4.1 数列的概念（九大题型+专项练习）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 题型一 利用an和Sn关系求通项或项 1．已知数列的前项和满足：，且，那么（    ） A．2 B．4 C．2026 D．2028 2．已知数列的前n项和为，则的通项公式是 . 3．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)在平面直角坐标系中，已知点，定义点，（其中），记，．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 题型二 观察法求数列通项 4．已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 6．已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． (1)若，求的值； (2)若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； (3)已知，求的值． 题型三 定义法求数列通项 7．已知数列满足：，且，若对任意的，不等式恒成立，则实数的范围为 8．定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，． (1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由； (2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性． 9．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 题型四 根据数列递推公式写出数列的项 10．已知数列满足，则（    ） A．11 B．23 C．35 D．47 11．数列满足，则 . 12．已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． (1)若，，，，求； (2)是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； (3)求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 题型五 由递推关系式求通项公式 13．已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 14．已知数列满足递推公式，．设为数列的前项和，则的最小值是 ． 15．已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 题型六 由递推数列研究数列的有关性质 16．记数列的前项和为，，，则（    ） A．9 B． C．10 D． 17．已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为 . 18．已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 题型七 求递推关系式 19．数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 20．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列”满足，给定前2项均为1的“兔子数列”，记其前项和为，试用含的代数式表示= ． 21．已知在数列中，，求证： (1)； (2)； (3)． 题型八 递推数列的实际应用 22．生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 23．已知数列和，其中，，的各项是互不相等的正整数．若对于任意，的第项等于的第项，则 ． 24．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型九 根据数列的单调性求参数 25．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 26．已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是 27．已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 题型一 利用an和Sn关系求通项或项 1．已知数列的前项和满足：，且，那么（    ） A．2 B．4 C．2026 D．2028 【答案】A 【分析】根据题意，令，求得，再令，即可求解. 【详解】由数列满足，且， 令，可得，即， 再令，可得. 故选：A. 2．已知数列的前n项和为，则的通项公式是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 不满足，， 故答案为：. 3．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)在平面直角坐标系中，已知点，定义点，（其中），记，．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据前项和与通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据两角差的正切公式，结合正切函数的性质进行运算证明即可； （ⅱ）根据上一问的结论，结合特殊角的正切值进行求解即可. 【详解】（1）当时，，解得， 当时， ， 化简得：， 经检验得，时也满足，故． （2）（ⅰ）证明：由题意可知：，则，， 因为， 且，，所以，即 所以，． （ⅱ）证明：由（ⅰ）问的证明可知： ． 因为，则，所以． 题型二 观察法求数列通项 4．已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 5．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 6．已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． (1)若，求的值； (2)若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)（为常数，且），理由见解析 (3) 【分析】（1）在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16，可得，计算即可； （2）分析，，是去掉这些项， 当时，推理可得，进一步化解可得结果； （3）先分析，研究其单调性，且，可得，已知化简可得，讨论即可得出结果. 【详解】（1）由数列的定义可知，在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16， 可得，因为，所以的值为4. （2）当时，数列为， 当时，， 由，得为常数，且， 其中（为常数，且）， 因此为常数，且， 所以数列的通项公式为（为常数，且）． （3）因为对任意且，都有， 则 ， 所以，即数列单调递减，则． 又因为， 所以对任意的，都有． 由数列单调递减，且，可得， 则当时，，即，当时，，即． 故 题型三 定义法求数列通项 7．已知数列满足：，且，若对任意的，不等式恒成立，则实数的范围为 【答案】或 【分析】先求出数列的通项公式，再求出其最大值，然后求出在上的最小值，即可解不等式组求出． 【详解】由得，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．所以，即， 因为在上单调，所以， 因此可得即，解得或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法、数列最大项的求法，不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力． 8．定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，． (1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由； (2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性． 【答案】(1)不唯一，理由见解析 (2)，数列是递增数列 【分析】（1）根据“等平方差数列”的定义求出可得答案； （2）判断的正负可得答案. 【详解】（1）根据“等平方差数列”的定义，及，， 得， 即，解得． 依题意，得， 所以， 所以满足条件的数列不唯一； （2）因为， 所以由（1）得， 因为， 所以，所以数列是递增数列． 9．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 【答案】(1) (2)88不是数列中的项 【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式； （2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项. 【详解】（1）解：因为，，通项公式， 所以， 解得，， 所以； （2）令， 解得， 因为， 所以88不是数列中的项. 题型四 根据数列递推公式写出数列的项 10．已知数列满足，则（    ） A．11 B．23 C．35 D．47 【答案】B 【分析】根据递推公式逐项计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 11．数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】先根据递推关系计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可. 【详解】数列 满足 ，且 ， 则 . 所以数列 是周期为4的周期数列， 所以 所以 所以. 故答案为：. 12．已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． (1)若，，，，求； (2)是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； (3)求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 【答案】(1)，，，，，，， (2)不存在，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设代入求解即可； （2）根据反证法即可证明； （3）由题可知当时，，再分类讨论，和两种情况，结合题设即可证明． 【详解】（1）由已知得，，，， 同理可得，，，，． （2）若存在正整数，使得全为0，不妨设是最小的， 则，，，， 所以， 由题意，， 若，则这与条件①矛盾； 若， 则 ， 所以，这与的取法矛盾， 综上，不存在正整数，使得全为0． （3）由题可知当时，， 故时，， （ⅰ）若，则，时，， 所以， 故当时，， 也即中有一个数的绝对值大于2025； （ⅱ）若，则由得， 设，，，，因为x，y不同时为0，不妨设其中， 则，，，， ，，，， 归纳可知，，，，， 进而，， 所以， 综上，一定存在正整数，使得中有一个数的绝对值大于2025． 题型五 由递推关系式求通项公式 13．已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得. 【详解】由于，即，整理得， 当时，单调递增，符合； 当时，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 当时，则，，不符， 当时，则，不符， 当时，则，，不符， 故选：A. 14．已知数列满足递推公式，．设为数列的前项和，则的最小值是 ． 【答案】/4.25 【分析】先通过构造等比数列求出数列的通项公式，再计算前项和，代入目标表达式后化简，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性求最小值． 【详解】，， 数列是首项为，公比为2的等比数列， ，故， ， ， 令，则， 求导得，令，解得或（，舍去）， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则在处取得极小值， ，，故只需要比较与的大小， 当时，，， 当时，， 的最小值是． 故答案为：． 15．已知数列满足，且对任意的，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的定义，把二阶递推转化为等差数列，求出通项公式； （2）利用的通项公式确定的取值区间，分段统计并求和． 【详解】（1）由可得， 又，，即是以3为公差的等差数列， 又，得， ，解得，故， ． （2）， ， 又，当时，， 当时，，共3项， 当时，，共项， 当时，，共项， 当时，，共7项， ． 题型六 由递推数列研究数列的有关性质 16．记数列的前项和为，，，则（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】先根据递推数列求出是周期为2的数列，然后求出前25项和. 【详解】由，得， 令，则，所以，， 所以，所以是周期为2的数列． 由题设易得，所以． 故选：D. 17．已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为 . 【答案】1或4./4或1 【分析】由，，可得，再分为奇数时、为偶数求解即可. 【详解】因为， 当为奇数时，， 即，解得， 与矛盾； 所以为偶数， 所以，即， 解得； 当为奇数时，， 即，解得； 当为偶数时， 所以，即， 解得 综上，的值为1或4. 故答案为：1或4. 18．已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【答案】(1)，第2026项 (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得递推式，再根据递推即可求解； （2）通过构造数列，可得是常数列即可证明. 【详解】（1）观察数列知，数列从第三项起，每一项是前两项的和，即递推关系为， 则，，， 所以， 所以 ， 即是该数列的第2026项； （2）证明：由（1）知，，所以 所以， 所以数列是常数列，所以，为定值. 题型七 求递推关系式 19．数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可. 【详解】因为 所以， 故选：D 20．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列”满足，给定前2项均为1的“兔子数列”，记其前项和为，试用含的代数式表示= ． 【答案】 【分析】将题设相邻项的加法关系变形为减法关系，然后写出个式子累加即可求得与的关系式. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 故答案为：. 21．已知在数列中，，求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用缩放不等式推导得出结论； （2）令，利用缩放不等式推出，累加得出 ，从而推出结论； （3）利用数学归纳法证明结论. 【详解】（1）由得，所以． （2）令， 由得， 累加即得， ， 即． （3）， 即证明． 证法1：用数学归纳法证明． 当时，显然成立； 假设当时，， 则当时， ． 下面证明， 即证明， 即证明，显然成立； 综上可知原不等式成立． 证法2：先证明， 即证明， 即证明， 即证明，显然成立． 累加得 ， 即成立， 所以原不等式成立． 题型八 递推数列的实际应用 22．生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【答案】B 【分析】设第年共有条树枝，结合题意可得，，，计算出即可得. 【详解】设第年共有条树枝，则有，， 第三年开始，新枝变老枝，继续生长， 则当时，， 故有 . 故选：B. 23．已知数列和，其中，，的各项是互不相等的正整数．若对于任意，的第项等于的第项，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意先求得，然后可知，再依题意求得，然后可解. 【详解】因为，所以，， 所以， 又的各项是互不相等的正整数，所以，所以，且， 又， 所以. 故答案为：2 24．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 题型九 根据数列的单调性求参数 25．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【详解】将变形为. . 若数列递增，则，即. 因，故，即（此为充要条件）， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A 26．已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是 【答案】 【分析】结合对勾函数的性质及列出不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是严格增数列，所以, 即，解得. 故要使得数列是严格增数列，需满足. 由于，即，即, 即 , 解得或或 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 27．已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【详解】（1）当时， 所以， . 当时，，上式亦成立. 所以. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记，故， 所以当时，，所以，即， 当时，，即随着n的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $