专题2.1 二次函数（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

本讲义聚焦二次函数核心知识点，从概念（形如y=ax²+bx+c，a≠0）切入，衔接一般形式及系数识别，再通过参数确定、图象点坐标特征过渡到实际问题建模，构建“概念理解-技能应用-实际建模”的完整学习支架。 资料特色在于以生活实例（握手次数、销售利润）和几何问题（矩形面积、菱形动态）培养数学眼光，通过典例与变式分层训练发展推理思维，用函数表达式精准描述现实关系提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过综合练习查漏补缺。

专题2.1 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练1】 1．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段练习）下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，形如的函数是二次函数，据此判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是二次函数，该选项不合题意； 、是一次函数，该选项不合题意； 、是二次函数，该选项符合题意； 、不是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期中）在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是整式，不是二次函数，故选项B不符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、当时，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数定义，形如的函数．选项A和D含有分式，不是整式；选项B简化后为一次函数；选项C符合定义． 【详解】∵ 二次函数形式为， 对于A：，在分母，不是整式； 对于B：，展开得，为一次函数； 对于C：，满足，是二次函数； 对于D：，x在分母，不是整式； 故选C． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如 ），只有选项C符合条件；选项A和D不是整式，选项B是一次函数 【详解】∵ 二次函数的标准形式为， 选项A：含有分式，不是整式函数； 选项B：最高次数为1，是一次函数； 选项C：满足 ，符合二次函数定义，是二次函数； 选项D：是根式函数，不是整式函数 ∴ 只有C是二次函数 故选C 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例2】（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知是关于的二次函数，那么 ． 【答案】2 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为： ． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）若函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，得且． 解方程得 ， 即 ， 解得 或 又，故， 所以 ． 故答案为：2 【变式3】（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期中）若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 题型03 二次函数的一般形式 【典例3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将二次函数整理为一般式得 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 题型04 二次函数的各项系数 【典例4】（25-26九年级上·云南·阶段练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【变式2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）把变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】（25-26九年级上·黑龙江·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例7】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 【变式3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，分析各选项是否符合此定义即可作答． 【详解】∵ 二次函数需满足最高次项为 且系数不为零， A、 为正比例函数； B、 为反比例函数； C. ，其中 ，符合二次函数定义； D. 为一次函数； 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）当函数是二次函数时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：∵ 函数 是二次函数， ∴ 二次项系数 ， ∴ ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将二次函数整理为一般式得 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 8．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 9．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，自变量的最高次项为二次且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得 ， ∴ 或 ， 又∵， ∴． 故答案为 2． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）下列函数①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①，自变量的最高次数为1，不是二次函数； ②是二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为：②④． 11．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 14．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 15．（25-26九年级上·广西防城港·阶段练习）写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 【答案】(1)，二次函数 (2)，二次函数 【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可． （1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可； （2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可． 【详解】（1）解：∵，     ∴圆的面积与它的周长之间的函数关系 ，     所以，是的二次函数． （2）解：菱形的另一条对角线的长是，     ，    所以，是的二次函数． 16．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 17．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 18．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某时刻，使线段恰好经过点， 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：存在某时刻，使线段恰好经过点； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1二次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1二次函数的概念 知识清单 知识点2二次函数的一般形式 题型1二次函数的识别 二次函数 题型2根据二次函数的定义求参数 题型3二次函数的一般形式 题型精讲 题型4二次函数的各项系数 题型5二次函数图象上点的坐标特征 题型6建立二次函数模型，列☒数表达式（实际应用）》 题型7建立二次函数模型，列呸数表达式（几何图形） 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 教学目标 2.会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3.经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 教学重难点 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中α≠0这一条件。 知识清单 知识点01二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 次项系数，c为常数项。 注意：二次项系数≠0，而b,c可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 【即学即练1】 1.(25-26九年级上·湖北荆门阶段练习)下列函数属于关于x的二次函数的是() A.y=2x2-1 B.y=(x-2)2-x2 x C.y=-3x2+2x-1 D.y=ax2+bx+c 2.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)若y=(m+2xm-2+3x是关于x的二次函数，则m的值为 知识点02二次函数的一般形式 般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0)； 【即学即练2】 1.(24-25九年级上浙江金华.期中)二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为() A.2,0,-1 B.2,2,-1 C.2,2,1 D.2,0,1 2.(25-26九年级上浙江湖州阶段练习)己知二次函数y=x(x-2)+1,则a=一，b=一， C=一 题型精讲 题型01二次函数的识别 【典例1】(25-26九年级上·浙江金华·期中)下列各式中，y是x的二次函数的是(） A.y=2 B.y=3x+1 C.y=2x2-1 D.y=Vx2-1 【变式1】(25-26九年级上·广西梧州期中)在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() 3 A.y=3x2 B.y=x C.y=V2x2+1 D.y=ax2+bx+c 【变式2】(25-26九年级上·安微合肥期中)下列函数中，是二次函数的是() A y- B.y=x2-(x-31 c.y=x2+4 2 D.y=1-4 【变式3】(25-26九年级上·福建泉州·期中)下列函数是二次函数的是() 1 A.y=-x B.y=x-1 C.y=x2+6x+7D.y=√ 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型02根据二次函数的定义求参数 【典例2】(24-25九年级上·青海西宁.期中)已知y=(m+2)xm是关于x的二次函数，那么1= 【变式1】(25-26九年级上·安微安庆期中)若y=(m-1xm1+1是关于x的二次函数，则m的值是 【变式2】(25-26九年级上山东济南期中)若函数y=(k+3)x+-4是关于x的二次函数，则 k= 【变式3】(25-26九年级上新疆吐鲁番期中)若y=(m+2)x-2+4x+m是关于x的二次函数，则m的值 为 题型03二次函数的一般形式 【典例3】(2425九年级上·吉林阶段练习)将二次函数y=xx-1)+3x化为一般形式后，正确的是（) A.y=x2-x+3 B.y=x2-2x+3 C.y=x2-2x D.y=x2+2x 【变式1】(25-26九年级上·安徽阶段练习)把二次函数y=(x-2-3x(x+1)化为一般形式，一次项系数为 () A.-2 B.-3 C.-5 D.-7 【变式2】(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)将二次函数y=-(x-1)2+2整理为一般式得 【变式3】(25-26九年级上·安微蚌埠阶段练习)将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系 数、一次项系数和常数项. (1)y=(1-2x)+4x; (2)y=x+1(3-2x)-6. 题型04二次函数的各项系数 【典例4】(25-26九年级上·云南阶段练习)二次函数y=x2+5x-2的一次项系数是() A.1 B.5 C.2 D.-2 【变式1】2425九年级下全国随堂练习》二次函数y=x-2-3的次项系数、一次项系数和常数项 分别是() 4.7,-2,-3B.,-2,1 C.,4,-3 D.,-4,1 【变式2】(25-26九年级上·天津蓟州阶段练习)把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项系数为， 次项系数为一，常数项为一 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25九年级上·浙江宁波阶段练习)二次函数y=3x2-4x+5中，二次项系数是 ，一次 项系数是」 题型05二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】(25-26九年级上.重庆阶段练习)己知二次函数y=xC3x+1,当x=2时，y的值为() A.-1 B.-3 C.3 D.11 【变式1】(24-25九年级上河南信阳阶段练习)己知y=(a-2)x2-2x+a2是关于x的二次函数，其图象经 过(0,4)，则a的值为() A.a=±2 B.a=2 C.a=-2 D.无法确定 【变式2】(24-25九年级上·安微期末)若二次函数y=mx2+x+m2-2m的图象经过原点，则m的值为() A.0 B.2 C.2或0 D.无法确定 【变式3】(25-26九年级上·浙江金华阶段练习)已知二次函数y=x2-mx+m-1,当m=时，图象经 过原点. 题型06建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】(25-26九年级上黑龙江·开学考试)参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y次手，那 么y与到会人数x之间的函数关系式是() A.y-ix-x B.y=xx 1 C.y=x2-x D.y=x2+x 2 【变式1】(24-25九年级上湖南长沙阶段练习)某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月 的增长率为x,如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是() A.y=50(1+x)月 B.y=50+50(1+x C.y=50(1+x)+501+x2 D.y=50+50(1+x)+50(1+x)2 【变式2】(25-26九年级上全国·周测)中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营 里程约为08万公里.