第03讲方程思想在几何的应用-2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第03讲 方程思想在几何的应用 【学习目标】 1．掌握利用方程思想去求线段的长度，通常有关线段的比经常用方程． 2．掌握利用方程思想去求角的度数或旋转时间，通常当题中有关角度的比求角的度数，或者有关角（三角板）的旋转求时间，可根据题中等量关系式，列方程求解． 【基础知识】 1．线段中点 ∵C是AB的中点 ∴AC=BC=AB 2．角平分线 ∵OM平分∠AOB ∴∠AOM=∠BOM=∠AOB 3．平角等于180°，直角等于90°． 4．有关线段比，求线段长度 设未知数，利用方程思想，求出一份量． 5．有关角的比或几分之几，求角的度数 设未知数，利用方程思想，求出一份角的度数． 6．有关角（三角板）的旋转，求旋转时间 设未知数，利用方程思想，找出关系式，求出旋转时间． 【考点剖析】 考点一：有关线段比，求线段长度 1．如图，点 A，M，B，C，N，D 在一条直线上，若 AB：BC：CD=2：3：2， AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 11cm，求 AD 的长． 2．如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小：　　（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且，则的长为 　　cm； (2) 若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长． 考点二：有关角的比或几分之几，求角的度数 3．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 4．已知O为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上． ①若射线绕点O逆时针旋转（且），，请判断和的数量关系并说明理由； ②若射线绕点O顺时针旋转，，平分，当时，则___________． 考点三：角（三角板）的旋转，利用方程，求旋转时间 5．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由． 6．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力： 规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成： ①点表示的数是2，点表示的数是6，则线段的中点表示的数为 ； ②点表示的数是，点表示的数是7，则线段的中点表示的数为 ； ③点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ． 直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为 ，若将从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与的顶点 重合． 类比迁移：如图（2）：，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【真题演练】 7．如图，线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长． 8．如图，，两点将线段分成三部分，为线段的中点，．求： （1）线段的长； （2）线段的长． 9．如图，已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内． （1）若∠COE=∠AOE，求∠AOC的度数； （2）若∠BOC-∠AOC=72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？ 10．如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE，OF是∠BOC的角平分线． (1)说明：∠AOC＝∠BOE； (2)若∠AOC＝46°，求∠EOF的度数； (3)若∠EOF＝30°，求∠AOC的度数． 11．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周如图2，经过t秒后，ON落在OC边上，则______秒(直接写结果)． （2）如图2，三角板继续绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转到起点OA上同时射线OC也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周， ①当OC转动9秒时，求的度数． ②运动多少秒时，？请说明理由． 【过关检测】 13．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 14．已知：如图，被分成，平分，平分，且，求的度数． 15．如图，长度为12cm的线段AB的中点是点M，点C在线段MB上，且，则线段AC的长为 ． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD． (1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数； (2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数． 17．已知:如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点， （1）若线段，，，求的值； （2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长； （3）如图2，若，，求线段的长. 19．以直线上的一点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处． （1）如图1，若直角的边放在射线上，则______； （2）如图2，将直角绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线； （3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置，使得．求的度数． 21．【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．   【知识运用】 （1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝　 　°若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是　 　．（用含α的代数式表示） （2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 23．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知是的内半角，则_____． （2）如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．15.4cm． 【分析】根据线段中点的性质，可得MB，BC，根据线段的和差，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据线段的和差，可得答案． 【详解】设AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝2xcm． ∵M是AB的中点，∴MB＝xcm． ∵N是CD的中点，∴NC＝xcm． ∵MN＝11cm，∴x+3x+x＝11．解得：x＝2.2． AD＝2x+3x+2x＝7x＝15.4（cm）． 答：AD 的长为15.4cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出关于x的方程是解题的关键． 2．(1)①＝，②20 (2)27cm 【分析】（1）①根据等量代换，计算线段的和，后判断；②根据线段之间的关系，线段的和计算即可． （2）设未知数，运用一元一次方程的思想求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 所以， 故答案为：=； ②∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20． （2）解：如图： 设，根据已知得：， ∴， ， ∵， ∴， 所以， 解得， ∴． 答：的长是． 【点睛】本题考查了线段之间的数量关系，线段的中点的意义，线段的和，一元一次方程的解法，熟练掌握线段的关系，灵活解方程是解题的关键． 3．120° 【分析】设∠AOC＝x°，则∠BOC、∠AOB、∠AOD均可用x表示出来，由∠COD＝36°来列方程，求x． 【详解】解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝4x°． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠AOB＝ (x°＋4x°)＝2.5x°． 又∵∠COD＝∠AOD－∠AOC， ∴2.5x°－x°＝36°． 解得，x＝24． ∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝x°＋4x°＝120°． 4．(1) (2)①；理由见解析；②164或68 【分析】（1）利用角平分线的性质和图形找出角之间的关系即可得出结论； （2）①分两种情况，画出图形，找出角之间的关系即可得到结论；②分三种情况，结合①的方法，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： 当在内部时， 令，则，， ， ∴； 当的两边在射线的两侧时， 令，则，， ，， ∴． 综上所述，． ②当在内部时， 令，则， ，， ∴， 解得：， 则； ②当的两边在射线的两侧时， 令，则， ，， ，， ∴， 解得：， 则． 综上所述，或68． 故答案为：164或68． 【点睛】本题是角的计算，主要考查了角平分线，综合性较强，考查了学生分析解决问题的能力，是否能根据题意，正确画出图形，是解决此类问题的关键． 5．（1）①5秒；②是；（2）15秒时OC平分∠MON；（3）OC平分∠MOB，t=23.3秒； 【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC； （2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可． 【详解】（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON平分∠AOC； （2）15秒时OC平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， ∵∠AOC-∠AON=45°， 可得：6t-3t=15°， 解得：t=5秒； （3）OC平分∠MOB ∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， ∴∠COM为（90°-3t）， ∵∠BOM+∠AON=90°， 可得：180°-（30°+6t）=（90°-3t）， 解得：t=23.3秒； 如图： 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 6．规律发现：②1；③；直接运用：；类比迁移：秒，秒或 【分析】规律发现：②根据数轴上两点距离即可求解； ③根据数轴上两点距离即可求解； 直接运用：设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可求解；得出故表示的数为：，点表示的数为：，进而得出等边三角形的边长为1，找到规律数字2014对应的点将与的顶点重合； 类比迁移：分是与的角平分线，是与的角平分线，是与的角平分线，三种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵②点表示的数是，点表示的数是7，则线段的中点表示的数为； ③点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为； 故答案为：②1；③； 将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ； ， 解得：． 故表示的数为：， 点表示的数为：， 即等边三角形边长为1， 数字2014对应的点与的距离为：， ，从出发到2014点滚动672周后再滚动两次， 数字2014对应的点将与的顶点重合． 故答案为：，； （2），，， ， 经分析知2秒时与重合，所以在2秒以前设运动秒时，是与的角平分线， 解得． 经分析知2秒时与重合，秒时与重合，所以在秒到秒间，是与的角平分线，设运动秒时， 3秒时与重合，所以在3秒以前设运动秒时，是与的角平分线， 解得． 4秒时与直线重合，设3秒后4秒前运动秒时是与的角平分线， 解得（舍去）． 故运动秒，秒或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 7．AB＝60 cm 【分析】先设AB的长为x，再根据题意线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，结合图得出MC=AC，DN=DB，再由MC+CD+DN=40，解得x的值即可． 【详解】解：设AB的长为xcm， ∵线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分， ∴AC=x，CD=x，DB=x， 又∵AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm， ∴MC=x，DN=x， ∴x+x+x=40， 解得x=60， ∴AB的长60cm． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 8．（1）；（2） 【分析】（1）设，，，则根据列式计算即可. （2）由为线段的中点，且根据（1）知的长为，即可求出的长． 【详解】（1）设，，． 则有， 解得． 则． 所以的长为． （2）因为为线段的中点， 所以． 所以 【点睛】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键． 9．（1）36°；（2）OB⊥OC. 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角的和差和垂直的定义即可得到结论． 【详解】（1）∵∠COE=∠AOE， ∴∠AOE=3∠COE， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴∠AOB=2∠AOE=6∠COE， ∵∠AOB=180°， ∴∠COE=18°， ∴∠AOC=2∠COE=2×18°=36°； （2）OB⊥OC， 设∠BOC=x°，则∠AOC=108°-x°， ∵∠BOC-∠AOC=72°， ∴x-（108-x）=72， 解得x=90， ∴∠BOC=90°， ∴OB⊥OC． 【点睛】本题主要考查角的比较与运算，还考查了角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 10．(1)证明见解析；(2)∠EOF＝21°；(3)∠AOC＝40°. 【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠BOE＝∠BOD，根据角的和差即可得到结论； (2)根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝134°，∠BOE＝46°，根据角平分线的定义得到∠BOF＝∠BOC＝67°，于是得到结论； (3)设∠AOC＝α，则∠BOE＝α，得到∠BOF＝α+30°，由OF是∠BOC的角平分线，得到∠BOC＝2∠BOF＝2α+60°，于是得到结论． 【详解】解：(1)∵OB平分∠DOE， ∴∠BOE＝∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠BOE； (2)∵∠AOC＝46°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝134°，∠BOE＝46°， ∵OF是∠BOC的角平分线， ∴∠BOF＝∠BOC＝67°， ∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝21°； (3)设∠AOC＝α，则∠BOE＝α， ∵∠EOF＝30°， ∴∠BOF＝α+30°， ∵OF是∠BOC的角平分线， ∴∠BOC＝2∠BOF＝2α+60°， ∴α＝180°﹣(2α+60°)， ∴α＝40°， ∴∠AOC＝40°． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 11．（1）6；（2）①45°；②11秒或25秒. 【分析】（1）因为∠AOC=30°，所以ON落在OC边上时，三角板旋转了30°，旋转时间就为6s； （2）在整个旋转过程中，可以看做这样一个追及问题更容易理解，即：ON绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC也绕O点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转； ①9秒时，∠NOC=45°，而OC旋转了90°，所以∠MOC的度数就是45°； ②∠MOC=35°时，应分OC与OM重合前35°与重合后35°两种情况考虑，得到两个时间点均满足要求. 【详解】（1）∵∠AOC=30° 而三角板每秒旋转5° ∴当ON落在OC边上时，有5t=30° 得t=6 故答案为：6． （2）①当OC转动9秒时，∠COA=30°+10°×9=120° 而∠MOA=30°+90°+5°×9=165° 又∵∠MOC=∠MOA-∠COA 即：∠MOC=165°-120°=45° 答：当OC转动9秒时，∠MOC的度数为45°． ②设OC运动起始位置为射线OP（如图1），运动t秒时，∠MOC=35°， 则∠MOP=90°+5t，∠COP=10t 当∠MOC=35°时，有（90°+5t）-10t=35°或10t-（90°+5t）=35° 得t=11或t=25 因为三角板与射线OC都只旋转一周，所以不考虑再次追及的情况． 故当运动11秒或25秒时，∠MOC=35°． 【点睛】本题考查的是用方程的思想解决角的旋转的问题，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．(1)5 (2)经过5秒时平分 (3)经过8秒或32秒或88秒或112秒时， 【分析】（1）根据平角的定义得到，由角平分线的定义可得，则，由此求出，则，解得； （2）由题意得，，，由角平分线的定义可得，则，解方程即可得到答案； （3）分如图1所示，当时，如图2所示，当时，如图3所示，当时，如图4所示，当时，四种情况根据角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：经过5秒时平分，理由如下： 由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 解得， ∴经过5秒时平分； （3）解：如图1所示，当时， 由题意得，，， ∵， ∴， 解得；    如图2所示，当时， 由题意得，，， ∵， ∴， 解得；    如图3所示，当时， ∵， ∴， ∴， 解得；    如图4所示，当时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，经过8秒或32秒或88秒或112秒时，．    【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握角平分线的定义． 13． 【分析】根据条件可求出AB与CD的长度，利用中点的性质即可求出AE与AD的长度，从而可求出答案． 【详解】解：∵AC=15 cm，CB=AC，∴CB=10 cm，AB=15+10=25 cm． 又∵E是AB的中点，D是AC的中点，∴AE=AB=12.5 cm． ∴AD=AC=7.5 cm，∴DE=AE﹣AD=12.5﹣7.5=5 cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练运用线段之间的熟练关系，本题属于基础题型． 14．135° 【分析】根据三角成比例设则，将作为等量关系列出方程，解方程求解，从而可得答案． 【详解】解： 设则， 则∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，角的和差运算关系，掌握“设合适的未知数，利用角的和差关系列方程”是解本题的关键． 15．8cm##8厘米 【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度． 【详解】解：∵线段AB的中点为M， ∴AM=BM=6cm， 设MC=x，则CB=2x， ∴x+2x=6，解得x=2， 即MC=2cm， ∴AC=AM+MC=6+2=8（cm）． 【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 16．(1)70° (2)50° 【分析】（1）根据∠EOF＝55°，OD⊥OF，可知∠DOE＝35°，由于OE平分∠BOD，可知∠BOE＝35°，即可得出答案； （2）设∠DOE＝∠BOE＝x，可知x+15°+x+15°+x＝180°，解得：x＝50°． 【详解】（1）解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE， ∵∠EOF＝55°，OD⊥OF， ∴∠DOE＝35°， ∴∠BOE＝35°， ∴∠AOC＝70°； （2）∵OF平分∠COE， ∴∠COF＝∠EOF， ∵∠BOF＝15°， ∴设∠DOE＝∠BOE＝x， 则∠COF＝x+15°， ∴x+15°+x+15°+x＝180°， 解得：x＝50°， 故∠DOE的度数为：50°． 【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算，利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关键． 17．(1)20；(2)6；(3)5.1. 【分析】(1)因为，根据绝对值和平方的非负性可以得出，即可求出的值. (2)由(1)知，AB=16，CE=4，点为线段的中点，则能求出AC,AE, 点为线段的中点,即可求出DE. (3)因为，设BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解. 【详解】解：(1)∵ ∴， ，，. (2) 由(1)知：， ∵点为线段的中点 ∴ 又∵点为线段的中点 ∴. ∴ (3)由题知：设BE=，则AD=DE =2x 【点睛】本题主要考查的是线段中点的性质，正确的计算和熟练地运用数形结合的思想推出线段之间的关系. 18．（1）80；（2）70°；（3）26 【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可； （2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可； （3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值． 【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， ∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD， ∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°， 故答案为：80； （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD， ∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC =∠AOC+∠BOD-∠BOC =（∠AOC+∠BOD）-∠BOC =×180-20 =70°； （3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t）， 又∠AOM：∠DON=2：3， ∴3（20°+2t）=2（160°-2t） 解得，t=26． 答：t为26秒． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况． 19．（1）30°；（2）见解析；（3）65°或52.5° 【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可； （2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案； （3）画出符合的两种图形，再根据平角等于180°求出即可． 【详解】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°， 又∵∠COB=60°， ∴∠COE=30°， 故答案为：30； （2）∵OE平分∠AOC， ∴∠COE=∠AOE=∠COA， ∵∠EOD=90°， ∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°， ∴∠COD=∠DOB， ∴OD所在射线是∠BOC的平分线； （3）设∠COD=x，则∠AOE=5x． 有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时， ∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°， ∴5x+90°+x+60°=180°， 解得x=5°， 即∠COD=5°． ∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°； ②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2， ∵∠AOC+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，∠COD=x°，∠AOE=5x°， ∴5x+90-x+60=180， 解得：x=7.5， 即∠COD=7.5°， ∵∠BOC=60°， ∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°， ∴∠BOD的度数为65°或52.5°． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． 20．（1）170°；（2）65°；（3）19 【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可； （2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可； （3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC =∠AOD+∠COD+∠BOD   =∠AOB+∠COD =150°+20°=170° （2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC ∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85° ∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65° （3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) ° ∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) ° 又∵∠BOM=∠AON ∴70-t=（15+t） ∴t=19 【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． 21．（1）；（2）存在，t＝20秒或25秒；（3）或或或30s 【分析】（1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】解：（1）如图， 射线是OA的伴随射线， , ，    同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线， , 射线OC是∠AOB的平分线， , =，    故答案为： （2）射线OD与OA重合时，t＝＝36（秒） ①当∠COD的度数是20°时，有两种可能： 若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20， ∴t＝20； 若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20， ∴t＝25； 所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°． ②相遇之前： （i）如图1，    OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝ ∠COD 即  3t＝（180﹣5t﹣3t） ∴t＝ （ii）如图2，   OC是OD的伴随线时， 则∠COD＝∠AOC 即180﹣5t﹣3t＝3t ∴t＝ 相遇之后： （iii）如图3，    OD是OC的伴随线时， 则∠COD＝ ∠AOD 即5t+3t﹣180＝（180﹣5t） ∴t＝ （iv）如图4，   OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝ ∠COD 即180﹣5t＝（3t+5t﹣180） ∴t＝30 所以，综上所述，当t＝， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 22．（1）25；（2），理由见详解；（3），，， 【分析】（1）由平角的定义先求出∠BOC的度数，然后由角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据角的和差关系可求解； （2）根据题意得出∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，然后两式相减即可求解； （3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的度数为vt°，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论即可求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； 故答案为25； （2）与之间的关系为，理由如下： ∵， ∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°， ∴两式相减得：； （3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周， ∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°， ①当三角板转到如图所示时，， ∵，， ∴， ∴； ②当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； ③当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； ④当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； 综上所述：t的值为，，，； 故答案为，，，． 【点睛】本题主要考查角的和差关系，关键是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作． 23．（1）20°；（2）当旋转的角度时，是的内半角；（3）能，旋转时间为或或90s或． 【分析】（1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）由题意可得，进而可得，然后问题可求解； （3）设旋转的时间为t秒，由题意可得：，，当射线构成内半角时，则可分：①当射线OC在∠AOB内部时，即，②当射线OC在∠AOB外部且旋转角度没有达到180°时，即，③当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的外部时，即时，④当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的内部时，即时，然后分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为20°； （2）由旋转可得， ∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴当旋转的角度时，是的内半角； （3）能构成，理由如下： 设旋转的时间为t秒，由题意可得：，，当射线构成内半角时，则可分： ①当射线OC在∠AOB内部时，即，则有，如图所示： ∴， 解得：； ②当射线OC在∠AOB外部且旋转角度没有达到180°时，即，则有，如图所示： ∴， 解得：； ③当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的外部时，即时，则有，如图所示： ∴， 解得：； ④当旋转角度超过180°且射线OD在∠AOB的内部时，即时，则有，如图所示： ∴， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，旋转时间为或或90s或． 【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键． 24．（1）60°；（2）120°；（3）6秒. 【分析】（1）根据直角的定义求出∠BOD，再根据3∠AOC=∠BOD可得∠AOC的度数，又因为∠COD与∠AOC 互余即可解答； （2）不变，是120°.根据（1）求出∠COD的度数，从而求得∠AOC+∠BOD的值， 再利用角平分线定义求出∠EOC +∠DOF，最后根据∠EOF=∠EOC +∠DOF+∠COD即可解答. (3) 设t秒时，∠COM=∠BON.用含t的式子表示出∠COM、∠BON，从而列出方程求解. 【详解】解：（1）因为∠AOD是直角，所以∠AOD= =90°，又因为3∠AOC=∠BOD，所以∠AOC=∠BOD=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°； （2）因为∠AOD是直角，∠AOC=30°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-30°=60°， 所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°- 60°=120°，因为OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，所以∠EOC +∠DOF =(∠AOC+∠BOD)=×120°=60°，所以∠EOF=∠EOC +∠DOF+∠COD=60°+60°=120°； （3）设t秒时，∠COM=∠BON.t秒时，∠COM= (180°-∠AOC-20°t)= (180°-30°-20°t)=75°-10°t，∠BON=∠BOD=（90°-10°t）=45°-5°t，当∠COM=∠BON时，75°-10°t=45°-5°t，解得：t=6，即6s时，∠COM=∠BON. 【点睛】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系. 25．(1) 130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或 【分析】（1）分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案； （2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可； （3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°， 所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°； （2）当∠AOB=105°时，有两种情况： ①10t+15t=180﹣105，解得：t=3； ②10t+15t=180+105，解得：t=11.4； （3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5； ②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=； ③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9； ④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180，解得：t=． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $