4.3.1 等比数列的概念（八大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列的定义 1．已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的定义证明数列为等比数列，再由通项公式求解. 【详解】由题知， 故 ， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 2．若等比数列的前20项积为，则 ． 【答案】230 【分析】根据等差数列求和公式求得，再根据对数运算计算即可. 【详解】， 则． 故答案为：. 3．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；或或或或或 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出数列的通项公式，再利用等比数列化简得出，结合均为正整数的条件即可求出所有值. 【详解】（1）由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． （2）由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 题型二 确定等比中项 4．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 5．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 6．在单调递增的等差数列中，成等比数列，前5项之和等于20． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的n的最大值． 【答案】(1)； (2)48 【分析】（1）设单调递增的等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式与求和公式得到首项和公差的方程，解方程即可得到通项公式； （2）求得，运用裂项相消求和，可得前n项和为，再解不等式，可得n的最大值． 【详解】（1）设单调递增的等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即， 化简得，又，可得①. 又前5项之和等于20， 即有，即②， 由①②可得. 所以数列{an}的通项公式为. 故. （2）由（1）得. 数列的前n项和为 ，即. 使成立，所以，即，解得． 使成立的n的最大值为48． 题型三 等比中项的应用 7．已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 8．已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则 . 【答案】16 【分析】由是公差不为0的等差数列，根据等差数列的通项公式将用和表示，由成等比数列，根据等比数列得到，代入，得到和的等式，将代入计算出，将用和表示，代入和得解. 【详解】是公差不为0的等差数列， ， 成等比数列， ， ， ， ， 或， ，，. 故答案为：16. 9．已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）分别令，，，由数列的递推式可得所求值； （2）对已知数列的递推式的两边同时加上3，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （3）由等差数列的通项公式和等差数列与等比数列的中项性质，结合在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列，推得矛盾，可得结论. 【详解】（1）由，， 可得，，； （2）由，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 即； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， 在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列， 可得，即， 由，可得， 则， 则，为方程的两根，可得， 这与、、互异矛盾， 则在数列中不存在不同的三项、、成等比数列. 题型四 写成等比数列的通项公式 10．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对等式进行化简，确定数列为等比数列，进而求出. 【详解】因为，等式两边除以得 ，变形得， 所以. 所以数列为等比数列，首项，公比为. 所以，所以. 所以. 故选：A. 11．在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 12．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，，数列前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列定义可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求得； （2）由（1）可求得，采用裂项相消法可求得，结合可证得结论. 【详解】（1）当且时，，； 当时，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，. （2）由（1）得：， ， ， ，，. 题型五 由定义判定等比数列 13．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （    ） A．162 B．54 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用，结合等比数列定义求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为3的等比数列，. 故选：B 14．已知正项数列满足，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据对数的运算得到，从而得到，则是公比的等比数列，即可求出，从而得解. 【详解】因为正项数列满足，所以， 则，所以是公比的等比数列. 又，所以， 所以，则. 故答案为：1. 15．（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由，分和这两种情况讨论求解，当时，由结合等比数列的定义求解； （2）由整理得到，，构造新数列得到. 【详解】（1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，则，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． （2）由，得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即. 题型六 等比数列通项公式的基本量公式 16．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 17．已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 【答案】9 【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，， 所以即，. 所以. 故答案为：9 18．已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到； （2）根据是单调递增数列，通过列举可求解. 【详解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）由（1）得, 令， ，∴单调递增. 所以为单调递增数列 由得 故满足的取值集合为. 题型七 由递推关系证明等比数列 10．已知数列中，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推关系可得，可得数列是等比数列，求出通项公式得解. 【详解】由，得，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， ，得， . 故选：B. 20．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过x的最大整数，则 ． 【答案】625 【分析】通过变形递推公式可知为等差数列，求出数列的通项公式，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案. 【详解】因为，所以， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，则， 因为数列的各项均为正数，所以，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，且， 则. 故答案为：625 21．记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 【详解】（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 题型八 验证是否为等比数列中的项 22．若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（    ） A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 【答案】D 【分析】根据给定的数列前几项的特征，求出通项公式即可求解作答. 【详解】数列为，1，，，，…，记此数列为，则它是首项为，公比为的等比数列， 于是得数列通项为：，由得：， 所以是这个数列的第339项. 故选：D 23．设是由实数构成的等比数列，若，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由等比中项的定义并结合等比数列通项公式即可求得答案. 【详解】因为，所以或，记该等比数列公比为q，又因为，所以，所以． 故答案为：4. 24．设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析； (3)是无理数. 【分析】（1）既是等差数列又是等比数列的数列是非0常数列，由此可得； （2）用反证法证明其中任意三项都不可能成等比数列； （3）在（2）的提示下， 是无理数是其充分条件，利用反证法得是无理数时，假设其为等比数列不成立． 【详解】（1）既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列， 如，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列； （2）若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列， 下证的任意三项不能构成等比数列， 假设，其中且， 因为公差，所以， 从而， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等， 所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列， 从而的任意子列不是等比数列； （3）若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列， 设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件． 假设，其中且， 因为， 所以， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，有理数， 所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列， 故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． 【点睛】方法点睛：在证明数列无穷等差数列的任意子列不可能是等比数列时，考虑其中任意三项（成等比数列的数列的最小项数）不能成等比数列，由于题中条件较少，因此用反证法，可以把等比数列作为一个条件进行推导，根据是有理数与无理数不可能相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列的定义 1．已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 2．若等比数列的前20项积为，则 ． 3．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 题型二 确定等比中项 4．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 6．在单调递增的等差数列中，成等比数列，前5项之和等于20． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的n的最大值． 题型三 等比中项的应用 7．已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 8．已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则 . 9．已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 题型四 写成等比数列的通项公式 10．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 11．在数列中，，，则 . 12．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，，数列前项和为，求证：. 题型五 由定义判定等比数列 13．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （    ） A．162 B．54 C．32 D．16 14．已知正项数列满足，且，则的值是 ． 15．（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 题型六 等比数列通项公式的基本量公式 16．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 17．已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 18．已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 题型七 由递推关系证明等比数列 10．已知数列中，且满足，则（   ） A． B． C． D． 20．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过x的最大整数，则 ． 21．记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型八 验证是否为等比数列中的项 22．若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（    ） A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 23．设是由实数构成的等比数列，若，，则的值为 ． 24．设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $