4.1 数列的概念（九大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 题型一 数列的概念及解析 1．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据数列前项和与的关系，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误. 当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误. 当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列为，，满足，但，所以选项错误. 已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确. 故选：D. 2．设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 3．已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推公式，分别写出数列的前四项，结合题意，可得答案； （2）由题意建立数列中的奇数项与数列中项的等式方程，可得答案； （3）由（2）将数列分为奇数项与偶数项两个子数列，将数列分为等距的个子数列，由题意，可得答案. 【详解】（1）由，可得，，，， 由，可得，，，， 由题可得，，， （2）因为数列是由数列和的项构成，所以只需讨论数列的项是否是数列的项即可. 设，， 所以，即，所以是中的项； 假设，所以， 所以不是的项. 综上所述，在数列中，但不在数列中的项恰为，，…，，…. （3）由（2）知，， ，， 又，， 所以依次可得，，，，， 所以. 题型二 根据规律填写数列数列中的某项 4．分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【详解】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 5．已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 【答案】 【分析】根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】数列的奇数项满足， 数列的项形式为，   观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为，   因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 6．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 【答案】36 【分析】根据每一个图形与项数n的关系进行仔细观察，发现规律． 【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第n层放个， 所以第六层放36个. 题型三 数列周期性的应用 7．已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系可求得数列的周期，由此可求得. 【详解】， 数列是周期为的数列， 又，，， 所以， . 故选：A. 8．已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意求出，易得数列是周期为的周期数列，从而得解. 【详解】，， 所以数列是周期为的周期数列， 又. 故答案为： 9．已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. （2）证明：不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数，故是常数. 故可记，则当时，是常数， 即，使得当时，是常数. 题型四 判断数列的增减性 10．已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题目所给单调性，分析得出，再反证法或者举反例判断选项. 【详解】由题意可得是递增数列，是递减数列， 则， 两式相乘得， 由于，则， 则，， 所以； 若，，则，矛盾，所以，，故A正确，C错误； 若，则，时，，， 符合是递增数列，，符合是递减数列，此时； 若，同样符合题意，但； 所以B、D错误； 故选：A. 11．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 【答案】1 【分析】根据两数列单调性，由散点图可得至多有1个交点. 【详解】因为为递增数列，为递减数列，与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列， 故的散点图呈上升趋势，的散点图呈下降趋势，两者至多有1个交点. 故答案为：1 12．某次练习上一道多选题中的一个选项为“已知数列的前项和为，且，则数列为递增数列”．小华同学在草稿纸上的解答过程如下： 解：已知，则，两式相减得，故数列为递增数列． 请问小华的解答过程和结论是否正确?如果不正确，请简要说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】利用，求得即可判断结果. 【详解】不正确． 理由：当时，，两式相减得， ，只能说明数列从第二项开始是递增数列， 还需检验首项． 因为，，， 所以数列不是递增数列． 题型五 确定数列中的最大（小）项 13．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 14．设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】求得，结合对勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】由题意可得， 所以， 令，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且，， ， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 15．已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 【答案】(1)最小值为，此时或8； (2). 【分析】（1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应值； （2）应用的关系求通项公式. 【详解】（1）由，， 故或时，最小为； （2）当时，， 当时，， 显然不满足上式，故. 题型六 有穷数列和无穷数列 16．已知数列中，，，则的前12项和为（   ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据已知条件，将数列的前12项和进行分组，然后计算每组的和，最后求出总和. 【详解】数列的前12项和. 根据，可将上式分组为. 由可知，每组的和都为. 一共有组，每组和为，所以. 故选：C. 17．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为 ． 【答案】 【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可得即可得解. 【详解】当时，， 因为有穷数列，，， 所以当项数最大时，，则， ，， 将以上各式相加得， 即， ，即，则. 