第二章 有理数的运算【章末复习】 课件2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

人教版（2024）版数学7年级上册 第二章 有理数的运算 章末复习 联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识. 第二章 有理数的运算 第1页：引言——运算的意义 有理数的运算的是数学运算的基础，更是解决实际问题的工具。回顾生活场景，感受运算的价值： - 温度变化：某天最高温8℃，最低温-3℃，温差是多少？（涉及有理数减法） - 财务收支：收入500元记为+500，支出300元记为-300，最终结余多少？（涉及有理数加法） - 路程计算：向东走10米记为+10，向西走6米记为-6，两次行走的总位移是多少？（涉及有理数加减） 本章核心：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算，明确法则、熟练技巧、规避错误。 第10页：章节核心总结 一、核心法则梳理 - 加减运算：减变加，数变反，加法分情况定符号； - 乘除运算：除变乘，数变倒，乘除同号得正、异号得负； - 乘方运算：底数定符号，指数定奇偶； - 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 二、核心思想方法 - 转化思想：将减法转化为加法，除法转化为乘法，复杂运算转化为简单运算； - 分类讨论思想：加法、乘法法则均按“同号、异号、含0”分类，确保覆盖所有情况； - 简便思想：利用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化计算。 三、解题口诀 有理数运算并不难，符号绝对是关键； 加减转化找相反数，乘除转化找倒数； 乘方注意底和幂，混合运算按序算； 运算律来帮大忙，易错点要记心间； 分步计算稳又准，结果验证保安全。 第2页：运算基础——符号与绝对值 有理数运算的核心是“先定符号，再算绝对值”，需先明确以下基础概念： - 符号规则前提：有理数由“符号”和“绝对值”两部分组成（正数符号为“+”可省略，负数符号为“-”不可省略）； - 绝对值性质：任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，具体为： 当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a； - 运算核心思路：所有有理数运算，先根据法则确定结果的符号，再对绝对值进行相应的算术运算。 示例：分析-7、+3、0的符号与绝对值： -7：符号为“-”，绝对值为7；+3：符号为“+”，绝对值为3；0：无符号，绝对值为0。 核心主线：以“数轴”为工具，串联“相反数、绝对值”等概念，支撑有理数的各类运算及应用。 第3页：有理数的加法——法则与应用 加法是有理数运算的基础，法则分情况明确，需精准掌握： 一、加法法则（分三类情况） 两数类型 符号确定 绝对值运算 示例 同号两数 取与两数相同的符号 绝对值相加 (-5)+(-3)=-(5+3)=-8；3+6=9 异号两数 取绝对值较大数的符号 用大绝对值减小绝对值 (-5)+3=-(5-3)=-2；5+(-3)=2 与0相加 与原数符号相同 绝对值不变 0+(-6)=-6；7+0=7 二、特殊情况：互为相反数的两数相加得0，即a+(-a)=0，如(-4)+4=0，这是加法中的重要简便运算依据。 三、解题步骤： 1. 确定两数的符号类型（同号、异号、含0）；2. 根据对应法则确定结果符号；3. 对绝对值进行相应运算；4. 组合符号与绝对值得结果。 1. 正数与负数 - 正数：大于0的数（如+3、2.5、1/2，“+”可省略）； - 负数：在正数前加“-”的数（如-5、-1.8、-3/4，“-”不可省略）； - 0的意义：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，可表示“没有”“基准量”（如海拔0米）。 2. 有理数的分类（两种标准） 按定义分类 - 整数：正整数、0、负整数（如1、0、-2）； - 分数：正分数、负分数（如3/4、-0.6）； - 整数和分数统称有理数。 按性质分类 - 正有理数：正整数、正分数； - 0； - 负有理数：负整数、负分数。 易错点：π不是有理数（它是无限不循环小数），但3.14是有理数。 第4页：有理数的减法——转化思想的应用 减法可通过“转化思想”转化为加法，降低运算难度，核心是掌握转化法则： 一、减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为：a - b = a + (-b)； 文字口诀：“减变加，数变反”（即减号变加号，被减数不变，减数变为它的相反数）。 二、转化关键 - 明确“减数”：是减号后面的数，转化时只变减数的符号，被减数符号不变； - 注意符号叠加：若减数本身是负数，转化后会出现“负负得正”的情况，如a - (-b) = a + b。 三、典型例题 1. 基础计算：(-8) - 3 = (-8) + (-3) = -11；7 - (-5) = 7 + 5 = 12； 2. 实际应用：某地白天温度为12℃，夜间温度下降15℃，夜间温度是多少？ 解答：12 - 15 = 12 + (-15) = -3℃，即夜间温度为-3℃。 概念 定义/特征 性质/结论 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 1. 数轴上的点与有理数一一对应；2. 右边的点表示的数总比左边的大 相反数 只有符号不同的两个数（0的相反数是0） 1. 若a与b互为相反数，则a+b=0；2. 数轴上表示相反数的点关于原点对称 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a| 1. |a|≥0（非负性）；2. 当a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a<0时，|a|=-a 示例：| -3 | = 3，-（-2）= 2，数轴上表示-1和3的点，距离原点分别为1和3，且3在-1右侧，故3 > -1。 第5页：有理数的加减混合运算——技巧与简化 加减混合运算可通过“统一成加法”简化，再运用运算律优化计算，提升效率： 一、核心步骤：统一成加法算式 根据减法法则，将所有减法转化为加法，式子化为“省略加号的和的形式”，方便观察和计算： 示例：-5 - 3 + 2 - (-4) = -5 + (-3) + 2 + 4（此时式子可读作“-5、-3、2、4的和”）。 二、简便运算技巧（利用加法运算律） - 1. 同号结合法：将正数与正数结合，负数与负数结合，分别计算后再相加： 示例：(-5) + (-3) + 2 + 4 = [(-5)+(-3)] + (2+4) = -8 + 6 = -2； - 2. 相反数结合法：将互为相反数的数结合，和为0简化计算： 示例：(-7) + 3 + 7 + (-2) = [(-7)+7] + (3-2) = 0 + 1 = 1； - 3. 凑整结合法：将和为整数的数结合（如和为10、20或0.5等）： 示例：1.2 + (-3.5) + 4.8 + (-6.5) = (1.2+4.8) + [(-3.5)+(-6.5)] = 6 - 10 = -4； - 4. 同分母/易通分结合法：分数运算中，将同分母或易通分的分数结合： 示例：-1/2 + 3/4 + (-1/4) = -1/2 + (3/4 - 1/4) = -1/2 + 1/2 = 0。 1. 加法法则（核心：先定符号，再算绝对值） - 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5)=-8）； - 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5)=-2，-3+5=2）； - 互为相反数相加得0（如3+(-3)=0）；一个数加0仍得原数。 2. 减法法则（转化思想：减变加，数变反） a - b = a + (-b)（如5 - 8 = 5 + (-8) = -3，-5 - (-8) = -5 + 8 = 3） 3. 加减混合运算技巧 - 统一成加法：将式子化为省略加号的和的形式（如-3 - 5 + 2 = -3 + (-5) + 2）； - 简便运算：同号结合、相反数结合、凑整结合（如(3+7)+(-5-2)=10-7=3）。 第6页：有理数的乘法——法则与运算律 乘法法则与加法类似，核心仍是“符号优先”，同时需掌握乘法运算律简化计算： 一、乘法法则 运算情况 符号确定 绝对值运算 示例 两数相乘 同号得正，异号得负 绝对值相乘 (-4)×(-5)=20；(-4)×5=-20 与0相乘 结果为0 无需计算绝对值 (-6)×0=0；0×8=0 多个数相乘 负因数个数为偶数得正，奇数得负 所有数的绝对值相乘 (-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24；(-2)×3×(-4)=24 二、乘法运算律（简化运算的核心） - 交换律：ab=ba，如(-3)×4=4×(-3)=-12； - 结合律：(ab)c=a(bc)，如[(-2)×(-3)]×5=(-2)×[(-3)×5]=30； - 分配律：a(b+c)=ab+ac（核心常用），如(-5)×(2+3)=(-5)×2 + (-5)×3=-10-15=-25； 反向应用：ab+ac=a(b+c)，如3×(-4) + 3×(-6)=3×[(-4)+(-6)]=-30。 1. 乘法法则 - 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0（如3×5=15，-3×(-5)=15，-3×5=-15）； - 多个有理数相乘：负因数个数为偶数得正，奇数得负，再算绝对值乘积。 2. 除法法则（转化思想：除变乘，数变倒） a ÷ b = a × (1/b)（b≠0），符号规则同乘法（如6÷(-2)=6×(-1/2)=-3，-6÷(-2)=3） 3. 乘方法则（核心：底数为正，结果为正；底数为负，看指数奇偶） - 定义：n个相同因数a相乘，记为aⁿ（如2×2×2=2³，(-2)×(-2)=(-2)²）； - 符号规则：(-a)ⁿ：n为奇数得负，n为偶数得正（如(-2)³=-8，(-2)²=4）； - 注意：-aⁿ与(-a)ⁿ的区别（如-2²=-4，(-2)²=4）。 4. 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（如-2² + 3×(-4) = -4 -12 = -16）。 第7页：有理数的除法与乘方——转化与规则 除法可转化为乘法，乘方是特殊的乘法（相同因数相乘），需明确各自核心规则： 一、除法法则（转化思想：除变乘，数变倒） - 基本法则：a÷b = a×(1/b)（b≠0），符号规则与乘法一致（同号得正，异号得负）； - 具体运算：先确定符号，再将除数变为倒数，转化为乘法计算； - 示例：(-12)÷(-3)=(-12)×(-1/3)=4；(-12)÷3=(-12)×(1/3)=-4；0÷(-5)=0（0除以非零数得0）。 二、乘方法则（特殊乘法，关注底数与指数） - 定义：n个相同因数a相乘，记为aⁿ，其中a叫底数，n叫指数，aⁿ读作“a的n次幂”； - 符号规则： - 底数为正：无论指数奇偶，结果均为正（如2³=8，2⁴=16）； - 底数为负：指数为偶数得正，指数为奇数得负（如(-2)³=-8，(-2)⁴=16）； - 注意区分：-aⁿ与(-a)ⁿ（-aⁿ是“aⁿ的相反数”，(-a)ⁿ是“-a的n次幂”），如-2³=-8，(-2)³=-8；-2⁴=-16，(-2)⁴=16； - 特殊情况：0的任何正整数次幂都是0（0ⁿ=0，n为正整数），1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。 1. 科学记数法 - 表示形式：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）； - n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于整数位数减1（如567000=5.67×10⁵）；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于左起第一个非零数前零的个数（如0.000567=5.67×10⁻⁴）。 2. 近似数与有效数字 - 近似数：与实际接近的数（如π≈3.14，是精确到百分位的近似数）； - 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有3个有效数字：3、1、4；3.14×10⁵有3个有效数字：3、1、4）。 易错点：用科学记数法表示的数，有效数字只看a的部分，精确位数需还原后判断（如3.14×10⁵精确到千位）。 第8页：有理数的混合运算——顺序与技巧 混合运算涉及多种运算，“顺序”是核心，“技巧”是提升效率的关键： 一、混合运算顺序（严格遵循，不可颠倒） 1. 第一级：乘方（先算乘方，确定幂的结果）； 2. 第二级：乘除（再算乘除，从左到右依次进行）； 3. 第三级：加减（最后算加减，从左到右依次进行）； 4. 特殊规定：有括号先算括号内，括号顺序为“小括号→中括号→大括号”。 二、典型例题解析（按顺序分步计算） 例：计算 -2² + (-3)×[4 - (-2)³] ÷ (-6) 步骤1：算乘方：-2²=-4，(-2)³=-8； 步骤2：算小括号内：4 - (-8)=4+8=12； 步骤3：算中括号内（此时中括号简化为乘法）：(-3)×12=-36； 步骤4：算乘除：-36 ÷ (-6)=6； 步骤5：算加减：-4 + 6=2； 最终结果：2。 三、混合运算技巧 - 先标运算顺序：用横线、波浪线等标注不同级别的运算，避免顺序错误； - 分步计算：每完成一级运算，记录中间结果，再进行下一级； - 灵活用运算律：在乘除运算中用交换律、结合律，加减运算中用分配律，简化计算。 易错点1：概念混淆 例：判断“带负号的数都是负数”“有理数包括正数、负数和0”是否正确？ 解析：① 错误（如-(-2)=2是正数）；② 正确（有理数分类的基本结论）。 易错点2：运算符号错误 例：计算-3² - (-2)³ 错解：9 - (-8)=17 正解：-9 - (-8)=-1 解析：注意乘方符号优先级，-3²是“3的平方的相反数”，(-2)³是“-2的立方”。 易错点3：绝对值非负性应用 例：已知|a+2| + |b-3|=0，求a+b的值。 解析：绝对值非负，和为0则每一项为0 → a+2=0，b-3=0 → a=-2，b=3 → a+b=1。 易错点4：科学记数法的n值判断 例：将0.0000201用科学记数法表示 错解：20.1×10⁻⁶ 正解：2.01×10⁻⁵ 解析：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值是左起第一个非零数前零的个数。 第9页：常见易错点辨析与规避 有理数运算中，错误多源于法则混淆、顺序颠倒、符号失误，需针对性规避： 易错点1：乘方符号判断错误 错例：计算(-3)²时误算为-9，计算-3²时误算为9； 规避：明确底数范围，(-3)²的底数是-3，指数2为偶得正，结果为9；-3²的底数是3，先算3²再取反，结果为-9。 易错点2：混合运算顺序颠倒 错例：计算2×3+4时先算3+4=7，再算2×7=14； 规避：牢记“先乘方，再乘除，最后加减”，标注运算级别，分步计算，上述例子先算2×3=6，再算6+4=10。 易错点3：除法转化时符号失误 错例：计算(-8)÷(-2)时误转化为(-8)×(-1/2)=-4； 规避：转化后符号规则与乘法一致，同号得正，上述例子结果应为4，计算时先定符号再算绝对值。 易错点4：分配律应用不完整 错例：计算(-5)×(2-3)时误算为(-5)×2 - 3=-13； 规避：分配律需将括号内所有数与乘数结合，应为(-5)×2 + (-5)×(-3)=-10+15=5，或先算括号内2-3=-1，再算(-5)×(-1)=5。 易错点5：忽略“0”的特殊运算 错例：计算0÷(-5)时误算为-5，或计算(-5)÷0时认为结果为0； 规避：牢记“0除以任何非零数得0，0不能作除数”，上述前者结果为0，后者无意义。 1. 三大核心思想 - 转化思想：减法转加法、除法转乘法、复杂运算转简便运算； - 分类讨论思想：有理数分类、加法法则、乘方法则等均体现分类； - 数形结合思想：用数轴表示有理数，将抽象数与具体点结合。 2. 核心公式与结论 - 相反数：a的相反数是-a，a+b=0 ⇨ a、b互为相反数； - 绝对值：|a|=| -a |，|a|≥0； - 运算律：加法交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac。 3. 解题步骤口诀 遇运算，先定号，再算绝对值错不了；遇概念，抓本质，数轴相反数记心间；遇应用，明题意，科学记数近似要精准。 情景导入 一、本章知识结构图 有理数的运算 加法 减法 乘法 乘方 除法 交换律 结合律 分配律 探究新知 加 法 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得 0. 一个数与 0 相加，仍得这个数. 探究新知 减 法 减去一个数，等于加这个数的相反数. a－b = a + (－b) 探究新知 乘 法 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与 0 相乘，都得 0. 倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数. 0 没有倒数，倒数和相反数一样都是成对出现的. 探究新知 除 法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 探究新知 乘 方 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 负数的奇次幂是负数. 负数的偶次幂是正数. 正数的任何次幂都是正数. 0 的任何正整数次幂都是 0. 探究新知 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号先做括号内的运算， 按小括号、中括号、大括号依次进行. 探究新知 运算律 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b)+ c = a + (b + c) 乘法交换律：ab = ba 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 分配律：a(b + c) = ab + ac 探究新知 科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1， 且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法. 探究新知 复习巩固 1. 计算： 【教材P61】 （1）-150 + 250； （2）-15+(-23)； （5）(-6)×(-16)； （6）(- )×27； （3）-5-65； （4）-26-(-15)； 100 -38 -70 -11 96 -9 （7）8÷(-16) ； （8） ； （9） . 课堂练习 2. 计算： （1）6 + (- )-2-(-1.5)； （2）(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5； （3）(-6.5)×(-2)÷(- )÷(-5)； （4）(-66)×4-(-2.5)÷(-0.1)； -9 5.3 -289 （5）(-2)2×5-(-2)3÷4； （6）-(3-5)+ 32×(1-3). 22 -16 课堂练习 3. 互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？ 解：互为相反数的两数的和是 0，互为倒数的两数的积是 1. 课堂练习 4. 用科学记数法表示下列各数： （1）100 000 000；（2）4 500 000；（3）692 400 000 000. 解：（1）100 000 000 = 1×108 （2）4 500 000 = 4.5×106 （3）692 400 000 000 = 6.924×1011 课堂练习 5. 用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）245.635（精确到 0.1）； （2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）； （4）6.537 8（精确到 0.01）. 245.635 ≈ 245.6 175.65 ≈ 176 12.004 ≈ 12.00 6.5378 ≈ 6.54 课堂练习 6. 计算： （1）-2-|-3|； （2）|-2-(-3)|. -5 1 课堂练习 综合运用 7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜 黄队，比分为 4∶2；蓝队胜黄队，比分为 3∶1；红队 负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为 负，那么三队的净胜球数各是多少？ 红队：(4-2) + (2-3) = 1 黄队：(2-4) + (1-3) = -4 蓝队：(3-1) + (3-2) = 3 课堂练习 8. 下列各数是十名学生的数学检测成绩： 82，83，78，66，95，75，61，93，82，81. 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力. 解：估算他们的平均成绩是 75，再重新记写他们的成绩：将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0. 他们的成绩如下：7，8，3，-9，20，0，-14，18，7，6. [7 + 8 + 3 + (-9) + 20 + 0 + (-14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6， 平均成绩是 75 + 4.6 = 79.6 课堂练习 9. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）. 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少. 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 -27.8 -70.3 200 138.1 -8 188 458 458-(-27.8-70.3 + 200 + 138.1-8 + 188) = 38 (元) 答：星期六盈利，盈利了 38 元. 【教材P62】 课堂练习 10. 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先 向东走了 7 km，又向东走了 3 km，然后折返向西走了 11.5 km. 此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？ 7 km 3 km 11.5 km 11.5-7-3 = 1.5（km） 答：他在驻地的西方，与驻地的距离是 1.5 km. 驻地 课堂练习 11. 在 0~40 ℃ 范围内，当温度每上升 1 ℃ 时，某种金属丝约伸长 0.002 mm；反之，当温度每下降 1 ℃ 时，金属丝约缩短 0.002 mm. 把 20 ℃ 的这种金属丝加热到 30 ℃，再使它冷却降温到 5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 解：把 20℃ 的金属丝加热到 30℃，其伸长的长度约为0.002×(30-20) = 0.002×10 = 0.02(mm)； 再把 30℃ 的金属丝冷却降温到 5℃，其缩短的长度约为0.002×(30-5) = 0.002×25 = 0.05(mm). 最后的长度比原长度约伸长 0.02 + (-0.05) = -0.03(mm). 课堂练习 12. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为 1.496 亿千米. 试用科学记数法表示 1 个天文单位 是多少千米. 1.496 亿千米 = 149 600 000 km = 1.496×108 km 答：一个天文单位是 1.496×108 千米。 课堂练习 13. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后 比较下列数的大小： 拓广探索 （1）小于 1 的正数 a，a 的平方，a 的立方； （2）大于 -1 的负数 b，b 的平方，b 的立方. 解:（1）当a = 0.1时，a2= 0.01，a3 = 0.001，a>a2>a3. （2）当b = -0.2 时，b2 = 0.04，b3 = -0.008，b2>b3>b. 课堂练习 14. 结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法 是否正确. 如果认为正确，请说明理由；如果认为错误， 请举出反例. （1）任何数都不等于它的相反数； 错， 0 的相反数是其本身. 课堂练习 （2）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等； （3）如果 a 大于 b，那么 a 的倒数小于 b 的倒数. 对，因为互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等. 错，例如 a = 1，b = -1，则a > b，其倒数 课堂练习 15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： 1×1=________； 11×11=_______； 111×111=________； 1111×1111=__________. （1）你发现了什么？ 1 121 12321 1234321 发现如下规律：1…1×1…1 = 123…(n-1)n(n-1)…321 n个 n个 课堂练习 （2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？ 12345678987654321 课堂练习 考点1 倒数 1. 下列说法中，正确的是( ) B A. 任何数都有倒数 B. 互为倒数的两个数的积为1 C. 一个数的倒数一定比这个数小 D. 互为倒数的两个数的和为零 返回 考试考法 29 考点2 有理数的加减运算 2. 计算 ，这 个运算应用了( ) C A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对 返回 考试考法 30 3.［2025重庆万州区期中］如图，有一根小棍, 在的左边在数轴上移动，数轴上， 两点之间的距离 为20，当移动到与，其中一个端点重合时，点 所对应 的数为8，当移动到线段的中点时，点 所对应的数为 ________. 18或 返回 考试考法 31 考点3 有理数的乘除运算 4. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点 分别表示数，，且， ，则原点落在( ) C A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 返回 考试考法 32 5.［2025温州期中］小明有5张卡片，如图.请你按要求抽出 卡片，完成下列各题. （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大， 最大是___; （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小， 最小是____; 8 考试考法 33 （3）从中抽出除0以外的4张卡片，将卡片上的4个数字进行 加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24（注：每个 数字都要用且只能用一次），如： ， 请另写出一种符合要求的运算式子： ____________________________________________. （答案不唯一） 返回 考试考法 34 6.用简便方法计算： （1） ； 【解】原式 . 考试考法 35 （2） . 原式 . 返回 考试考法 36 考点4 有理数的乘方 7. 下列各组数中，不相等的一组是( ) A A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 返回 考试考法 37 8. 乐乐发现一个神奇的箱子，当正数钻进这 个箱子以后，结果就转化为它的相反数；当负数或零钻进这 个箱子以后，结果没有发生变化，乐乐把 放进了 这个神奇的箱子，则结果是( ) C A. 13 B. 5 C. D. 10 【点拨】 .因为负数钻进这 个箱子以后，结果没有发生变化，所以结果是 . 返回 考试考法 38 考点5 有理数的混合运算 9.计算： （1） ; 【解】原式 . 考试考法 39 （2） . 原式 . 返回 考试考法 40 考点6 科学记数法 10. ［2024达州］大米是我国居民最重要的主食之一，与此 同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳 定在2亿吨以上，将2亿用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 41 11.若一个整数用科学记数法表示为 ， 则原数中“0”有___个. 8 返回 考试考法 42 考点7 近似数 12.光在不同介质中由于折射率的不同会产生不同的传输速度， 比如在纯净水中其速度大约为 ，其中近似数 精确到______位. 百万 返回 考试考法 43 思想1 数形结合思想 13.在数轴上，有理数，的位置如图，将与 的对应点间 的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为， ， ，，，且， .下列结论： ；； ； . 其中所有正确结论的序号是______. ①④ 考试考法 44 【点拨】因为，，所以 ，且距离原点比 较远，，且距离原点比较近，所以中点所表示的数 在 原点的左侧，所以 ，所以①正确；由数轴所表示的数 可知，可能大于0，也可能小于0，所以 的符号 不确定，所以②不正确；因为 可能大于0，也可能小于0， 所以与 不一定相等，所以③不正确；因为 在原点的左侧，而在原点右侧，所以表示数 的点到表 考试考法 45 示数的点的距离为，所以到 的距离为 ，即 ，所以④正确. 返回 考试考法 思想2 分类讨论思想 14.［2025金华期中］【阅读理解】 表示5与2的差的绝 对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距 离；同理可以理解为 与1两数在数轴上所对应的两点 之间的距离，就表示 在数轴上对应的点 到表示 的点的距离. 考试考法 47 （1）【概念理解】 的几何意义是___选择A或 ， 的最小值为___； A.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数 2的点的距离之和 B.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数 的点的距离之和 B 6 考试考法 48 【点拨】理解为在数轴上表示的点到 和 4的距离之和，所以当点在 和4之间的线段上，即 时， 有最小值，最小值为 . 考试考法 49 （2）【尝试应用】 若，则 _______； 或5 【点拨】当 在3的右边时，原等式可变形为 ，解得;当在 的左边时，原等式可 变形为，解得;当在3与 之间时， 距离为，即不成立.故答案为 或5. 考试考法 50 （3）【拓展延伸】 已知整数，，满足 ， 则式子 的最大值和最小值分别为多少？ 考试考法 51 【解】因为， ， ，且,, 均为整数,所以110只能分解为 . 因为 ， 所以， ， ， 考试考法 52 从而，，或 ， 易知当，，时， 的值最大，最大 为 ， 易知当，，时， 的值最小,最小 为 . 返回 考试考法 谢谢观看！ $