第07讲整式的乘法2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第07讲 整式的乘法 【学习目标】 1．掌握整式的乘法法则，并在做计算题要学以致用，计算认真，保证正确率． 2．理解各个计算法则，切记不要混淆，计算时，一定要注意符合问题． 【基础知识】 一、单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．    　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：    　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值．这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；    　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；    　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；    　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；    　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式． 二、单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．    即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：    　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；    　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；    　 ③在混合运算时，要注意运算顺序． 三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn   　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：    　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；    　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项；    　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积． 即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到． 四、不含有那一项 按正常的计算法则去计算，然后不包含那一项，只需要让那一项的系数为0即可． 五、看错题，求正确结果 先按看错的去计算，求出参数的值，然后代入，求出正确结果即可． 【考点剖析】 考点一：单项式与单项式相乘 1．若单项式和的积为，则的值为（    ） A．2 B．30 C．－15 D．15 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 考点二：单项式与多项式相乘 3．在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 考点三：多项式与多项式相乘 5． 计算（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）． 6．计算： ． 考点四：不含有那一项 6． 已知的结果中不含项和项，求的值． 8．将多项式化简后不含项，则的值是(    ) A． B． C． D． 考点五：看错题，求正确结果 9．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“一”，得到的结果为． （1）求、的值． （2）计算这道整式乘法的正确结果． 10．小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【真题演练】 11．长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（　　） A．5x3y4 B．6x2y3 C．6x3y4 D． 12．下列运算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．2（a﹣1）＝2a﹣1 C．3a2•2a3＝6a6 D．（x2y）3＝x6y3 13．计算3a（5a﹣2b）的结果是（　　） A．15a﹣6ab B．8a2﹣6ab C．15a2﹣5ab D．15a2﹣6ab 14．若，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 15．如果在计算所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（    ） A． B． C． D． 16．若且，则代数式的值等于（   ） A．-2 B．0 C．1 D．2 17．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（　　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定 18．计算 (1)（3x﹣2）（2x+y+1）． (2)6（ab﹣）﹣2b（a﹣b）． 19．芳芳计算一道整式乘法的题:(2x +m)(5x-4)，由于芳芳将第一个多项式中的“+ m”抄成“-m”，得到的结果为10x2 - 33x + 20． （1）求m的值； （2）请解出这道题的正确结果． 【过关检测】 20．若关于的多项式与的乘积中，一次项系数为25，则的值（   ） A．5 B．-5 C．3 D．-3 21．若2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣6 B．0 C．﹣2 D．3 22．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　） A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2 23．计算＝ ． 24．计算：（x－2y）（x＋5y）＝ ． 25．一个长方体的长、宽、高分别是（3x﹣4）米，2x米和x米，则这个长方体的体积是 ． 26．若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝ ． 27．计算：（3x+2）（2x﹣3）＝ ． 28．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则ab的值为 ． 29．将关于x的多项式+2x+3与2x+b相乘，若积中不出现一次项，则b＝ ． 30．已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）＝8x+10，对一切实数x都成立，则A+B＝ ． 31．计算： (1)（ab2﹣2ab）ab． (2)（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）． 32．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形． （1）计算广场上需要硬化部分的面积； （2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积． 33．