若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x,则y关于x的函数 表达式为 【变式3】(25-26九年级上·青海西宁阶段练习)西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元.调 查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5 个.设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化 为一般式) 4/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型07建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形) 【典例7】(25-26九年级上·安微阶段练习)用一段44米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长 为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为() A.y=x2-44xB.y=-x2+44x C.y=x2-22x D.y=-x2+22x 【变式1】(25-26九年级上河北唐山阶段练习)如图，点E,F,G,H分别在正方形ABCD边AB,BC,CD, AD上，且AE=BF=CG=DH,AB=8;设线段AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数 表达式为() D H B A.y=x2+64 B.y=2x2+64 C.y=x2-16x+64D.y=2x2-16x+64 【变式2】(23-24九年级上·全国.单元测试)如果圆的半径是4cm,当半径增加x(cm),圆的面积增加 y(cm),则y关于x的函数关系式是一 【变式3】(23-24九年级上山西太原阶段练习)相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26cm ,宽22cm,相框边的宽为xcm,相框内的面积是ycm2,则y与x之间的函数关系式为 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上浙江温州·期中)下列函数中，y是x的二次函数的是() A.y=x 1 B.y= C.y=x2-2 D.y=-2x+1 2.(25-26九年级上广西南宁.期中)二次函数y=2x2-5x-1的常数项是() A.-1 B.-5 C.2 D.1 5/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上·安微阜阳阶段练习)把二次函数y=(x-2)-3x(x+1)化为一般形式，一次项系数为() A.-2 B.-3 C.-5 D.-7 4.(25-26九年级上·吉林长春期中)当函数y=(m-3)x2+nx+p是二次函数时，则m的取值范围为（) A.m=3 B C.m=-3 D.m≠-3 5.(25-26九年级上·云南文山期中)用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙 面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为() A.y=12-2x B.y=(12-xx C.y=(12-2x)x D.y=(6-xx 6.(25-26九年级上安徽合肥期中)若y=(m+4)xm+2m-6+mx-1是关于x的二次函数，则m的值为() A.2 B.-4 C.2或-4 D.0 二、填空题 7.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)将二次函数y=-(x-1)2+2整理为一般式得 8.(25-26九年级上新疆喀什期中)二次函数y=x2-5x+2中，二次项系数为一，一次项系数为 ,常数项为 9.(25-26九年级上·新彊阿克苏期中)若y=(m+2)xm-2+4x+1是关于x的二次函数，则m的值为 10.(25-26九年级上广东广州阶段练习)下列函数①y=5x-5;②y=3x2-1;③y=4x3-3x2；④ y=2-2+1:同y=其中是=次函数的是一 11.(25-26九年级上·内蒙古赤峰期中)2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网 上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设 共有x个队参加比赛，比赛总场数为y,则y关于x的关系式为 12.(25-26九年级上·青海西宁.期中)建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方 形仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的 一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式 为」 IIIIIIIIIIIIILLILLILLLLLLLLL 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 13.(25-26九年级上·安微蚌埠阶段练习)将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一 次项系数和常数项， (1)y=(1-2x2+4x; 2)y=(x+1)(3-2x-6. 14.(25-26九年级上安徽阜阳阶段练习)己知函数y=(m-3)xm-+m+2(m是常数). (I)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值. 15.(25-26九年级上·广西防城港阶段练习)写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数. (I)圆的面积ycm2)与它的周长x(cm)之间的关系式： (2)菱形的两条对角线长的和为26cm,求菱形的面积Scm)）与一对角线长x(cm)之间的关系式， 16.(25-26九年级上湖北咸宁阶段练习)已知函数y=(m+1)xm1+(m-1x+m-2. ()若这个函数是一次函数，求m的值. (2)若这个函数是二次函数，求m的值. 17.(25-26九年级上山东德州阶段练习)某公司投入80万元（⑧0万元只计入第一年成本）研发费成功研发 出一种新产品.公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品 年销售量（万件）与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-x+26, (I)求这种产品第一年的利润w(万元)与售价x(元/件)之间的函数关系式： (②)若该产品第一年的利润为20万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 18.(2025山东青岛二模)己知：如图，菱形ABCD中，AB=10cm,BD=12cm,对角线AC与BD相交于 点O,直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD,垂足是点P, 过点P作PQ⊥BC,交BC于点Q.(0<1<6) 备用图 (1)求线段P2的长；（用含t的代数式表示） (2)设△MQP的面积为y(单位：cm2),求y与t的函数关系式： (3)是否存在某时刻t,使线段MQ恰好经过点O？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 7/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8/8