3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 罗定中学城东学校 郑礼娟 教材分析 教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章圆锥曲线第一节第一小节，本节课主要学习椭圆的定义及其标准方程。 从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。 内容分析 本节内容属于概念性知识。课标中指出，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。教学关键是概念，只有理解了概念，才能理解数学，所以教学中应重视其生成过程。 学生分析 学生已经在2019人教A版选择性必修一第二章学习了直线与圆的内容之后，积累了用坐标法处理几何问题的经验，具备了一定的解决平面几何问题的代数能力，基本掌握了数形结合的思想与化归与转化思想。 但是学生在运用解析的观点来研究几何问题的意识不强，能力有所欠缺，这对于椭圆的定义抽象概括会有一定影响．所以，就需要思考如何合理设计，以抓住教学重点，突破教学难点。能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所形成的夹角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线、抛物线. 初步认识本章的学习内容、学习方法和学习价值. 教 学 目 标 能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养. 能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程，并能用它解决简单的问题. 从中体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养. 教学重点 椭圆的定义及椭圆的标准方程 教学难点 椭圆标准方程的推导 教法和学法 运用课件和动画直观展示，问题引导法 教学设计 教学内容 设计意图 引入新知 【观看视频】 观察圆，椭圆，双曲线，抛物线是如何产生的？ 【椭圆的画法与定义】 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆。 【问题】如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线？ 师生活动：教师进行画板实物展示，再利用视频画板演示。 思考：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 学生回答：把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和不变。 再利用几何工具，改变参数从而通过参数之间的变化，来感受图形的变化。 激发学生的学习兴趣. 形成概念 （1）当|PF1|+|PF2|＞|F1F2|时（绳长大于两定点间距离） 点P的轨迹为椭圆 （2）当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时（绳长等于两定点间距离） 点P的轨迹为线段F1F2 （3）当|PF1|+|PF2|＜|F1F2|时（绳长小于两定点间距离） 点P无轨迹 1.在动手作图过程中，培养学生的观察、辨析、归纳能力. 2.学生通过实际操作，感知椭圆的生成过程. 形成概念 挖掘概念 1.给出定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 1 这两个定点叫做椭圆的焦点； 2 两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2.解决问题：判断动点的轨迹是否为椭圆. （1） 到点，的距离之和为10的点的轨迹； （2） 到点，的距离之和为2的点的轨迹； （3） 到点，的距离之和为1的点的轨迹； 定义中的关键词： 1、 平面内 2、 两个定点 3、 常数 4、常数大于焦距 在概念的理解上，突出“和”，在此基础上，再细化“常数”的范围. 推导方程 1、 回顾求曲线方程的步骤： ①建系 ②设点 ③列式 ④代换 ⑤化简 思考4：如何建立平面直角坐标系，可使椭圆的方程更简单？ 以的中点为坐标原点，以所在直线为x轴，以线段的中垂线为轴，建立直角坐标系. 化简: 思考：怎样化简可以简化运算？ 接着两边平方化简得 * 从简化、美化的角度出发希望继续优化方程，如果令，*式变形为；观察这一方程的特点，如何对这一等式进一步变形？ 通过同除得到． 以上方程的变形是同解变形，方程与所给椭圆是等价的，称为椭圆的标准方程．方程所蕴含了简洁美、对称性、和谐美，“数”与“形”内在的一致性． 2、 活动过程：请学生按照设点、列式、化简的步骤推导方程. （巡视过程中及时发现问题，及时点拨针对含有两个根式方程的化简能力薄弱的同学，多媒体展示学生化简结果，重点强调对含有两个根式方程的化简）; 3、 得出椭圆的标准方程. 思考5：请同学在图中找到表示的线段. 4、 讨论当焦点在轴上的椭圆的标准方程，请同学给出结论； 5、 对椭圆方程 如何判断焦点位置？（学生讨论回答） “谁大在谁家” 让学生感受数学的简洁及对称美，理解a,b,c 的几何表示. 培养学生严谨的数学态度. 应用新知 例1 已知椭圆的两个焦点为，，并且经过点，求椭圆的标准方程. （学生板演，讨论除自己所用方法之外的另外的方法） 预备练习题：1.椭圆的两个焦点分别为，，并且过点，求它的标准方程. 2. 变式 椭圆的焦点在坐标轴上，且过点， 求该椭圆的标准方程。 课后练习题. 1，2 利用椭圆的定义求解椭圆的标准方程. 掌握求椭圆标准方程的两种方法： （1） 定义法； （2） 待定系数法. 课堂小结 学生总结，教师补充. 让学生回顾本节课所学内容，提高学生的归纳总结能力. 作业布置 1、 课本109页 练习题 115页 习题1.3 A组 1、2 2、 思考方程能表示我们所学过的哪些曲线？ 3、 请同学们有时间查找关于椭圆的故事资料，讲给同学们听. 分层布置作业，巩固所学内容. 板书设计 椭圆及其标准方程 1、 椭圆的定义 例1 课堂小结 2、 定义中的关键词 3、参数范围变化 课后反思 数学概念课的设计要将教学内容与具体的情境结合起来，借助精心设计的问题，引发学生的认知冲突，注重学生在学习过程当中的动机生成，情感的激发，问题的解决，知识的建构，方法的迁移和思维的提升。本堂课从观看视频圆锥曲线的产生开始，再让学生实践操作画出椭圆，最后引入方程的推导，化简,符合学生认知能力的发展顺序。 学科网（北京）股份有限公司 $