学易金卷：高二数学上学期第三次月考（天津专用，人教A版2019选修一：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 5．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（    ）    A． B． C． D． 8．已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A． B． C． D．7 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．直线恒过定点 ． 11．设，向量，且，则 . 12．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 13．如图，在正方体中，点分别是，的中点，则下述结论中正确的序号为 .    ①平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为. 14．已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 15．已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值． 18．（15分） 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点； （1）若的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值. 20．（16分） 已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D C A C C B D A A 第二部分（非选择题 共105分） 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．2 13．①②③ 14．2 15．2 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【解析】（1）因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率，（1分） 因此线段的垂直平分线方程是.（2分） 联立，解得， 所以圆心的坐标.（4分） 圆的半径长（6分） 所以圆心为的圆的标准方程是；（7分） （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离.（8分） ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意.（10分） ②当直线的斜率存在时，设，即. 所以，解得或.（12分） 直线的方程为或（14分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（5分） （2）设点、，由题意可知直线的方程为， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，，（9分） 因为，所以 ，解得，合乎题意. 综上所述，.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面.（5分） （2）在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为.（12分） （3）由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边 点到准线的距离 圆的方程为（7分） （2）由对称性设， 则点关于点对称得：得：， 直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为.（15分） 20．（16分） 【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆的方程为.（5分） （2）设，则有，两式相减得 ， 联立直线与椭圆的方程得， 消去整理得， 则有，解得，.（10分） （3）设，则，直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，与椭圆联立消去得，所以， 解得，， 直线的方程为，令， 则， 所以.（16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 5．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（    ）    A． B． C． D． 8．已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A． B． C． D．7 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．直线恒过定点 ． 11．设，向量，且，则 . 12．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 13．如图，在正方体中，点分别是，的中点，则下述结论中正确的序号为 .    ①平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为. 14．已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 15．已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值． 18．（15分） 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点； （1）若的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值. 20．（16分） 已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1.Al[BIICIDI 4JAIIBIICIIDI 7AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 5.1AJIBIICIIDI 8.[AIIB]ICIID] 3.[AIIBI[CIIDI 6.1AIIBIICI[DI 9IAIIBIICIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11. 12. 13. 14. 15 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天邀共)个小逖，共)分.胼合应与出义子况明，止明心程义演异步球) 16. (14分) 请在结题铭等容题钱，作鲨出组形限框限蜮载南溪无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 2．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】因为AB为直径，则的中点为， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为 故选：A． 4．已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 5．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率. 【详解】根据题意：，，解得，， 故离心率. 故选：D 8．已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则， 所以， 又点、在双曲线上，得，两式相减得， 可得，因为，所以， 因此. 故选：A 9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点和上顶点的直线交椭圆于另外一点，若，且的面积为．则正数的值为（　　） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】设椭圆的标准方程为，求得直线l的方程：，与椭圆方程联立求得，由，可得，进而得，利用面积可得，求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，这里，， 因此，，焦距满足， 又，上顶点. 所以，所以直线l的方程：. 代入椭圆方程得， 整理得，解得或， 所以， 所以，， 又因为，所以， 所以且， 所以，又因为，所以 因为的面积为，所以，解得 即，所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以. 故选：A. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将直线化为，即可得定点. 【详解】由题设，显然直线过定点. 故答案为： 11．设，向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 12．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 13．如图，在正方体中，点分别是，的中点，则下述结论中正确的序号为 .    ①平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为. 【答案】①②③ 【分析】①连接，利用中位线完成证明；②通过证明和，结合线面垂直和面面垂直的判定定理完成证明；③利用向量法求解出夹角的余弦值，则结果可知；④利用向量法求解出与平面的法向量夹角的余弦值，则结果可知. 【详解】①如图，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点， 又因为为的中点，所以，且平面，平面， 所以平面，故正确；    ②因为四边形是正方形，所以， 因为几何体是正方体，所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故正确； ③以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    设正方体棱长为，则， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故正确； ④因为， 所以， 设平面的一个法向量为，直线与平面所成角为， 则，取，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成的角不为，故错误； 故答案为：①②③. 14．已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 15．已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【分析】结合题意与三角形的面积公式建立方程，求解离心率即可. 【详解】如图，记内切圆的半径为，因为， 所以， 即，得到， 得到，即，故双曲线的离心率为2． 故答案为：2 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 17．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，列出韦达定理，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）设点、，由题意可知直线的方程为， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 因为，所以 ，解得，合乎题意. 综上所述，. 18．（15分） 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. （2）在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. （3）由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点； （1）若的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值. 【答案】（1），；（2）3. 【详解】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设， 则点关于点对称得：得：， 直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为. 20．（16分） 已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意列式解方程组即可求解； （2）利用点差法求出，联立直线与椭圆，根据韦达定理用表示出，最后再根据求出的范围即可得出的范围； （3）设，则，写出直线的方程与椭圆联立，解出点坐标，再写出直线方程，令，得到点横坐标即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则有，两式相减得 ， 联立直线与椭圆的方程得， 消去整理得， 则有，解得，. （3）设，则，直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，与椭圆联立消去得，所以， 解得，， 直线的方程为，令， 则， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $