精品解析：广州市第九十七中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形中不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 2. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：选项 A的图形中，线段是的高，其他图形均不符合高的定义， 故选：A． 4. 在中，已知的三个内角之比为，则这个三角形的形状为（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形的分类的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 利用三角形内角和为，根据角之比设未知数，求出各角度数，从而判断三角形形状，然后即可求解． 【详解】解：∵的三个内角之比为， 设三个角分别为、、， ∴， 即， ∴， ∴三个角分别为、、， ∴是直角三角形， 故选：C． 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 6. 如图，点O是的重心，若的面积为16，那么阴影部分的面积之和为（    ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质．延长到H，是，连接，，则，证明四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，由此得，设，则，同理，则，再根据得，则，阴影部分的面积之和为3a，由此得，则，由此即可得出答案． 【详解】解：延长到H，是，连接，如图所示： ， 点O是的重心， ，是的中线， ， 在四边形中，， 四边形是平行四边形， ， 即， 又， 是的中位线， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 设，则， 同理：， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，阴影部分的面积之和为， 又的面积为16， ， ， 阴影部分的面积之和为． 故选：C． 7. 如图，线段的垂直平分线交于点D，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握其相关知识点的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质求出，由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8. 如图，已知，点C，D分别在上，．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在上，以E为圆心，为半径画弧，交射线于点 F，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图及等腰三角形的判定与性质，根据作图可知，再根据即可求出结论． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 10. 如图，是的中线，点在上，交于点，若，，，则的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，使，连接，证明，则，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理和全等三角形的对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，边b、c的夹角为， 图中两个全等三角形， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，分别在上，连接，若，则______  【答案】 【解析】 【分析】本题考查余角，根据直角三角形两锐角互余即可解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，若，则______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据，进而得出，利用三角形内角和得出，利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______  ． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由折叠性质可知，，根据三角形外角性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知， ， ∴． 故答案为：． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 16. 如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为______  ． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】本题考查折叠问题以及三角形的面积，由折叠性质可得①，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得②，①-②得，，然后由三角形的和差倍分可得答案． 【详解】解：由折叠可知≌， ， ， ①， 过作于，交的延长线于， ， ， ， ， ②， 得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，，，垂足分别是C、D，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）点的坐标为． 19. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，据此计算可得结论． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 20. 如图，于E，于F，若， （1）求证：AD平分； （2）已知，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求出，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， ， ， ， 的面积． 21. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，在中，，为线段上一点（不与，重合），点为射线上一点，，设，． （1）若，，求与的值． （2）请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）  或， 理由：当在线段上时， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴； 如图，当在线段延长线上时， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据角的和与差求的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为，，利用外角的性质即可求解； （）分为当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况，利用三角形的内角和，等腰三角形性质，三角形的外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于． （1）尺规作图，在上求点M，使得；保留作图痕迹，不写作法 （2）证明：； （3）在的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 【答案】（1） 如图，点M即为所求； （2） 证明：平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （3） 连接，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∵， ， ， 又，， ， ， 又三点共线， ， ， 即点M、G，C三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据题意，要使，即保证，再利用尺规作图即可； （2）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，证明，得出，证明，得出，即可得出，根据等角对等边，即可得出答案； （3）连接，证明，得出，证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟悉相关知识的运用是解题的关键． 24. 已知，点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点分别是，连接 ①若，证明是等边三角形； ②如图2，若，请根据已知补全图形，并判断与的数量关系，请说明理由； （2）如图3，若，分别是射线上的点，于点，点分别为上的两个定点，且，，在上有一动点，连接，请求出当点在什么位置时，的值最小． 【答案】（1） 解：是等边三角形， 点关于对称的点为G， ， 同理， ， ， ， 是等边三角形， ②补全图形如下： 当时，， 由折叠的性质可知， ，， ，， 、O、H在同一直线上 ； （2）过Q作的对称点，连接与交点即为点E，此时的最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）①由轴对称的性质可得，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形； ②由①知，因此时，，即G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【小问1详解】 略 ②略 【小问2详解】 过Q作的对称点，连接，交于点E，连接， 则的最小值为， ， ， ， ， ， ， 点Q与关于对称， ， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 25. 【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】初步探索：； 探索延伸：仍然成立，证明：如图2，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴； 故结论仍然成立． 结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 初步探索：根据全等三角形的判定可得，推得，，根据，，推得，根据全等三角形的判定可得，推得，即可推得； 探索延伸：延长到，使，连接，证明，和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可； 问题发现：延长到H，使，利用邻补角可得，利用可证明，可得，，根据角的和差关系可得，根据可得，利用可证明，可得，根据周角的定义即可得答案． 【详解】解：初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1： 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故线段、、之间的数量关系为：． 故答案为：． 探索延伸：略 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形中不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知的三个内角之比为，则这个三角形的形状为（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O是的重心，若的面积为16，那么阴影部分的面积之和为（    ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 7. 如图，线段的垂直平分线交于点D，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，点C，D分别在上，．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在上，以E为圆心，为半径画弧，交射线于点 F，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，点在上，交于点，若，，，则的长度为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则______ ． 12. 如图，在中，，，分别在上，连接，若，则______  13. 如图，在中，，，若，则______  ． 14. 如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______  ． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 16. 如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为______  ． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，，，垂足分别是C、D，．求证：． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 19. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，，，求的大小． 20. 如图，于E，于F，若， （1）求证：AD平分； （2）已知，，，求的面积． 21. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 22. 如图，在中，，为线段上一点（不与，重合），点为射线上一点，，设，． （1）若，，求与的值． （2）请判断与的数量关系，并说明理由． 23. 如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于． （1）尺规作图，在上求点M，使得；保留作图痕迹，不写作法 （2）证明：； （3）在的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 24. 已知，点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点分别是，连接 ①若，证明是等边三角形； ②如图2，若，请根据已知补全图形，并判断与的数量关系，请说明理由； （2）如图3，若，分别是射线上的点，于点，点分别为上的两个定点，且，，在上有一动点，连接，请求出当点在什么位置时，的值最小． 25. 【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $