精品解析：云南省玉溪第一中学2026届高三上学期模拟预测数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（八） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（ ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 4. 某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A. 0.6827 B. 0.8414 C. 0.9544 D. 0.9772 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面结论正确的有（　　） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. C. 在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件 D. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 11. 飘带函数的图象如图所示，已知图象上两个点A，C关于原点对称（点的横坐标），过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为．将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作．则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，当图象沿轴折叠时， C. D. 若，当图象沿轴折叠时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则___________. 13. 若，则________. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（八） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算性质求解． 【详解】， 则， 故选：A 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 3. 已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（ ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 4. 某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A. 0.6827 B. 0.8414 C. 0.9544 D. 0.9772 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 7. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过定义法确定的单调性，然后通过赋值法得到，再由已知等式关系结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】任取，且，则， 所以，且， 因为当时，，所以，所以， 所以，所以在上单调递减； 因为，所以，， 所以， 所以，解得， 因此，不等式的解集为， 故选：B． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面结论正确的有（　　） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. C. 在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据钝角的定义、两角和差的正弦公式、诱导公式，结合充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：是锐角，显然它的2倍仍是锐角，故本选项结论不正确； B： ，所以本选项结论正确； C：当时，显然为钝角三角形”， 此时 ，显然不成立，因此本选项说法不正确， D： ， 因此本选项结论正确， 故选：BD 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质可判定A，应用分组分配结合排列组合计算判断B，采用赋值法令可计算出C正确；应用指对数运算结合回归方程判断D. 【详解】对于A，设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； 对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去， 则不同的安排方法有种，B选项错误； 对于C， 令，可得， 令，可得， 即可得，即，C正确； 对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确； 故选：ACD. 11. 飘带函数的图象如图所示，已知图象上两个点A，C关于原点对称（点的横坐标），过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为．将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作．则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，当图象沿轴折叠时， C. D. 若，当图象沿轴折叠时， 【答案】BD 【解析】 【分析】分别作出沿轴折叠和沿轴折叠的图象，用表示出，进而结合基本不等式逐项判断即可求解. 【详解】将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如图1所示，连接AD. ∵，，，平面，平面, ∴平面，且为二面角的平面角，即. ∵平面,.∵，∴. 由题知，∴，， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴，故选项A错误； 当时，，故选项B正确； 将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如图2所示，连接AB. ∵，，，平面，平面, ∴平面，且为二面角的平面角，即. ∵平面,.∵，∴. 由题知，∴，， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴，故选项C错误； 当时，，故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由投影向量公式即可计算求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且， 所以， 所以. 故答案为：2 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据求出，最后求得原式的值. 【详解】因为，所以，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】先将已知不等式进行整理得到，通过观察形式构造函数，再利用导数求出单调性，画出的大致图象，再讨论不满足题意，当时，通过观察的图象，由得，从此不等式中解出，再次构造函数，通过求导得到的最大值，继而求导的取值范围. 【详解】，，， ，， 构造函数，，，转化为，，，，， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，，，，时，； 时，.则的大致图象如图所示： （1）当时，当时，，，显然不等式不恒成立，不可能； （2）当时，，，，从图象可以得到不等式恒成立，只需，两边取对数得，即，解得，设，，，，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，在处，取最大值，且取最大值为，则，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 由中位线可得：， 又，由， 所以， 所以， 即四边形为平行四边形， 所以， 又不在平面内，在平面内， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，都在平面内， 又， 所以可得：两两垂直，如图建系： 则， ， 设平面的法向量为， 则， 设，可得， 所以， 设直线BC与平面所成角为， ， 即直线BC与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【小问1详解】 由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． 【小问2详解】 由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 【小问3详解】 令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $