3.1.1椭圆及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 罗定中学城东学校 郑礼娟 空白演示 单击输入您的封面副标题 1.体会椭圆的形成过程，分析实验过程，抽象出椭圆的几何特征， 能准确说出椭圆的定义，发展数学抽象素养 2.掌握椭圆的定义,并能用它解决简单的问题 3.理解椭圆标准方程的推导过程,会用定义法和待定系数法求 椭圆的标准方程 学习目标 教学重点 教学难点 椭圆的定义及椭圆的标准方程 椭圆标准方程的推导 目录 01.圆锥曲线的生成 动手实验生成概念 02.动手实验生成概念 坐标法构建方程 03.坐标法构建方程 04.椭圆方程求法一点通 05.题型战场演练 06.总结 一、预学 圆锥曲线的生成 数学探究     问题:当改变平面与圆锥的轴的相对位置时，截口曲线是什么？ 1.圆锥曲线：通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 3.研究思路： 曲线的定义 曲线的方程 曲线的性质 曲线的实际应用 现实背景 2.研究方法：坐标法 二、导学 问题1:圆的定义是什么? 答:平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 问题2:如果把圆的定义中的一个定点变成两个定点，定长改为动点到两定点的距离和为定长，那么会形成什么样的图形呢？ 圆 二、导学 探究[（1）取一条细绳，把它的两端固定在板上的两点，； （2）用笔尖（M）把细绳拉紧，并保持细绳的拉紧状态，笔尖在板上慢慢移动，观察所画出的图形。画出的轨迹是什么曲线？ 二、导学         问题2 为什么要求|MF1|+|MF2|>|F1F2|? ① 当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时 （绳长等于两定点间距离） F1 F2 M 点M的轨迹为线段F1F2 ② 当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时 （绳长小于两定点间距离） F1 F2 点M无轨迹 二、导学 × 1、平面内到两个定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于10的动点的轨迹为____________。 2、平面内到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离之和等于2的动点的轨迹为____________。 2、平面内到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离之和等于1的动点的轨迹为____________。 口答 椭圆的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 M • • |MF1|+|MF2|=2a 记焦距为2c，椭圆上的点M与F1, F2的距离的和记为2a。 >|F1F2|=2c (2a>2c>0) 二、导学 问题3 回忆一下我们是如何求曲线轨迹方程的？ 建系 设点 列式 代换 建立适当的平面直角坐标系 设曲线上任意一点M的坐标为(x, y) 找出限制条件P(M)，并列出几何等式 把坐标代入限制条件P(M) 列出方程 化简 化简方程 类比这个方法，我们开始求椭圆的标准方程 二、导学 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 问题4 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 二、导学 O x y 求椭圆方程的步骤(以方案一为例) (1)建系： (2)设点: (3)列式: (4)代换: (5)化简: F1 F2 以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系， 则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0)。 M 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点， 点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0) |MF1|+|MF2|=2a >2c 两边平方整理得 要进行第二次平方，且计算量较大 追问 那如何化简会比较简便？ 二、导学 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0 移项，得 平方，得 y O x F1 F2 P 你能从中找出表示a ,c, 的线段吗？ |PF1|=|PF2|=a， |OF1|=|OF2|=c ， |PO|= , 整理，得 上式两边通除以a2(a2-c2)，得 平方，得 那么方程①就是 二、导学 这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2. 问题5 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? F1 F2 M • • x y O （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 由于 得方程 ? x,y交换位置 二、导学 焦点在轴： 焦点在轴： 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 椭圆的标准方程: （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1. （2）椭圆的标准方程中三个参数满足 （3）椭圆的标准方程中，与的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上. 结构特点： 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 6 题型1.椭圆标准方程的认识 7 16 例1、填空 (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_______，则三角形F1PF2的周长为___________ F1 F2 X Y P o 三、互学 (2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________; 若CD为过上焦点F2的弦，则 F1CD的周长为________ 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 X Y O F2 F1 C D 例1 解1: (定义法) 题型2 求椭圆的标准方程 确定椭圆的方程形式 依照定义求 根据 写出椭圆方程 几何的角度 例1 解2: (待定系数法) 三、互学 题型2. 求椭圆的标准方程 确定椭圆的方程形式 构造关于的方程组 解 写出椭圆方程 代数的角度 (法1) (法2) 未知焦点位置:巧设方程 三、互学 变式 注意：1.求椭圆的标准方程，要先定“位”， a, b, c 满足的关系有： (1)确定焦点位置；（2）设出方程；（3）寻找a, b, c的等量关系；（4）求 a, b 的值；（5）代入所设方程. 用定义寻找a, b, c； 1. 定义法： 2. 待定系数法： 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 求椭圆标准方程的主要方法有： 2.若椭圆的焦点不明确，则需分焦点在 方程 三、互学 课本P109 14 四、悟学 1.本节课你学会了哪些主要内容？ 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 1.椭圆的定义 当焦点不确定时，可设椭圆的一般方程 谢谢！ EVCapture5.0.1软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn Lavf58.20.100 $