(1)计算：(x－1)(x2＋x＋1)=__________； (2x－3)(4x2＋6x＋9)=_________； (3x－4y)(9x2＋12xy＋16y2)=_________； 归纳：(a－b)(_________)=__________； (2) 应用：27m3－125n3= (_________)(_________) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 【点睛】本题考查单项式与单项式相乘问题，掌握单项式与单项式的乘法法则，会用指数构造等式解决问题是本题解题关键． 2．C 【分析】利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查单项式的乘法．熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题的关键． 3．B 【分析】利用单项式与多项式相乘的运算法则计算即可． 【详解】． 即“□”=． 故选B． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．特别注意积的符号． 4．B 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶B． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式法则，掌握相关运算法则是解题的关键． 5．7﹣6ab﹣22 【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算． 【详解】解：（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b） ＝3+3ab﹣ab﹣+4﹣14ab+6ab﹣21 ＝7﹣6ab﹣22． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6． 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 7．， 【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值． 【详解】原式 ， 结果不含项和项， ∴且， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 8．A 【分析】先将题目的式子化简，然后根据将多项式化简后不含项，可知前面的系数为，从而可以计算出的值． 【详解】解： ， ∵将多项式化简后不含项， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的加减，正确的去括号是解题的关键． 9．（1）a=5，b=-19；（2）． 【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a与b的值； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）由题意，得 ，． （2）． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．(1) (2)2 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项， ∴， ∴， ∴被遮住的一次项系数是2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 11．C 【分析】根据长方形面积公式和单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得：长方形的面积为3x2y•2xy3＝6x3y4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．D 【分析】直接利用合并同类项，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A．x2+x2＝2x2，故本选项错误； B.2（a﹣1）＝2a﹣2，故本选项错误； C.3a2•2a3＝6a5，故本选项错误； D．（x2y）3＝x6y3，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13．D 【分析】根据单项式乘以多项式，先用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加计算． 【详解】解：3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab． 故选：D． 【点睛】此题考查单项式乘多项式，关键是根据法则计算． 14．C 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出a+b的值． 【详解】解：∵（x+a）（x+b）=x2+4x+3， ∴x2+（a+b）x+ab=x2+4x+3， ∴a+b=4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 15．B 【分析】根据多项式乘多项式法则将其展开并合并，然后根据所得的结果中不含x的一次项，令含x的一次项的系数为0即可求出结论． 【详解】解：== ∵所得的结果中不含x的一次项， ∴m－6=0 解得：m=6 故选B． 【点睛】此题考查的是整式的乘法：不含某项问题，掌握多项式乘多项式法则和不含某项，即化简后，令其系数为0是解题关键． 16．A 【分析】运用多项式乘以多项式法则，化简，再将，整体代入即可解题． 【详解】 当，时 原式 故选：A． 【点睛】本题考查整式的乘法，代数式求值，其中涉及多项式乘以多项式、整体代入法等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．A 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，得到答案． 【详解】根据题意得：多项式为x2﹣x+1﹣（﹣3x2）， x2﹣x+1﹣（﹣3x2） =x2﹣x+1+3x2 =4x2﹣x+1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键． 18．(1)6+3xy﹣x﹣2y﹣2 (2)﹣4 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1） ＝6+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2 ＝6+3xy﹣x﹣2y﹣2． （2）解：原式＝6×ab﹣6×﹣2b×a+2b×b ＝2b﹣6﹣2b+2 ＝﹣4． 【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键． 19．（1）m=5；（2） 【分析】（1）化简，根据一次项的系数和常数项即可求出m的值； （2）将代入原式求解即可． 【详解】（1）． ∴ 解得 （2）将代入原式中 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的运算问题，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 20．B 【分析】计算多项式的结果后，其一次项系数为25即可求出m的值． 【详解】解：． ∵结果中一次项系数为25， ∴10-3m=25． 解得m=-5． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 21．A 【分析】根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后，让一次项系数为0即可得． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应合并同类项后，让这一项的系数为0是解题关键． 22．A 【分析】根据大长方形的面积（长为、宽为）等于1个边长为的小正方形的面积、4个长方形的面积（长为、宽为）、3个边长为的小正方形的面积之和即可得出答案． 【详解】解：由图可知，， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，读懂题意，理解几个图形的面积之间的联系是解题关键． 23．﹣72 【分析】先运用积的乘方计算，再用同底数幂的乘法公式计算即可． 【详解】解：原式＝﹣8×9 ＝﹣72． 故答案为：﹣72． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式的运算法则是解题的关键． 24． 【分析】根据整式的乘法法则即可得． 【详解】原式， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 25．（6x3﹣8x2）立方米 【分析】利用长方体体积公式列代数式，根据单项式乘以多项式法则计算即可得答案． 【详解】∵长方体的长、宽、高分别是（3x﹣4）米，2x米和x米， ∴这个长方体的体积是（3x﹣4）×2x×x＝（3x﹣4）×2x2＝（6x3﹣8x2）立方米． 故答案为：（6x3﹣8x2）立方米． 【点睛】本题考查整式的运算及长方体体积公式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键． 26．﹣3 【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值． 【详解】∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m， 又∵乘积中不含x的一次项， ∴3+m＝0， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 27．6x2﹣5x﹣6 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：6x2﹣5x﹣6． 【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 28． 【分析】先计算等号左边，再根据等式求出a、b的值，最后代入求出ab的值． 【详解】解：∵(x+2)(x+a)＝x2+(2+a)x+2a， 又∵(x+2)(x+a)＝x2+bx﹣8， ∴x2+(2+a)x+2a＝x2+bx﹣8． ∴2+a＝b，2a＝﹣8． ∴a＝﹣4，b＝﹣2． ∴ab＝(﹣4)﹣2 ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式及负整数指数幂的计算，题目综合性较强，根据等式确定a、b的值是解决本题的关键． 29．﹣3 【分析】根据多项式乘法法则，乘完后，合并同类项，令x的系数为零即可． 【详解】解：根据题意得：（+2x+3）（2x+b）＝2+（4+b）+（6+2b）x+3b， 由积中不出现一次项，得 6+2b＝0， 解得：b＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了多项式的乘法中不含某项的问题，熟练掌握多项式的乘法及正确合并是解题的基础． 30．##0.4 【分析】根据关键语“等式(2A﹣7B)x+(3A﹣8B)＝8x+10对一切实数x都成立”，只要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解． 【详解】解：(2A﹣7B)x+(3A﹣8B)＝8x+10， ∴， 解得：， 则A+B＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 31．(1)a2b3﹣a2b2． (2)﹣6x2y+12xy2﹣16y3 【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则求解即可； （2）根据乘法公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并求解即可． 【详解】（1）解：（ab2﹣2ab）ab ＝ab2⋅ab﹣2ab⋅ab ＝a2b3﹣a2b2． （2）解：（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y） ＝（x﹣2y）3﹣（x3+8y3） ＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3﹣x3﹣8y3 ＝﹣6x2y+12xy2﹣16y3． 【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式乘法的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 32．（1）广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2；（2）广场上需要硬化部分的面积是5400m2． 【分析】（1）由题意可知空白部分的面积＝长方形的面积﹣阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即（3a+b）（2a+b）；阴影部分是正方形，其面积是（a+b）2，所以空白部分的面积是（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2； （2）将a，b的数值代入（1）题中的代数式求值即可． 【详解】解：（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是 （2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2 ＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2） ＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab 答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2． （2）把a＝30，b＝10代入 5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2 答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2． 【点睛】考核知识点：整式运算的应用.理解图形关系是关键. 33．（1）x3-1，8x3-27，27x3-64y3, a2＋ab＋b2，a3-b3；（2）3m-5n，9m2＋15mn＋25n2 【分析】(1)根据整式的乘方运算法则即可求解，再归纳出运算规律； (2)根据规律即可求解． 【详解】(1) (x－1)(x2＋x＋1)= x3+x2+x-x2-x-1= x3-1； (2x－3)(4x2＋6x＋9)= 8x3+12x2+18x-12x2-18x -27= 8x3-27； (3x－4y)(9x2＋12xy＋16y2)= 27x3+36x2y+48xy2-36x2y-36x2y-64y3= 27x3-64y3； 归纳：(a－b)( a2＋ab＋b2)=a3-b3； 故答案为：x3-1；8x3-27；27x3-64y3；a2＋ab＋b2；a3-b3； (2) 应用：27m3－125n3=(3m)3-（5n）3 ∴27m3－125n3= (3m-5n)( 9m2＋15mn＋25n2) 故答案为：3m-5n；9m2＋15mn＋25n2． 【点睛】此题主要考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是根据已知的等式发现规律． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $