第06讲幂的运算-2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第06讲 幂的运算 【学习目标】 1．掌握幂的运算公式，并在做计算题要学以致用，计算认真，保证正确率． 2．有关幂的逆运算和幂的乘除混合运算，综合性比较强，稍有难度，一定要多练习，熟练掌握． 【基础知识】 一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数．即（都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则   (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. （a≠0） （a≠0，p是正整数） 五、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【考点剖析】 考点一：同底数幂的乘法 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 考点二：幂的乘方 3．若，则＝ ． 4．计算： ． 考点三：积的乘方 5．下列计算正确的是(    )． A． B． C． D． 6．计算： ． 考点四：同底数幂的除法 7．计算的结果为（    ）. A． B． C． D． 8．下列计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 考点五：幂的乘除综合运算 9． 计算：（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a2） 10．计算：． 【真题演练】 11．的值是(    )． A． B． C． D． 12．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．a2+a2＝a4 13．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．下面是一位同学做的四道题，其中做对的一道题的序号是（    ）． ①；②；③；④ A．① B．② C．③ D．④ 15．若am=2,an=8,则am+n= . 16．已知，那么 ． 17．若，，则的值为 ． 18．计算 (1)； (2)； (3) ； (4)； 19．计算 （1）； （2）． 【过关检测】 20．若，，则的值为（    ） A．9 B．18 C．3 D．6 21．化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 22．计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（    ）个B． A． B． C． D． 23．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 24．若xa=4，xb=5，则 x3a﹣2b的值为（    ) A． B． C．2 D．52 25．计算： ． 26．若，则的值为 ． 27．若n 是正整数，且，则＝ . 28．计算： (1)x2·x (2)（x3）5 (3)（-2x3）2 29．用简便方法计算： （1）； （2） 30． （1）若，求的值． （2） 若，求、的值． 31．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8． （1）填空：32a＝　 　； （2）求3b+c的值； （3）求32a﹣3b的值． 31． (1)已知(9n) 2=320，求n的值． (2) 已知2·8n·16n=236，求n的值． (3)已知8n=5，4m=7，求24m+6n的值． 33．下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： (1)计算： ①； ②． (2)若，直接写出n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式． 故选B． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 2． 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 3．6 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此化简后，得出只含有x的方程，从而解决问题． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键． 4． 【分析】根据，即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握幂的乘方，． 5．D 【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可． 【详解】解：A、 ，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 6．## 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟知积的乘方指数是相乘是解题的关键． 7．A 【分析】先计算积的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法，记住并运用法则是解决本题的关键． 8．C 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 9．﹣2a6+a5 【分析】先算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后合并同类项即可． 【详解】 = =． 【点睛】本题考查了幂的运算，涉及了积的乘方，同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10． 【分析】根据幂的运算公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，掌握相关公式是解题的关键． 11．C 【分析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，根据法则直接计算即可. 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法法则”是解本题的关键. 12．B 【详解】解：A. a2•a3=a5，故选项错误； B. (ab)2=a2b2，正确；； C. (a2)3=a6，故选项错误； D. a2+a2=2a2，故选项错误， 故选：B 13．A 【分析】利用同底数幂的除法和乘法法则计算出正确结果即可判断． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法和乘法，熟练掌握同底数幂的除法和乘法法则是解题的关键． 14．D 【分析】根据整式的加法计算法则，积的乘方计算法则，同底数幂除法计算法则，同底数幂乘法计算法则解答. 【详解】①2a与3b不是同类项，不能加法计算，故该项错误； ②，故该项错误； ③，故该项错误； ④，故该项正确； 故选：D. 【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握各计算法则：整式的加法计算法则，积的乘方计算法则，同底数幂除法计算法则，同底数幂乘法计算法则是解题的关键. 15．16 【详解】∵am=2,an=8, ∴am+n= am·an=2×8=16. 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 16．25 【分析】根据幂的乘方法则将式子两边同时平方即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了幂的乘方，做题的关键是将子两边同时平方． 17． 【分析】根据幂的运算公式计算即可得出答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的运算，比较简单，需要熟练掌握幂的运算公式． 18．(1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【分析】（1）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可； （2）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可； （3）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可； （4）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可； （5）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可. 【详解】（1）解：. （2）解：. （3）解：. （4）解：. （5）解：. 【点睛】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握幂的四则运算法则是解题的关键. 19．（1）；（2） 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据同底数幂的乘法和负整指数幂的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据同底数幂的除法和负整指数幂的运算法则计算即可； 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了幂的运算，涉及到同底数幂的乘法、同底数幂的除法和负整指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键 20．B 【分析】根据同底数幂的逆运算，把值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21．A 【分析】先计算幂的乘方，然后根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 22．B 【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：，再利用同底数幂的乘法可得答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 23．B 【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性． 【详解】A选项错误，； B选项正确，； C选项错误，； D选项错误，． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 24．B 【分析】根据积的乘方及同底数幂相除的法则计算即可. 【详解】∵xa=4，xb=5 ∴x3a﹣2b= 故选：B 【点睛】本题考查的是积的乘方及同底数幂相除，熟练掌握其运算法则并能正确的对算式进行变形是关键. 25． 【分析】根据积的乘方法则计算,再去括号即可求解. 【详解】, 故答案为: . 【点睛】本题主要考查积的乘方运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握积的乘方运算法则. 26． 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再由幂的运算法则进行计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 27．200 【分析】把所求式子化为含a2n的形式，再代入即可求值； 【详解】解： 故答案为：200 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方公式逆用． 28．(1)x3 (2)x15 (3)4x6． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据幂的乘方法则计算即可； （3）根据积的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 29．（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算； （2）根据同底数幂的乘法法则计算； 【详解】解：（1） = = = = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则和公式的逆用． 30．（1）8  （2）n＝3，m＝4 【分析】（1）根据同底数幂乘法的计算法则可以得到，则4n＋3＝35，由此求解即可； （2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得，则3 n＝9且3m＋3＝15，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴4n＋3＝35， ∴n＝8； （2）∵， ∴ ， ∴3 n＝9，3m＋3＝15， ∴n＝3，m＝4． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的乘方计算法则是解题的关键． 31．（1）16；（2）40；（3） 【分析】（1）根据幂的乘方公式的逆运用，即可求解； （2）根据同底数幂的乘法公式的逆运用，即可求解； （3）根据同底数幂的除法公式和幂的乘方公式的逆运用，即可求解． 【详解】（1）32a=（3a）2=42=16， 故答案是：16； （2）3b+c=3b×3c =5×8 =40； （3）32a﹣3b=32a÷33b =（3a）2÷（3b）3 =42÷53 =． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法公式，幂的乘方公式的逆运用，熟练掌握同底数幂的乘除法公式以及幂的乘方公式，是解题的关键． 32．(1)n=5  (2)n=5  (3)1225 【分析】（1）把等号左边的数都能整理成以3为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可； （2）把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可； （3）先根据幂的乘方的法则分别求出24m和46n的值，然后根据同底数幂的乘法法则求解. 【详解】解：（1）∵(9n) 2=92n=34n=320， ∴4n=20， 解得：n=5； （2）∵2·8n·16n=2·23n·24n=27n+1=236， ∴7n+1=36， 解得：n=5； （3）∵8n=5，4m=7，即23n=5，22m=7， ∴(23n)2=26n=25，（22m）2=24m=49， ∴24m+6n=24m×26n=49×25=1225. 【点睛】本题主要考查了幂的有关运算：幂的乘方法则：底数不变指数相乘；幂的乘法法则：底数不变指数相加．解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 33．(1)①1；②； (2)3； 【分析】（1）①逆用同底数幂的乘法法则计算； ②逆用积的乘方乘法法则计算； （2）利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，然后可求出n的值； 【详解】（1）解：① ； ②原式 ； （2）解：由已知得，，则， ∴， 故， 解得：． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $