精品解析：山东省济南市历下区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年第一学期七年级期中教学质量检测 数学试题（LX2025.11） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，0，，，，7中，正有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 月球的近地点是指“月球绕地球公转轨道距地球最近的一点”，月球的近地点距离地球363300千米，数据363300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一个有理数都有倒数 B. 有理数的相反数一定是负数 C. 互为相反数的两个数绝对值相等 D. 一个有理数的平方一定是正数 6. 实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在下列各组有理数的大小比较中，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 一个正两位数A，它的十位数字是a，个位数字是，把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B，则的值总能（　　） A. 被3整除 B. 被9整除 C. 被10整除 D. 被11整除 10. 对于整数，，，⋯，，规定，，则，，，…，则的值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作________． 12. 单项式的次数是______． 13. 已知，，则的值为________． 14. 若点，在数轴上表示的数分别是，，若，，则点和点两点间的最大距离为________． 15. 如图1，长方形纸片的周长为32，将其剪成四个正方形和一个长方形，其中1号至4号是正方形，5号是长方形，将它们按图2的方式放入另一个长方形中，则阴影部分的周长为________ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． （1）这个几何体由________个小立方块搭成； （2）画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 20. 王阿姨一家五人计划乘坐某航空公司飞机去旅行，了解到该航空公司规定每名旅客免费行李托运的质量限额为．王阿姨一家需要托运的行李情况如下（正号表示行李超过限额，负号表示行李低于限额）：，，，，． （1）王阿姨一家托运的行李总质量是多少？ （2）请你通过计算说明，如果王阿姨一家想再多托运行李，那么总质量是否超过5人免费托运行李限额之和? 21. 如图是小明为学校的一块长方形空地提供的设计方案，其中长方形池塘和半圆形阅读区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形阅读区的直径和长方形池塘的宽相等． （1）长方形池塘的面积为________平方米，半圆形阅读区的面积为________平方米；（用含有的代数式表示，结果保留） （2）若，绿化草地每平方米需要费用40元，请计算这个空地中绿化草地的费用；（结果保留） （3）若在池塘和阅读区的基础上再规划一个学生娱乐区（内无草地），但要保证长方形空地至少有一半的面积是草地，那么学生娱乐区的面积最大是多少?（用含有的代数式表示，结果保留） 22. 一辆货车从超市出发负责送货，向东走了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了到达小刚家，最后返回超市． （1）以超市为原点，向东为正方向，个单位长度表示，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示）； （2）小明家与小刚家相距多远？ （3）若货车每千米耗油，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 23. 数学兴趣小组以“计算一卷空心卷筒纸展开的总长度”为主题，展开项目学习． 【探究提示】 1.计算要素：要估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度，可通过测量其内外半径（内半径，外半径）、纸宽、一层纸的厚度并利用体积守恒原理计算． 2.计算公式：根据体积守恒原理：展开前后的体积（展开后可以看成长方体）不变．展开后长度与体积公式：． 3.注意事项：测量一层纸的实际厚度可能因纸张层数、压实程度等因素存在误差． 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的纸宽，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，测得空心卷筒纸的尺寸数据如图所示； 步骤2：多次测量纸张层数与厚度，计算平均值； 步骤3：利用体积守恒原理的公式计算． 【完成任务】 （1）根据测量数据，结合体积公式，求空心卷筒纸的体积是多少立方厘米？（取3） （2）若根据步骤2测得一层纸的厚度为，请计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是多少厘米；（取3） （3）若空心卷筒纸的尺寸（内径、外径、纸宽）不变，当一层纸张的厚度变为，空心卷筒纸展开的总长度会有何变化?（取3） 24. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： （1）已知有理数，则________； （2）已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； （3）已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 25. 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律： 统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … （1）________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； （2）观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； （3）请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期七年级期中教学质量检测 数学试题（LX2025.11） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 在，，0，，，，7中，正有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．正有理数是指大于零的数．根据正有理数包括正整数和正分数求解即可． 【详解】解：在，，0，，，，7中，正有理数有，，7，共3个． 故选：B． 3. 下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面和上面看是分别从物体从正面和上面看所得到的图形．根据所得图形相同，可得答案． 【详解】解：A.球从正面和上面看都是半径相等的圆，符合题意； B.三棱柱从正面看是三角形，从上面看是长方形中有一条竖直线段，不符合题意； C. 圆锥从正面看是等腰三角形，从上面看是有圆心的圆，不符合题意； D. 圆柱从正面看是长方形，从上面看是圆，不符合题意； 故选：A． 4. 月球的近地点是指“月球绕地球公转轨道距地球最近的一点”，月球的近地点距离地球363300千米，数据363300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：363300用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一个有理数都有倒数 B. 有理数的相反数一定是负数 C. 互为相反数的两个数绝对值相等 D. 一个有理数的平方一定是正数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数、绝对值和平方的性质．据此相关性质内容进行逐一判断各选项的正误，即可作答． 【详解】解：A、0是有理数，但0没有倒数，则任何一个有理数都有倒数是错误的，故该选项不符合题意； B、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，则有理数的相反数一定是负数是错误的，故该选项不符合题意； C、互为相反数的两个数绝对值相等是正确的，故该选项符合题意； D、0的平方是0，0不是正数，则一个有理数的平方一定是正数是错误的，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．由数轴可得，即可判定结果． 【详解】解：∵由数轴可得，且， ∴，，，， 观察四个选项，正确的是D． 故选：D． 7. 在下列各组有理数的大小比较中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的大小比较，需要先化简每个表达式，然后根据有理数比较大小的规则进行判断，即可作答． 【详解】解：A、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； B、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； C、，，∵，∴该选项是正确的，不符合题意； D、，，∵，∴，∴该选项是不正确的，符合题意； 故选：D． 8. 某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先计算每个模型设计高度与实际高度的偏差，再看是否在允许偏差的范围内即可． 【详解】解：甲模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴甲符合精度要求； 乙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴乙符合精度要求； 丙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丙符合精度要求； 丁模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丁不符合精度要求， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法计算和正负数的意义，关键是熟练掌握有理数减法计算法则，明确允许偏差的含义． 9. 一个正两位数A，它的十位数字是a，个位数字是，把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B，则的值总能（　　） A. 被3整除 B. 被9整除 C. 被10整除 D. 被11整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算、整除等知识点，掌握整除的判定方法是解题的关键． 根据题意表示出两位数A和B，计算并变形，再判断其整除性即可解答． 【详解】解：∵ A的十位数字为a，个位数字为， ∴ ． ∵把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B， ∴ B的十位数字为，个位数字为a， ∴， ∴， ∴的值总能被11整除． 故选D． 10. 对于整数，，，⋯，，规定，，则，，，…，则的值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．根据题意计算出前面几个数的值，则可得到，，，，这一列数每两个数为一个循环，每个循环内的两个数相等，且每增加一个循环，对应循环的数就加1，据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 当n是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于； 因为2025是奇数，根据上述规律可知． 又因为2026是偶数，将代入（为偶数时）可得：． 所以． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据题意，逆时针旋转记为正，顺时针旋转记为负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作． 故答案为：． 12. 单项式的次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，根据单项式的数字因数为单项式的系数，字母的指数之和为单项式的次数，进行作答即可 【详解】解：单项式的次数是3， 故答案为：3． 13. 已知，，则的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．将原式变形为，然后利用已知条件整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：7． 14. 若点，在数轴上表示的数分别是，，若，，则点和点两点间的最大距离为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，根据绝对值的定义，确定m和n的可能取值，计算所有组合下两点间的距离，并比较得出最大值． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故点M和点N两点间的最大距离为7． 故答案为：7． 15. 如图1，长方形纸片的周长为32，将其剪成四个正方形和一个长方形，其中1号至4号是正方形，5号是长方形，将它们按图2的方式放入另一个长方形中，则阴影部分的周长为________ 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，平移的性质，解题的关键是利用平移的性质将不规则图形变换为规则图形进而求解．设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为32，求得，根据平移得：阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∴， 长方形纸片的周长为32， ， 解得， 图2中长方形的长为，宽为， 如图，根据平移得：阴影部分的周长为四边形的周长， ， ， 故答案为：24． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）根据有理数的运算法则，先计算乘方和绝对值，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解：解：原式 【小问2详解】 原式 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 将，代入得 原式 ． 19. 用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． （1）这个几何体由________个小立方块搭成； （2）画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）6 （2） 从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示． 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体． （1）分别计算每一层的小立方块的个数即可； （2）根据简单组合体画出相应的图形即可． 【小问1详解】 解：∵最下面一层有5个小立方块，上面一层有1个小立方块， ∴这个几何体由个小立方块搭成； 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 王阿姨一家五人计划乘坐某航空公司飞机去旅行，了解到该航空公司规定每名旅客免费行李托运的质量限额为．王阿姨一家需要托运的行李情况如下（正号表示行李超过限额，负号表示行李低于限额）：，，，，． （1）王阿姨一家托运的行李总质量是多少？ （2）请你通过计算说明，如果王阿姨一家想再多托运行李，那么总质量是否超过5人免费托运行李限额之和? 【答案】（1）王阿姨一家托运的行李总质量是 （2）总质量超过5人免费托运行李限额之和 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算． （1）用5人携带的行李限额之和加上超出或低于限额的质量，即可得出答案； （2）用王阿姨一家携带的行李总质量加上，再进行比较即可． 【小问1详解】 解： ， 答：王阿姨一家托运的行李总质量是． 【小问2详解】 ， ， ， 答：总质量超过5人免费托运行李限额之和． 21. 如图是小明为学校的一块长方形空地提供的设计方案，其中长方形池塘和半圆形阅读区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形阅读区的直径和长方形池塘的宽相等． （1）长方形池塘的面积为________平方米，半圆形阅读区的面积为________平方米；（用含有的代数式表示，结果保留） （2）若，绿化草地每平方米需要费用40元，请计算这个空地中绿化草地的费用；（结果保留） （3）若在池塘和阅读区的基础上再规划一个学生娱乐区（内无草地），但要保证长方形空地至少有一半的面积是草地，那么学生娱乐区的面积最大是多少?（用含有的代数式表示，结果保留） 【答案】（1）， （2）这个休闲区中绿化草地的费用元 （3）学生娱乐区的面积最大是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减法． （1）根据面积公式直接计算长方形池塘和半圆形阅读区的面积； （2）利用大长方形的面积减去池塘和阅读区的面积求出绿化草地的面积，再乘以单价即可求出费用； （3）利用草地面积减去长方形面积的一半得到学生娱乐区的最大面积． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形池塘的长为米，宽为米， ∴长方形池塘的面积为平方米， 半圆形阅读区的面积为平方米， 故答案为：，； 【小问2详解】 长方形的面积为 绿化草地面积平方米， 当时，绿化草地面积元； 【小问3详解】 解：平方米， 答：学生娱乐区的面积最大是平方米． 22. 一辆货车从超市出发负责送货，向东走了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了到达小刚家，最后返回超市． （1）以超市为原点，向东为正方向，个单位长度表示，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示）； （2）小明家与小刚家相距多远？ （3）若货车每千米耗油，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 【答案】（1） 小明、小红、小刚家在数轴上的位置如图所示： （2）小明家与小刚家相距； （3）这辆货车此次送货共耗油． 【解析】 【分析】本题考查数轴的实际应用与有理数的运算，运用数轴定位与路程计算思想，关键是通过正负数表示方向确定各点位置，利用数轴距离公式与总路程计算耗油量，易错点是方向与距离的符号对应错误、总路程计算遗漏返程距离； （1）根据行驶方向与距离在数轴上标注各点位置； （2）用小明家与小刚家的数轴坐标差求距离； （3）计算总行驶路程，再结合单位耗油量求总耗油量． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 答：明家与小刚家相距． 【小问3详解】 答：这辆货车此次送货共耗油． 23. 数学兴趣小组以“计算一卷空心卷筒纸展开的总长度”为主题，展开项目学习． 【探究提示】 1.计算要素：要估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度，可通过测量其内外半径（内半径，外半径）、纸宽、一层纸的厚度并利用体积守恒原理计算． 2.计算公式：根据体积守恒原理：展开前后的体积（展开后可以看成长方体）不变．展开后长度与体积公式：． 3.注意事项：测量一层纸的实际厚度可能因纸张层数、压实程度等因素存在误差． 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的纸宽，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，测得空心卷筒纸的尺寸数据如图所示； 步骤2：多次测量纸张层数与厚度，计算平均值； 步骤3：利用体积守恒原理的公式计算． 【完成任务】 （1）根据测量数据，结合体积公式，求空心卷筒纸的体积是多少立方厘米？（取3） （2）若根据步骤2测得一层纸的厚度为，请计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是多少厘米；（取3） （3）若空心卷筒纸的尺寸（内径、外径、纸宽）不变，当一层纸张的厚度变为，空心卷筒纸展开的总长度会有何变化?（取3） 【答案】（1）空心卷筒纸的体积是882立方厘米 （2）计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是4500厘米 （3）空心卷筒纸展开的总长度减少 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，代数式求值，解题的关键是正确理解题意，根据计算公式求解． （1）先分别求出空心卷筒纸外半径和内半径，再代入求解即可； （2）根据求解即可； （3）先表示展开后体积，因为体积不变，所以，求出，再计算差值． 【小问1详解】 解：空心卷筒纸外半径，内半径， 答：空心卷筒纸的体积是882立方厘米； 【小问2详解】 解：由（1）得 所以 所以 答：计算这种规格的一卷空心卷筒纸展开后总长度是4500厘米． 【小问3详解】 解： 因为体积不变， 所以 所以 答：空心卷筒纸展开的总长度减少． 24. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： （1）已知有理数，则________； （2）已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； （3）已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 【答案】（1） （2）；；或 （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据和两种情况分类讨论即可； （2）根据，，，去绝对值符号计算即可；根据，，，去绝对值计算即可； （3）根据已知条件可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数，表示出计算即可； 【小问1详解】 当时，原式； 当时，原式； 故答案是：． 【小问2详解】 ， 分以下两种情况： 当，，时，原式； 故答案是：； 假设当，，时，原式； 故答案是：； 或， 故答案是：或． 【小问3详解】 可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数， ， ， 当（最大奇数）时，； 的最大值是； 25. 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律： 统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … （1）________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； （2）观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； （3）请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】（1）7；9 （2）；2； （3）最多可以得到个三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； 【小问2详解】 解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； 【小问3详解】 解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $