学易金卷：高二数学上学期第三次月考模拟卷01（全国通用，人教A版选择性必修第一册全部内容：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 情在各避日的答题区城内开答，超出黑色鬼形边框限定区或的答美无效！ 请在各题目的答题区域内作答，出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名 准考证号： 注意事项 1.答想前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所桔贴的条形码。 2:选择题必须用2B铅笔填涂：非选择燃必须用 0.5mm黑色签字笔答圈.不得用铅笔或圆珠笔答 & 愿：字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的容恩区域内作答，超出 区域书写的答業无效：在草稀纸、试粗登上答题 无效， 此栏考生禁填 欲若口 4。保持卡面清洁，不要折叠。不要弄破 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） D 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 (A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B]IC]ID] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B]IC][D] 10 [A][B][C][D] 11【AjB1CD 三、填空题（每小题5分，共15分） 翻 13 请在各题目的答题这域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题日的客题区城内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。超出爆色矩形边框限定区城的答案无效！ 数学第1项（共6顶） 数学第2页（共6页） 数学第3项《共6页) 情在各题目的答匙区域内作答，超出黑色矩形边配限定区域的签案无效！ 请在各圈目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的咨案无效！ 情在各想日的答避区域内作容，超出需色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各赠目的答悬区城内作答，超出属色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，望出黑色矩形边框限定区城的答案无效： 请在各题目的答题区城内作答，超出爆色距形边框限定区城的答案无效！ 数学第4页（共6项） 数学第5项（共6项） 数学第6项（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟,分值：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．经过,两点的直线的方向向量为,则的值为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】直线的方向向量为,,解得.故选B. 2．已知分别为椭圆的左、右焦点,为该椭圆上一点,若,则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.【答案】B 【解析】因为椭圆方程为,所以,解得,由椭圆的定义可得,又,所以,故选B. 3．圆与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 3.【答案】C 【解析】圆的圆心,半径；圆的圆心,半径, 则,圆与圆相交,两圆的公共点个数为2.故选C. 4．如图,在三棱锥中,为中点,,,,则等于（    ） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】连接,因为为中点,则 .故选A. 5．已知,,是空间三个不共面的向量,有如下三组向量：① ,,；②,,；③,,；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.【答案】C 【解析】因为,,是空间三个不共面的向量,所以不存在且,使得.对①：假设,,共面,则存在且,使得,即存在且,使得,与已知矛盾,所以假设不成立,故,,不共面,可以成为空间向量的基底；对②：因为,所以向量,,共面,不能成为空间向量的基底；对③：假设,,共面,则存在且,使得即,即存在,得唯一解为,因此不存在不全为零的实数使得向量共面,这与矛盾,故假设不成立,所以,,不共面,可以成为空间向量的基底.故选C. 6．已知点,椭圆上两点,满足,当（    ）时,点横坐标绝对值最大． A．－2 B．4 C．－3 D．5 6.【答案】D 【解析】设,, 由可知：,因为,则,整理得,因为A,B在椭圆上,所以, 则,即,与相减,整理得,所以,即当时,的最大值为4,即的最大值为2．所以当时,点横坐标的绝对值最大．故选D. 7．若圆上存在两点,直线上存在点,使得,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.【答案】A 【解析】当直线与圆相交时,如图所示,若A、B离直线越近时,直至与直线和圆C的两交点重合,此时,若A、B相距越来越近时,直至A、B两点重合,此时,所以一定存在A、B及P,使得； 当直线与圆相切时,同直线与圆相交分析可知,一定存在A、B及P,使得；当直线与圆没有公共点时,对直线上的任一点P,若A、B相距越来越近时,直至A、B两点重合时,仍有,另一方面,若PB与圆C相切于B,PA与圆C相切于A,此时必为该P点所能达到的最大情况,如图所示, 由图可知,,CP最短时,即等于圆心C到直线的距离d,最大,也最大,同时最大,所以若圆上存在两点,直线上存在点,使得, 则必有,解得,又因为圆的半径,圆心到直线的距离,所以,解得．故选A． 8．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,点为线段的中点,且点满足,给出下列命题： ①若,则,,共面； ②若,则是平面的一个法向量； ③若,则到平面的距离为； ④若时,直线与平面所成角为,则 其中正确的命题的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8.【答案】C 【解析】将给定的正方体展开图还原成正方体,如图,    对于①,,即重合,直线即为,又,即, 由面,面,则面,即共面,①正确；    对于②,,则为的中点,此时,且,,因此,即,而,令为的中点,则,又,则,而平面,平面,则,由,平面,则平面,平面,则,即,又平面内,则平面,②正确；    对于③,,即是面的中心,则到平面的距离等于到平面的距离的一半,而三棱锥为正四面体,且棱长为,到平面的距离,因此到平面的距离为,③错误；    对于④,,则在线段上运动,建立如图所示的空间直角坐标系,则,且,,令平面的一个法向量为,且,则,取,得,于是,令,则,, 即,④正确. 故选C.    二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．的三个顶点分别是,下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程为 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点,且平行于边的直线的方程为 D．过点,且在轴､轴上的截距相等的直线的方程为 9.【答案】ABC 【解析】因为,所以中点为,边上的中线为AD所在的直线的方程为,A正确；由可得直线的斜率为1,所以边上的高所在直线的斜率为-1,方程为,B正确；由点斜式可得,过点,且平行于边的直线的方程为,C正确；若直线在轴､轴上的截距相等不为0,设直线方程为,代入点,得a无解,直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0,设直线方程为,代入点,得该直线方程为,D错误.故选ABC． 10．在平行六面体中,已知,,O是中点,则（   ） A． B．线段的长度为 C．直线与所成的角为 D．直线与平面所成角的正切值 10.【答案】AC 【解析】在平行六面体中,取,,.,,∴,, A：,正确； B：,则,即,错误； C：,故,即直线与所成角为,正确； D：在平行六面体中,四边形是菱形,则,又,,平面,平面,∴平面,又平面,则平面平面, 连接交于点,过点作于点,如图所示： 平面平面,平面,∴平面,∴直线与平面所成角为,,则,即,∴在中,,则,错误.故选AC. 11.在数学中有“四瓣花”系列曲线,下列结论正确的有（    ） A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线夹在直线和直线之间 C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D．曲线上任意两点距离都不超过 11.【答案】AB 【解析】A:,,有,,,有, ,时,有,,时,, 画出图形,如下： 经过的整点有：,,,,,,,,,共9个,故A正确； B:曲线,当,,有,即,当,,有,即,当,,有,即, 当,,有,即,画出图形,如下： 其中,,故,则, 故曲线由四个弓形组成,弓形的弓高为,是夹在直线和直线之间,又因为,,故B正确. C:由A选项知,表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆, 其中正方形边长为,半圆半径为,故其面积为,同理,曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆,其中正方形边长为,半圆半径为,其面积为,所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍,C错误； D:当,,有,即,当,,有,即,当,,有,即,当,,有,即,画出图形,如下： 连接两圆心并延长,分别与两圆交于,则,D错误.故选AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．直线恒经过定点,则的坐标为 ． 12.【答案】 【解析】当时,,所以直线恒经过定点. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、,、在该椭圆上,四边形是等腰梯形,且,,则的离心率为 . 13.【答案】 【解析】设椭圆的半焦距为,依题意,,又,如图：    设,四边形为等腰梯形,,即,,由椭圆定义知,,,解得. 14．已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意, ； 14.【答案】 【解析】,又,所以, 对于任意成立,等价于,当且仅当 时取到最小值, ,则,解得. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 求经过点,且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 15．（13分） 【解析】（1）根据题意有直线的斜率为,则直线的方程为, 整理有； （2）设与直线平行的直线的方程为,又因为经过点, 所以,即； （3）设与直线垂直的直线方程为,又因为经过点, 所以,即. 16．（15分） 在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形是梯形,,,平面,且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 16．（15分） 【解析】（1）因为四边形是正方形,所以, 又平面 ,平面, 所以平面, 因为四边形是梯形,所以, 又平面 ,平面, 所以平面, 又,平面, 故平面平面, 又因为平面, 所以平面. （2）因为,平面,平面, 所以,即两两垂直, 故以为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则有,,,, 所以 ,, 设平面的一个法向量,则有 令,则,所以, 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 17．（15分） 已知圆经过点和,且圆心在直线上,过点的动直线与圆交于两点,线段中点为为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的轨迹方程； (3)若,求直线的方程及三角形面积. 17．（15分） 【解析】（1）根据题意,设圆心为, 由,可得, 解得,所以,圆心为,半径为, 因此,圆的方程为. （2）因为是线段中点,所以, 所以点轨迹为以线段为直径的圆上, 故轨迹为以为圆心,半径为的圆, 故的轨迹方程为. （3）因为,所以在以为圆心,半径为5的圆上, 即在的圆上, 又因为在上,两圆相减可得：,    因为到的距离, 所以面积为. 18．（17分） 如图,在中,是中点,、分别是、边上的动点,且,将沿折起,将点折至点的位置,得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若,二面角是直二面角,线段上是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由； (3)当时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 18．（17分） 【解析】（1）在四棱锥中,,而平面平面, 所以平面. （2）过作直线平面,而,则直线两两垂直, 以为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 由,得,则是二面角的平面角, 依题意,,即,又,而平面, 于是平面,即,由,得分别是中点, 由,得, 令,则,, 故, 设平面的法向量,则, 取,得,而平面的法向量为, 因此,解得或（舍去）, 所以在线段上存在一点满足题意,此时. （3）由（2）中空间直角坐标系,知,设, 则,由,得, 解得,即,则, 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形, 则,即,又且,即, 平面的法向量为,设直线与平面所成角为, 则, 则, 令,因函数在上递减,, 因此,而,解得, 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M,N两点,且坐标原点O到直线l的距离为,则的大小是否为定值？若是,求出该定值,若不是,请说明理由． (3)在（2）的条件下,试求三角形的面积S的取值范围． 19．（17分） 【解析】（1）因为的离心率为,所以,即① 因为在椭圆C上,所以②,又③, 所以,联立方程①②③解得：, 所以椭圆C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为, 由对称性,不妨令直线l的方程为． 联立,将代入得：, 所以,即,解得：, 所以 此时,即与垂直,所以． 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为,,． 由点到直线的距离公式,可得,两边平方得． 联立,消去y得． 则,即． 由韦达定理可得,． 所以 将代入上式得：, 所以,即．综上,的大小为定值,该定值为． （3）直线l的斜率不存在时：,则． 当直线l的斜率存在时：, 将代入上式得： , 所以三角形的面积． 当时,； 当时,．由基本不等式 （当且仅当,即时取等号）． 则,,, , ,即． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章第1节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过,两点的直线的方向向量为,则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为椭圆的左右焦点,为该椭圆上一点,若,则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．圆与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 4．如图,在三棱锥中,为中点,,,,则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知,,是空间三个不共面的向量,有如下三组向量：① ,,；②,,；③,,；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知点,椭圆上两点,满足,当（    ）时,点横坐标绝对值最大． A．－2 B．4 C．－3 D．5 7．若圆上存在两点,直线上存在点,使得,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,点为线段的中点,且点满足,给出下列命题： ①若,则,,共面； ②若,则是平面的一个法向量； ③若,则到平面的距离为； ④若时,直线与平面所成角为,则 其中正确的命题的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的三个顶点是,下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程为 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点,且平行于边的直线的方程为 D．过点,且在轴､轴上的截距相等的直线的方程为 10．在平行六面体中,已知,,O是中点,则（   ） A． B．线段的长度为 C．直线与所成的角为 D．直线与平面所成角的正切值 11.在数学中有“四瓣花”系列曲线,下列结论正确的有（    ） A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线夹在直线和直线之间 C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D．曲线上任意两点距离都不超过 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线恒经过定点,则的坐标为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、,、在该椭圆上,四边形是等腰梯形,且,,则的离心率为 . 14．已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意, ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求经过点,且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 16．（15分） 在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形是梯形,,,平面,且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分） 已知圆经过点和,且圆心在直线上,过点的动直线与圆交于两点,线段中点为为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的轨迹方程； (3)若,求直线的方程及三角形面积. 18．（17分） 如图,在中,是中点,、分别是、边上的动点,且,将沿折起,将点折至点的位置,得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若,二面角是直二面角,线段上是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由； (3)当时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M,N两点,且坐标原点O到直线l的距离为,则的大小是否为定值？若是,求出该定值,若不是,请说明理由． (3)在（2）的条件下,试求三角形的面积S的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章第1节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过,两点的直线的方向向量为,则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为椭圆的左右焦点,为该椭圆上一点,若,则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．圆与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 4．如图,在三棱锥中,为中点,,,,则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知,,是空间三个不共面的向量,有如下三组向量：① ,,；②,,；③,,；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知点,椭圆上两点,满足,当（    ）时,点横坐标绝对值最大． A．－2 B．4 C．－3 D．5 7．若圆上存在两点,直线上存在点,使得,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,点为线段的中点,且点满足,给出下列命题： ①若,则,,共面； ②若,则是平面的一个法向量； ③若,则到平面的距离为； ④若时,直线与平面所成角为,则 其中正确的命题的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的三个顶点是,下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程为 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点,且平行于边的直线的方程为 D．过点,且在轴､轴上的截距相等的直线的方程为 10．在平行六面体中,已知,,O是中点,则（   ） A． B．线段的长度为 C．直线与所成的角为 D．直线与平面所成角的正切值 11.在数学中有“四瓣花”系列曲线,下列结论正确的有（    ） A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线夹在直线和直线之间 C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D．曲线上任意两点距离都不超过 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线恒经过定点,则的坐标为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、,、在该椭圆上,四边形是等腰梯形,且,,则的离心率为 . 14．已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意, ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求经过点,且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 16．（15分） 在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形是梯形,,,平面,且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分） 已知圆经过点和,且圆心在直线上,过点的动直线与圆交于两点,线段中点为为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的轨迹方程； (3)若,求直线的方程及三角形面积. 18．（17分） 如图,在中,是中点,、分别是、边上的动点,且,将沿折起,将点折至点的位置,得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若,二面角是直二面角,线段上是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由； (3)当时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M,N两点,且坐标原点O到直线l的距离为,则的大小是否为定值？若是,求出该定值,若不是,请说明理由． (3)在（2）的条件下,试求三角形的面积S的取值范围． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C A C D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据题意有直线的斜率为,则直线的方程为, 整理有；（4分） （2）设与直线平行的直线的方程为,又因为经过点, 所以,即；（8分） （3）设与直线垂直的直线方程为,又因为经过点, 所以,即.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为四边形是正方形,所以, 又平面 ,平面, 所以平面,（2分） 因为四边形是梯形,所以, 又平面 ,平面, 所以平面,（4分） 又,平面, 故平面平面,（6分） 又因为平面, 所以平面.（8分） （2）因为,平面,平面, 所以,即两两垂直, 故以为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则有,,,, 所以 ,,，（10分） 设平面的一个法向量,则有 令,则,所以,（12分） 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）根据题意,设圆心为, 由,可得,（2分） 解得,所以,圆心为,半径为, 因此,圆的方程为.（5分） （2）因为是线段中点,所以, 所以点轨迹为以线段为直径的圆上, （7分） 故轨迹为以为圆心,半径为的圆, 故的轨迹方程为.（10分） （3）因为,所以在以为圆心,半径为5的圆上, 即在的圆上, 又因为在上,两圆相减可得：,（12分）    因为到的距离, 所以面积为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）在四棱锥中,,而平面平面, 所以平面.（3分） （2）过作直线平面,而,则直线两两垂直, （4分） 以为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 由,得,则是二面角的平面角, 依题意,,即,又,而平面, 于是平面,即,由,得分别是中点, 由,得,（6分） 令,则,, 故,（7分） 设平面的法向量,则, 取,得,而平面的法向量为,（9分） 因此,解得或（舍去）, 所以在线段上存在一点满足题意,此时.（11分） （3）由（2）中空间直角坐标系,知,设, 则,由,得, 解得,即,则,（12分） 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形, 则,即,又且,即,（13分） 平面的法向量为,设直线与平面所成角为, 则, 则,（15分） 令,因函数在上递减,, 因此,而,解得, 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为的离心率为,所以,即①（1分） 因为在椭圆C上,所以②,又③, 所以,联立方程①②③解得：,（3分） 所以椭圆C的标准方程为，（4分） （2）当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为, 由对称性,不妨令直线l的方程为． 联立,将代入得：, 所以,即,解得：, 所以 此时,即与垂直,所以．（7分） 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为,,． 由点到直线的距离公式,可得,两边平方得． 联立,消去y得．（9分） 则,即． 由韦达定理可得,． 所以 ，（9分） 将代入上式得：, 所以,即．综上,的大小为定值,该定值为．（11分） （3）直线l的斜率不存在时：,则．（12分） 当直线l的斜率存在时：, 将代入上式得： , 所以三角形的面积．（14分） 当时,；（15分） 当时,．由基本不等式 （当且仅当,即时取等号）． 则,,, , ,即． （17分） 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $