15.1.2线段的垂直平分线（第一课时）教学设计2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题与定理，通过复习轴对称图形，结合AI几何绘图工具动态展示线段对称轴，衔接全等三角形与轴对称旧知，类比角平分线探究方法搭建学习支架。 亮点在于以“观察-猜想-证明”探究流程培养推理能力，AI推理辅助工具分步展示证明过程，实时批改练习提升效率。例2探究三角形垂直平分线交点体现空间观念，互逆命题学习发展推理意识，助力学生提升几何表达与证明能力，帮助教师高效突破重难点。

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 15.1.2 线段的垂直平分线（第一课时） 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 初中 版本章节 人教版八年级上册15.1.2 教学目标 1.经历探索和证明，理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2.会运用线段的垂直平分线的性质及判定解决有关问题； 3.了解互逆命题和互逆定理的概念； 4.素养目标：通过探究线段垂直平分线的性质，提升学生运用数学语言表达和证明的能力，培养逻辑推理能力与空间观念. 教学重难点 重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用. 难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用. 学情分析 八年级学生已掌握全等三角形的性质和判定，以及轴对称图形的基本概念，具备初步的几何画图和简单推理能力，但对几何命题的证明和互逆关系的理解较为薄弱，需要通过具象探究和实例演练逐步突破难点。本节课通过类比探究角平分线的性质与判定的研究方法，去探究线段的垂直平分线。 教学准备 1. 教具：直尺、圆规、多媒体课件； 2. 学具：直尺、圆规、练习本； 3. 预习任务：提前复习轴对称图形的相关知识。 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） 复习引入（2分钟） 预学：1.线段是轴对称图形吗？你能找到线段的对称轴吗？ 2.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线和它的对称轴有怎样的关系？ 3.已知直线l是线段AB的垂直平分线，则 AC=_____ , l____AB . 通过复习旧知，唤醒学生对轴对称图形的记忆，为线段垂直平分线的学习奠定基础，同时通过动手操作激发学生参与兴趣。 利用AI几何绘图工具，实时展示线段AB对称轴的绘制过程，可动态调整线段长度，让学生直观观察对称轴与线段的垂直平分关系。 情景导入（2分钟） 导学：播放小视频，引入垂直平分线的探究问题。 结合生活实际问题，引发学生思考，让学生感受到数学与生活的联系，从而自然引入本节课核心内容的探究。 借助AI地图模拟功能，让学生在地图上尝试标注可能的位置，增强问题的直观性和互动性。 合作探究（16分钟） 互学：合作探究1：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现?可以得到什么猜想？ 发现：______________ 猜想:线段的垂直平分线有以下性质： 你能证明这个猜想吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上. 求证：PA＝PB. （小组合作完成证明，并交流分享） 小结1：线段的垂直平分线的性质： . 几何语言： 探究2思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 猜想：_________________ 已知：如图，在△ABP 中,PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 小结2：线段的垂直平分线的判定:_____________ 几何语言： 互逆命题与互逆定理 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 我们把具有这种关系的两个命题叫作 ，如果把其中一个叫作 ，那么另一个叫作它的 . 追问:你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 ，其中一个定理叫作另一个定理的 . 思考:以下两位同学的说法是否正确？ 小明：真命题的逆命题是真命题，假命题的逆命题也是假命题。 小芳：命题一定有逆命题，定理一定有逆定理。 小结3：______________ 通过观察、猜想、证明的完整流程，培养学生的逻辑推理能力，让学生深入理解线段垂直平分线的性质与判定。 通过对比线段的垂直平分线的性质和判定，学习并掌握互逆命题和互逆定理的概念。 运用AI推理证明辅助工具，分步展示性质和判定的证明过程，可点击展开每一步推理依据，帮助学生理清证明思路。 通过AI题库自动匹配类似互逆命题、互逆定理实例，供学生参考。 例题讲解与跟踪练习（12分钟） 悟学：例1.（1）如图，PD为线段AB的垂直平分线，若PB=3  cm ,则PA 的长为( ). A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm （2） 如图，△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D，连接 BD. 若AC=8，CD=5，则BD= . 跟踪训练：1-1.如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1-2.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线,AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为_____. 例2. 如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. （1）求证 PA = PB = PC. （2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 跟踪训练：2-1. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 例3.已知命题“如果a=b,那么a2=b2.” (1)写出此命题的逆命题； (2)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 跟踪训练：3-1写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3) 全等三角形的对应角相等 . 悟学：总结反思 1. 本节课我们学习了什么知识？ 2.你还有哪些收获吗？还有什么疑问吗？ 3.布置作业：1. 基础作业：课本第67页第一题，第70页第5题； 2. 提升作业：绘制生活中运用线段垂直平分线性质的实例图，并简要说明理由； 3. 拓展作业：收集更多互逆命题和互逆定理，整理成笔记。 通过例题巩固线段垂直平分线的性质与判定的应用，通过不同题型的练习，让学生灵活掌握知识。 通过实例加深学生对互逆命题的理解。 利用AI答题批改功能，学生完成练习后实时提交，AI快速批改并标注错误，针对共性问题进行集中讲解，个性化问题推送解析思路。 随堂检测（8分钟） 1. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD=6 cm，BC=10 cm，则BD=_____cm.  2.如图，公园里有一块三角形草坪(△ABC)，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC 三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ） A、三条边的垂直平分线的交点处 B、三条角平分线的交点处 C、三条高的交点处 D、三条中线的交点处 3.下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．全等三角形的面积相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．等边三角形的三条边相等 拓展应用，提升技能 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD = DE，连接AE. （1）求证：AB=EC； （2）若△ABC的周长为40cm，AC=16cm，求DC的长. 及时检测学生本节课的学习效果，发现学生存在的问题，以便后续进行针对性辅导。 使用AI在线答题系统，学生限时完成检测题，提交后AI自动生成个人错题报告，标注知识点薄弱环节。 作业设计 1. 基础作业：课本第67页第一题，第70页第5题； 2. 提升作业：绘制生活中运用线段垂直平分线性质的实例图，并简要说明理由； 3. 拓展作业：收集更多互逆命题和互逆定理，整理成笔记。 板书设计/课堂小结 板书： 例2.证明：（1）证明：∵边 AB，BC 的垂直平分线交于点 P， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. ∴PA = PB. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. （2）解：由（1）知 PA = PC， ∴点 P 也在边 AC 的垂直平分线上. 由此可得出结论：三角形三边的垂直平分线交于一点. 15.1.2 线段的垂直平分线（第一课时） 一、性质 ：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言：∵直线l⊥AB，AC=CB，P在l上 ∴PA=PB 2、 判定 ：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 几何语言：∵PA=PB ∴P在线段AB的垂直平分线上 3、 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：题设和结论互换的两个命题 2. 互逆定理：逆命题为真命题的两个定理 课堂小结： 1.本节课我们学习了什么知识？ 2.你还有哪些收获吗？还有什么疑问吗？ 教学反思 1. 成功之处：通过生活情境和动手操作激发了学生兴趣，探究环节层层递进，有效突破了重难点，学生对性质和判定的掌握情况较好； 2. 不足之处：部分学生对互逆命题的理解仍不够透彻，证明过程的逻辑表达不够规范； 3. 改进方向：后续教学中增加互逆命题的实例练习，加强几何证明题的书写指导，借助AI工具为学困生推送个性化辅导资源。 学科网（北京）股份有限公司 $