故答案为： 18．已知数列{an}满足：，且an+1（n=1，2…）集合M={an|}中的最小元素记为m. （1）若a1=20，写出m和a10的值： （2）若m为偶数，证明：集合M的所有元素都是偶数； （3）证明：当且仅当时，集合M是有限集. 【答案】（1）6，22；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）利用递推公式依次求出数列的前10项，推导出集合中的最小元素．． （2）推导出，当时，或，由为偶数，得到为偶数，为偶数，由此能证明若为偶数，则集合的所有元素都是偶数． （3）推导出，当时，．从而集合．由此能证明当且仅当时，集合是有限集． 【详解】因为数列满足：，且 集合中的最小元素记为． 所以， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以集合中的最小元素．． （2）证明：因为数列满足：，且， 集合中的最小元素为偶数． 所以，当时，或， 因为为偶数，为偶数，为偶数， 所以若为偶数，则集合的所有元素都是偶数． （3）证明：因为数列满足：，且， 集合中的最小元素为偶数．当且仅当， 所以，当时，． 得集合． 所以，当且仅当时，集合是有限集． 【点睛】本题考查数列的第10 项和最小项的求法，考查数列中所有项都是偶、集合是有限集的证明，考查数列的递推公式、等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力． 题型七 判断或写出数列中的项 19．数列的第6项为（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】令项数，即可求解. 【详解】当时，， 所以数列的第6项为. 故选：B 20．若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 【答案】2 【分析】根据求解出的值，则结果可知. 【详解】令，解得或(舍去)， 所以是数列中的第项， 故答案为：2. 21．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由，一一代入计算和的值即可，再由数列前三项结构猜测通项公式； （2）利用与的关系得出，再由累乘法计算即可. 【详解】（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 题型八 累加法求数列通项 22．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 所以当时，， 累加得当时，， 又当时，也满足，所以， 所以. 故选：C 23．在数列中，，，则 . 【答案】5 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 24．已知数列满足，． (1)求证：； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推公式，判断出数列为单调减数列，和数列所有项均为正数，得出的范围，再根据递推公式，计算出结果即可. （2）根据递推公式和累加法，求出的递推公式，根据数列的范围，使用放缩法可得的范围，进而证明不等式. 【详解】（1）由题意得，即，故． 由得， 由得， 所以成立． （2）由，得， 累加得， 由和，得， 由，所以， 因为，所以， 因此，得， 可知，即， 所以. 题型九 累乘法求数列通项 25．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 26．已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 27．（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据递推关系，用累乘法求通项公式；借助构造法构造等差数列求通项公式；结合分组求和求通项公式； 【详解】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 题型一 数列的概念及解析 1．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 3．已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 题型二 根据规律填写数列数列中的某项 4．分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 5．已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 6．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 题型三 数列周期性的应用 7．已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，若，则 ． 9．已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 题型四 判断数列的增减性 10．已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 12．某次练习上一道多选题中的一个选项为“已知数列的前项和为，且，则数列为递增数列”．小华同学在草稿纸上的解答过程如下： 解：已知，则，两式相减得，故数列为递增数列． 请问小华的解答过程和结论是否正确?如果不正确，请简要说明理由． 题型五 确定数列中的最大（小）项 13．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 14．设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为 . 15．已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 题型六 有穷数列和无穷数列 16．已知数列中，，，则的前12项和为（   ） A．12 B．15 C．18 D．20 17．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为 ． 18．已知数列{an}满足：，且an+1（n=1，2…）集合M={an|}中的最小元素记为m. （1）若a1=20，写出m和a10的值： （2）若m为偶数，证明：集合M的所有元素都是偶数； （3）证明：当且仅当时，集合M是有限集. 题型七 判断或写出数列中的项 19．数列的第6项为（   ） A． B． C． D．19 20．若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 21．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 题型八 累加法求数列通项 22．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 23．在数列中，，，则 . 24．已知数列满足，． (1)求证：； (2)设数列的前项和为，求证：． 题型九 累乘法求数列通项 25．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 26．已知数列满足，，则数列的通项公式是 27．（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $