精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期第四次教学质量检测数学试题

绵阳南山中学高2023级高三第四次教学质量检测 数学 南山中学高三数学备课组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为命题，即，所以， 故，即p是q的充分不必要条件． 故选：A． 2. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. 4 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算法则得到，再根据集合的子集个数运算公式可得答案. 【详解】因为， 所以的真子集个数为（个）． 故选：C 3. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 4. 已知双曲线的离心率为且渐近线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，根据渐近线垂直得出与的关系，再结合离心率公式求解，最后计算的值. 【详解】情况一：双曲线为横轴双曲线， 假设且，则标准方程为：， 渐近线方程为， 因为渐近线互相垂直，所以：， 解得：，不成立；则离心率，所以. 情况二：为纵轴双曲线， 假设且，则标准方程：，即， 因为渐近线互相垂直，所以：， 解得：， 离心率， 所以. 故选：C． 5. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 6. 已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由， 得，所以， 所以． 故选：B． 7. 已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，由，解得 又因为，所以， 所以，因为函数在区间上是增函数， 所以当时，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 8. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求导，结合选项，分，和，利用极小值点的定义求解. 【详解】由求导，得． 当时，函数与的图象有一个交点，横坐标可设为，如图： 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 此时函数在处取极小值． 因为过原点的直线与曲线相切，且切点为， 所以当时，，此时单调递增，无极小值点． 当时，函数与的图象有两个交点，横坐标可设为，且，如图： 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 此时函数在处取极小值，且． 综上所述，时，函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且为充要条件． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列项的关系列出方程，解得首项和公差，判断A、B选项；先验证及是否成立，然后由等比数列前项和公式列出方程组，然后整理得到关于的方程，然后解得，判断C选项；由及计算得到，判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，由题意可得解得故A，B正确； 等比数列的公比为，若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，得，整理得， 解得或（舍去），则，故C错误； 因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：由是偶函数计算即可得；对B：由题意计算可得以为周期，结合时解析式计算即可得；对C：结合A中所得计算即可得；对D：结合函数性质可画出函数图象，结合对数函数性质计算即可得. 【详解】对A：因为是偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确； 对B：由是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，则， 故函数以为周期，则， ， 所以，故B错误； 对C：当时，，又， 则，故C正确； 对D：因为时，，且关于直线对称， 所以根据对称性可以作出上的图象， 又因为是定义在上的奇函数，的周期， 所以作出的图象如图，所以． 要使的图象与的图象至少有2个交点， 则，所以，又，所以，故D错误. 故选：AC． 11. 已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线E的方程为 B. 直线BC与圆M相切 C. 的最大值为1 D. 过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用，所以求解；对于B项，设，则，所以直线．同理可得，直线，直线．再由直线与圆相切求解；对于C，设，则进行求解；对于D项，由切割线定理，得进行求解． 【详解】对于A：在中，当时，， 因为，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B：设，则， 所以直线． 同理可得，直线， 直线． 因为直线AB，AC与圆M相切， 所以圆心M与AB，AC的距离， 所以， 所以为方程的两根， 所以， 所以圆心M与BC的距离， 所以直线BC与圆M相切，故B正确； 对于C：设，则． 又因为，所以． 又因为， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D：由切割线定理，得， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式结合诱导公式可得，结合，可得，据此可得答案. 【详解】由， ，又，则，. 所以． 故答案为：. 14. 已知函数，若是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，然后根据导函数的零点性质，结合等差数列和等比数列的条件，建立关于和的方程，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以为两个不等的负数， 不妨设，则必有或成等差数列， 或成等比数列， 所以，，解得， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在区间上的最小值为6． （1）求实数m的值； （2）求曲线的对称中心坐标和对称轴方程． 【答案】（1） （2）对称中心坐标为，对称轴方程为． 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式，将函数化简，根据正弦函数的图像和性质何时取到最小值，求出m的值； （2）根据正弦函数的对称中心坐标和对称轴方程求解即可. 【小问1详解】 ， 由，得，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，． 由，得； 由，得， 所以曲线的对称中心坐标为， 对称轴方程为． 16. 已知直线与圆交于两点，点（不同于点）在圆上 （1）若时，求的面积； （2）若，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）当时，先确定直线的方程，再计算圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长，进而计算三角形面积； （2）利用圆周角与圆心角的关系，结合三角函数求出圆心角，再通过圆心到直线的距离公式求解的值. 【小问1详解】 当时，直线， 因为圆，半径， 所以圆心C到直线l的距离， 所以， 所以； 【小问2详解】 由于，过点C作于点H，则， 又因为， 所以，所以， 所以，所以， 又因为， 所以， 所以直线l的方程为或. 17. 设数列的前n项和为，已知． （1）求的值和数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）； ， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，再给出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而写出数列的通项公式； （2），由裂项相消法求出前n项和为，即可求证． 【小问1详解】 数列中，， 当时，，而，则； 当时，，所以． ， 当时，， 两式相减，得， 即，整理，得． 又因为， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 因为， 所以 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围； （3）若，是的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围. （3）对求导，根据题设可得，由代入化简并放缩得到，令，求导判断其单调性，得到，即得，则得证. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解． 当时，在上单调递增，不符合题意，故， 所以在上恰有2个解， 故可得与的图象有2个不同的交点． 令，则， 所以当时，，可得； 当时，，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 作出的大致图象如图所示． 由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点 等价于，解得， 即实数m的取值范围为． 【小问3详解】 因为，所以． 因为是的极值点，所以． 要证，即证． 因为 ． 令，则，由解得， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即得证， 故． 19. 已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； （3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得的最大值为，所以.根据离心率及，求得，进而得到椭圆的方程. （2）设的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得坐标间的关系，结合椭圆的对称性，求得直线所过定点；或由三点共线用A,B坐标表示直线的方程，结合椭圆的对称性及椭圆的方程求得直线所过定点. （3）设点坐标，根据点在曲线上，表示斜率；将点的坐标代入椭圆方程，利用点差法表示斜率，根据所给参考公式求得的不等式，即可证明；或设中点坐标，利用已知条件，结合所给的指数均值不等式，得到与中点坐标的关系，根据中点在椭圆内，求得的取值范围，从而证得不等式成立. 【小问1详解】 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，则． 因为，所以，所以 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 解法1：设，则． 联立得， 所以所以． 由，得，即． 直线． 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令， 得， 所以直线BC过定点． 解法2：设，直线l与x轴的交点为，则． 由于A，B，T三点共线，则①． 直线． 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，得． 由①，得，且， 所以， 所以，所以直线BC过定点． 【小问3详解】 解法1：设，则， 所以． 由指数平均不等式：，得， 所以． 又因为所以 由②，得，即； 由③，得，即， 所以，所以． 又因为，所以． 解法2：设，MN的中点，则， 所以． 由指数平均不等式：，得， 所以，所以． 又因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 因为在椭圆内，所以，所以， 所以，所以． 又因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2023级高三第四次教学质量检测 数学 南山中学高三数学备课组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. 4 B. 14 C. 15 D. 16 3. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为且渐近线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 11. 已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线E的方程为 B 直线BC与圆M相切 C. 的最大值为1 D. 过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________． 13. 已知，且，则_______． 14. 已知函数，若是函数导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在区间上的最小值为6． （1）求实数m的值； （2）求曲线的对称中心坐标和对称轴方程． 16. 已知直线与圆交于两点，点（不同于点）在圆上 （1）若时，求的面积； （2）若，求直线l的方程． 17. 设数列的前n项和为，已知． （1）求的值和数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，求证：． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围； （3）若，是的极值点，求证：． 19. 已知椭圆左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； （3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $