分式； 1. 写条件：注明使分式有意义的字母取值范围。 3.3关键提醒 （1）因式分解是前提：分子分母为多项式时，必须先因式分解，否则无法彻底约分； （2）约分要彻底：确保最终结果是最简分式（分子分母无公因式）； （3）符号别忽略：分式前的负号与分子分母的负号需统一处理，遵循“偶正奇负”原则； （4）条件要明确：运算前需确定字母的取值范围，避免分式无意义。 3.4常见易错点 （1）除法未转化：直接将分子除以分子、分母除以分母，如，错误； （2）因式分解错误：如分解为，分解为； （3）约分不彻底：如约分为是正确的，若约分为后停止，无需再约；若约分为，未约去(x+1)，错误； （4）符号混淆：如误算为，忽略负号。 1. 综合例题讲解：突破难点，强化应用 例6计算： 解析：步骤1：将除法转化为乘法：；步骤2：因式分解：、；步骤3：约分：与(x-1)约去(x-1)，(x+1)约去一个；步骤4：计算：；步骤5：取值范围：x≠±1，x≠0。 例7先化简，再求值：，其中a=3。 解析：化简过程：；代入a=3，得。强调：化简后再代入求值，可简化计算，避免直接代入的繁琐。 例8计算： 解析：将整式看作，再按除法法则计算：，取值范围：x≠-2且x≠1。 1. 课堂练习：分层巩固，即时反馈 （1）计算的结果是（） A.B.C.D. （2）计算的结果是_________。 （3）计算：_________。 （4）计算：。 （5）计算：。 （6）先化简，再求值：，其中m=1。 （7）计算：。 （8） 计算：。 6.练习答案与解析 （1）答案：A解析：约分后，B是未约分的形式，C符号错误，D是原式，故选A。 （2）答案：1解析：因式分解为，约分后得1，x≠±1。 （3）答案：解析：负号相乘得正，约分后。 （4）解析：因式分解：，，原式=，x≠±2且x≠3。 （5）解析：因式分解：，，转化为乘法：，x≠2且x≠3。 （6）解析：化简：；代入m=1，得。 （7）解析：整式化为分式，转化为乘法：，x≠0且x≠y。 （8）解析：因式分解：，，转化为乘法：，a≠±b。 四、教学总结 知识层面：本节课核心是分式乘法与除法法则，其本质是分数乘除法法则的拓展，关键在于“乘法直接乘，除法转乘法”。运算过程中需遵循“定符号—因式分解—约分—相乘”的步骤，确保结果为最简分式。 方法层面：学习中运用了“类比迁移”思想，从分数运算推导分式运算；“化繁为简”思想，通过因式分解和约分简化运算；“转化思想”，将除法转化为乘法，降低运算难度。 能力层面：通过本节课的学习，提升了分式运算能力、因式分解能力和符号处理能力，为后续分式加减法、分式方程的学习奠定基础。 五、教学反思 本节课通过分数类比引入分式乘除法法则，符合学生认知规律，多数学生能掌握基本运算步骤。但在实际教学中发现，部分学生存在“因式分解不熟练”“约分不彻底”“符号处理混乱”等问题，尤其是面对含二次三项式的分式时，因式分解错误率较高。 后续改进方向：1.课前复习多项式因式分解的常用方法（平方差、完全平方、十字相乘法），强化分式运算的基础；2.增加“分步运算”例题，明确每一步的目标（如第一步只定符号，第二步只因式分解）；3.设计“易错点辨析”专项练习，集中纠正符号、约分等问题；4.针对学困生进行一对一辅导，重点指导因式分解和法则应用，确保全体学生掌握核心内容。 2 学科网（北京）股份有限公司 $