精品解析：黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

哈师大附中2025级2025-2026学年度第一学期期中考试 数学试题 满分150分时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 个元素的集合的子集个数为个． 【详解】解：因为含个元素的集合的子集个数为个， ∴集合有4个子集， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有限集的子集个数，属于基础题． 2. 命题的否定是（ ） A. x∈R， B. ∀x∈R， C. ∃x∈R， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为存在性命题可求解. 【详解】根据全称命题的否定为存在性命题， 可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. 角的终边过点，（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 4. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 5. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 6. ，下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义依次判断各选项即可. 【详解】，不是偶函数，故A错误； ，不是偶函数，故B错误； ，为偶函数，故C正确； ，不是偶函数，故D错误. 故选：C. 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性判断方法可得，再由函数的定义域范围可得结果. 【详解】由复合函数的单调性可知，内层函数在上单调递增，故， 且在上恒成立，只需，即，解得. 综上，的取值范围是. 故选：C. 8. ，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式分离参数，利用构造函数法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即． 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且． 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即． 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在轴上角的集合是 B. 角终边落在第一象限，则角为锐角 C. 角是第二象限角，则是在二，三象限的角 D. 周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用角的终边与象限角的性质分析判断选项ABC，运用扇形公式结合基本不等式分析选项D． 【详解】选项A：终边落在轴上角的集合是，故A正确； 选项B：终边落在第一象限的角的集合为， 角不一定锐角，例如，故B错误； 选项C：角是第二象限角，， ， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第三象限； 为第一，三象限的角，故C错误； 选项D：设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为， 、均大于零， ，即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 此时，解得，故D正确． 故选：AD． 10. ，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对每个选项，结合的条件，通过二次函数性质（说明开口方向、对称轴）分析最值，或通过基本不等式（补充等号成立条件）分析最值，进而判断选项正误. 【详解】选项A： 由，得. 该式是开口向下的二次函数，其对称轴为， 根据二次函数性质，开口向下的函数在对称轴处取得最大值. 当时，，此时，故的最大值为，A正确. 选项B： . 由基本不等式，，当且仅当（即）时等号成立. 因此，最小值为3，B错误. 选项C： . 由选项A知，当且仅当时. 代入得，故，最大值为，C错误. 选项D： . 由选项A知，当且仅当时. 代入得，故的最小值为，D正确. 故选：AD. 11. 函数的定义域为，若对于任意，且恒成立，则称为复合增函数，下列判断正确的是（　　） A. 若是复合增函数，则也是复合增函数 B. 是复合增函数 C. 是复合增函数 D. 复合增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A∶由条件知，若为复合增函数，需有当时，即，即是增函数，由此可推导出A正确；对于选项B∶设，用作差法可得B正确；对于选项C∶设，用作差法可得C正确．对于选项D∶用特殊值代入可得 D错误． 【详解】选项A∶由条件知，若为复合增函数，需有当时，即，即是增函数， 若是复合增函数，则是增函数， 从而也是增函数，故A正确； 选项B∶设，当时， ，故为增函数，故B正确； 选项C∶由， 令， 当时， = = = = 由于，故， 故，即 故是增函数， 故是复合增函数，故C正确； 选项D∶令， 则 故， 故不是增函数，故 D错误． 故选：ABC 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式即可求出定义域. 【详解】由题意可得, 解得, 所以定义域为. 故答案为： 13. 幂函数在是增函数，___________ 【答案】8 【解析】 【分析】先根据幂函数定义确定系数满足的方程，求解后结合增函数的条件筛选出符合的值，进而确定函数表达式并计算. 【详解】由幂函数定义，得，即，解得或. 函数在上是增函数，故指数： 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件. 因此，，则. 故答案为：. 14. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有四个根且， 由图象可知，，可得， 则， 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）将分数指数幂转化成根式，计算可得结果； （2）由对数的运算法则及对数恒等式化简可得结果. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集运算可得结果； （2）根据交集的结果得到，由子集的定义列出需满足的不等式并求解可得结果. 【小问1详解】 由题意可得． 当时，， 则． 【小问2详解】 因为，所以，需满足，解得． 综上所述，a的取值范围是. 17. 已知幂函数过点. （1）求的解析式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知点代入幂函数解析式，通过指数的等量关系求出指数，得到函数解析式；（2）将不等式恒成立问题转化为求二次函数的最小值，通过配方确定函数的最小值，进而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 将点代入幂函数，得，即，故， 因此的解析式为. 【小问2详解】 由，不等式化为对任意恒成立. 将变形为，因，故， 即的最小值为，因此. 18. 已知函数（且）过点 （1）求函数的解析式； （2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求解指数函数的底数，得解析式； （2）利用奇偶函数性质分解为奇函数与偶函数之和，将条件转化为恒成立问题，通过换元与基本不等式求最值，确定的范围. 【小问1详解】 由过点，得. 因且，故，则. 【小问2详解】 由，为奇函数，为偶函数，得. 联立得，. 对任意，存在使，而， 故在上恒成立. 令，时，单调递减，故. ，代入得，即. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 19. 对于定义域相同的函数和，若存在实数使得，则称由和生成的． （1）若是由和生成的，求的值； （2）试利用和生成函数，满足为偶函数，且. （I）求函数的解析式； （II）已知，对于上的任意值，记，求的最大值． 【答案】（1） （2）（I）；（II）． 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解； （2）（I）利用偶函数的定义计算可得，再利用求出即得解析式；（II）利用函数单调性定义证明函数的单调性，再化简求和即可求出最大值. 【小问1详解】 依题意，， 则，故有， 解得，所以实数的值为； 【小问2详解】 （I）设， 由为偶函数，得，， 则， 整理得，即，于是， 即对任意恒成立，则， ， 又，则，解得，则， 所以函数的解析式为； （II）由（I）知， 在内任取，且， 则， 又 ， 由，，则，，， 则，故， 故，即，故在上是增函数， 由偶函数的性质知，函数在上是减函数， 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时， 有最大值， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2025级2025-2026学年度第一学期期中考试 数学试题 满分150分时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题的否定是（ ） A. x∈R， B. ∀x∈R， C. ∃x∈R， D. 3. 角的终边过点，（ ） A. 2 B. C. D. 4. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. ，下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. ，若关于不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在轴上角的集合是 B. 角终边落在第一象限，则角为锐角 C. 角是第二象限角，则是在二，三象限的角 D. 周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 10. ，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 函数的定义域为，若对于任意，且恒成立，则称为复合增函数，下列判断正确的是（　　） A. 若是复合增函数，则也是复合增函数 B. 是复合增函数 C. 是复合增函数 D. 复合增函数 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________ 13. 幂函数在是增函数，___________ 14. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2） 16 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知幂函数过点. （1）求的解析式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数（且）过点 （1）求函数的解析式； （2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 19. 对于定义域相同的函数和，若存在实数使得，则称由和生成的． （1）若是由和生成的，求的值； （2）试利用和生成函数，满足为偶函数，且. （I）求函数的解析式； （II）已知，对于上的任意值，记，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $